广西钦州市2025-2026学年高一上学期期末教学质量监测数学试题（原卷版+解析版）

钦州市2025年秋季学期高一年级期末教学质量监测数学（试卷满分：150分，考试时间：120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，请将答题卡上交．4．本卷主要命题范围：北师大版必修第一册第一章至第六章、第八章．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数的定义域为（）A. B. C. D.2.命题“，”否定是（）．A.， B.，C.， D.，3.（）．A.2 B.1 C. D.4.函数的零点所在的区间为（）．A. B. C. D.5.已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的值为（）．A. B. C. D.6.某商场“国庆节”期间搞促销活动，规定：如果顾客购物的总金额不超过500元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过500元，那么超过500元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按下表计算．享受折扣的购物金额折扣优惠超过500元不超过1000元的部分10％超过1000元的部分20％王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，则王先生购物实际付款（）．A.1270元 B.1440元 C.1350元 D.1250元7.已知函数图象恒过点A，若点A在函数的图象上，则（）．A. B. C. D.8.已知函数，若关于x的方程有3个不等的实数根，则实数t的取值范围为（）．A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.“体育强则中国强，国运兴则体育兴”，为备战奥运会，运动员们都在积极参加集训．已知某射击运动员在一次集训中10次射击的分数分别为：5，6，7，8，9，9，8，8，10，10，则这组数据的（）．A.平均数为8 B.众数为9C.第60百分位数为8 D.方差为2.410.下列函数中，在区间上单调递增的是（）．A. B. C. D.11.已知，，则下列不等式恒成立的是（）．A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设集合，则集合A的真子集个数为______．13.已知幂函数，则______．14.若函数为奇函数，则的值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知全集，集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．16.中国AI大模型正处于一个技术进步、市场规模增长的爆发式发展阶段．为了解中国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了200名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照、、、、进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求m的值；（2）现要再对关于“AI大模型的使用体验”进行问卷调查，如果按照年龄进行分层抽样，要抽取一个容量为20的样本，则年龄在内的用户要抽取多少人？（3）估计这200名中国AI大模型用户年龄平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）．17已知函数．（1）证明在上单调递增；（2）设，若在上满足恒成立，求实数k的取值范围．18.已知函数为指数函数，且在定义域内单调递增．（1）求函数的解析式；（2）若关于x方程有两个不同的实数根，求实数k的取值范围．19.已知函数在上的最大值与最小值之和为3．（1）求a的值；（2）求的解集；（3）若函数的图象经过点，求．钦州市2025年秋季学期高一年级期末教学质量监测数学（试卷满分：150分，考试时间：120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，请将答题卡上交．4．本卷主要命题范围：北师大版必修第一册第一章至第六章、第八章．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域.【详解】对于函数，有，解得且，故函数的定义域为.故选：B.2.命题“，”的否定是（）．A， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】利用存在量词命题的否定直接判断得解.【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以所求否定是：，.故选：A3.（）．A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】依据对数运算法则即可求解.【详解】.故选：D.4.函数的零点所在的区间为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用零点存在性定理直接判断即可.【详解】函数在R上单调递增，，所以函数的零点所在的区间为.故选：D5.已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的值为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得和为二次函数的两个根，分别代入二次函数后联立即可求解.【详解】设，由题意得和为的两个根，则有：，即，，即，联立，解得，故.故选：C.6.某商场“国庆节”期间搞促销活动，规定：如果顾客购物的总金额不超过500元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过500元，那么超过500元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按下表计算．享受折扣的购物金额折扣优惠超过500元不超过1000元的部分10％超过1000元的部分20％王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，则王先生购物实际付款（）．A.1270元 B.1440元 C.1350元 D.1250元【答案】A【解析】【分析】设顾客购物总金额为元，求出购物优惠金额的函数关系，再由给定条件求得答案.