2026年七年级下册数学竞赛试题及答案

2026年七年级下册数学竞赛试题及答案1.计算：(1)2026×2025－2025×2024＋2024×2023－2023×2022＋…＋2×1(2)若a＋b＝7，ab＝5，求a³＋b³(3)设x＝√7－√5，y＝√7＋√5，求(x²＋y²)/(xy)(4)已知正整数n满足n²＋n＋1是2026的因数，求所有可能的n之和(5)将1～2026的所有整数写成一排，求其中数字“2”出现的总次数【答案与解析】(1)原式＝2025(2026－2024)＋2023(2024－2022)＋…＋3(4－2)＋2×1＝2025×2＋2023×2＋…＋3×2＋2＝2×(2025＋2023＋…＋3)＋2括号内为公差－2的等差数列，共1012项，首项2025，末项3和＝1012×(2025＋3)/2＝1012×1014于是原式＝2×1012×1014＋2＝2×(1012×1014＋1)＝2×1026169＝2052338(2)a³＋b³＝(a＋b)(a²－ab＋b²)＝(a＋b)[(a＋b)²－3ab]＝7×(49－15)＝7×34＝238(3)xy＝(√7－√5)(√7＋√5)＝7－5＝2x²＋y²＝(x＋y)²－2xy＝(2√7)²－4＝28－4＝24于是(x²＋y²)/(xy)＝24/2＝12(4)2026＝2×1013，1013为质数n²＋n＋1的可能取值：1,2,1013,2026n²＋n＋1＝1⇒n＝0（舍）n²＋n＋1＝2⇒n＝1n²＋n＋1＝1013⇒n²＋n－1012＝0⇒n＝(－1±√4049)/2，非整数n²＋n＋1＝2026⇒n²＋n－2025＝0⇒n＝(－1±√8101)/2，非整数唯一正整数解n＝1，故和为1(5)分段统计：1～999：百位2出现100次，十位2出现10×10＝100次，个位2出现100次，共3001000～1999：千位1固定，后三位同上，300次2000～2026：千位2固定，出现27次；百位0～0无；十位0～2出现3次；个位0～6出现3次总计：300＋300＋27＋3＋3＝6332.填空：(6)若实数m满足m²－6m＋1＝0，则m⁴＋1/m⁴＝____(7)在1～100中随机取两不同数，其和为完全平方数的概率为____（最简分数）(8)如图，正方形ABCD边长为1，E在BC上，F在CD上，∠EAF＝45°，则△AEF面积的最小值为____(9)设a,b,c为正整数，且a＋b＋c＝2026，则abc的最大值为____(10)若x,y,z为正实数，且x＋y＋z＝1，则(x＋1/x)(y＋1/y)(z＋1/z)的最小值为____【答案与解析】(6)由m²－6m＋1＝0得m＋1/m＝6m²＋1/m²＝(m＋1/m)²－2＝34m⁴＋1/m⁴＝(m²＋1/m²)²－2＝1156－2＝1154(7)完全平方数：4,9,16,25,36,49,64,81,100枚举有序对(a,b)且a<b：和为4：(1,3)和为9：(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)和为16：(1,15)…(7,9)共7和为25：(1,24)…(12,13)共12和为36：(1,35)…(17,19)共17和为49：(1,48)…(24,25)共24和为64：(1,63)…(31,33)共31和为81：(1,80)…(40,41)共40和为100：(1,99)…(49,51)共49总对数：1＋4＋7＋12＋17＋24＋31＋40＋49＝185总取法C(100,2)＝4950概率＝185/4950＝37/990(8)设BE＝x，DF＝y，则CE＝1－x，CF＝1－y旋转△ABE绕A90°得△ADG，则G在CD延长线上，DG＝x，FG＝x＋y由∠EAF＝45°得△AEF≌△AGF，于是EF＝GF＝x＋y在Rt△ECF中：(1－x)²＋(1－y)²＝(x＋y)²化简得xy＋x＋y＝1令s＝x＋y