【详解】设顾客购物总金额为元，购物实际付款为元，当时，；当时，，优惠金额；当时，，优惠金额为，而王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，，因此，解得，所以王先生购物实际付款（元）.故选：A7.已知函数的图象恒过点A，若点A在函数的图象上，则（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意得真数时有定点，求出定点的坐标后代入到即可求.【详解】若过定点，则有，即，又，故，点在函数的图象上，则有，解得.故选：C.8.已知函数，若关于x方程有3个不等的实数根，则实数t的取值范围为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】画出分段函数的图象，因为有3个不等的实数根，故直线与的图象有3个交点，进而可得实数t的取值范围.【详解】当时，，当时，是开口向下，对称轴为的二次函数，最大值在时取，即最大值为2，=1，则的图象如下：若使有3个不等的实数根，则与的图象有2个交点，且与的图象有1个交点，此时有，综上，实数t的取值范围为，故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.“体育强则中国强，国运兴则体育兴”，为备战奥运会，运动员们都在积极参加集训．已知某射击运动员在一次集训中10次射击的分数分别为：5，6，7，8，9，9，8，8，10，10，则这组数据的（）．A.平均数为8 B.众数为9C.第60百分位数为8 D.方差为2.4【答案】AD【解析】【分析】将10次射击的分数由小到大排列，依次求出平均数、众数、第60百分位数、方差并判断.【详解】10次射击的分数由小到大排列为：5，6，7，8，8，8，9，9，10，10，对于A，平均数，A正确；对于B，众数为8，B错误；对于C，由，得第60百分位数，C错误；对于D，方差为，D正确.故选：AD10.下列函数中，在区间上单调递增的是（）．A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用函数解析式直接确定单调性即可.【详解】对于A，函数在上单调递增，A是；对于B，函数在上单调递减，B不是；对于C，函数在上单调递增，C是；对于D，函数在上单调递减，D不是.故选：AC11.已知，，则下列不等式恒成立的是（）．A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】使用基本不等式计算选项，C选项额外使用1的代换，D选项额外使用换元法即可.详解】对于A：，由基本不等式得，故，当且仅当时等号成立，故A错误；对于B：由基本不等式得，当且仅当时等号成立，故B正确；对于C：，当且仅当时等号成立，故C正确；对于D：由题意得，则，当且仅当时等号成立，故D错误.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设集合，则集合A的真子集个数为______．【答案】15【解析】【分析】先将集合用列举法表示，再使用子集计算公式结合真子集的概念即可求解.【详解】由题意得集合，共有4个元素，所以集合A的子集有个，真子集需除去集合本身，故集合A的真子集个数为15个.故答案为：15.13.已知幂函数，则______．【答案】8【解析】【分析】利用幂函数的定义求出解析式，进而求出函数值.【详解】由幂函数，得，解得，，所以.故答案为：814.若函数为奇函数，则的值为______．【答案】0【解析】【分析】使用奇函数定义即可解的值，进而求得的值.【详解】若为奇函数，则有，，，则有，即，整理得，则，解得，当时，，令，解得或，此时定义域为关于原点对称，符合为奇函数，故符合题意.故.故答案为：0四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知全集，集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将代入到集合，再结合交集的运算即可求解；（2）由题意得是集合的真子集，结合集合间的关系计算即可求出a的取值范围.【小问1详解】若，则，则有.【小问2详解】由“”是“”的充分不必要条件，得集合是集合的真子集，即，解得，故实数的取值范围是.16.中国AI大模型正处于一个技术进步、市场规模增长的爆发式发展阶段．为了解中国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了200名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照、、、、进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求m的值；（2）现要再对关于“AI大模型的使用体验”进行问卷调查，如果按照年龄进行分层抽样，要抽取一个容量为20的样本，则年龄在内的用户要抽取多少人？（3）估计这200名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）．【答案】（1）（2）8人（3）岁【解析】【分析】（1）由频率分布直方图得所有矩形面积和为1，即可计算的值；（2）先计算年龄在内的频率，进而可估计样本中年龄在内的人数；（3）由频率分布直方图计算平均数，取各区间中点值乘以频率后再相加即可求解.【小问1详解】由频率分布直方图得所有矩形面积和为1，即，解得【小问2详解】年龄在内的频率为，则抽取的样本中该区间人数为人.【小问3详解】设这200名中国AI大模型用户年龄的平均数为，由频率分布直方图计算平均数，即.故这200名中国AI大模型用户年龄的平均数为岁17.已知函数．（1）证明在上单调递增；（2）设，若在上满足恒成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）见详解（2）【解析】【分析】（1）根据增减性定义，设出，求证即可证明在上单调递增；（2）由题意得，结合二次函数的图象与性质即可求得，进而得到实数k的取值范围.【小问1详解】，设，则，易得，故，即当时，，，所以在上单调递增.【小问2详解】由在恒成立，则有当时，，，易得是开口向上的二次函数，对称轴为，故在上单调递增，所以，即，故实数k的取值范围是18.已知函数为指数函数，且在定义域内单调递增．（1）求函数的解析式；（2）若关于x的方程有两个不同的实数根，求实数k的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由是指数函数可得其系数为1，结合单调递增即可求的值；（2）设，原式转化为二次函数，由题意得有两个正实数根，进而可求k的取值范围.【小问1详解】由函数为指数函数得，解得或，因为在定义域内单调递增，有，故，故的解析式为.【小问2详解】设，原式转化为，则有，若方程有两个不同的实数根，单调递增，且，所以有两个不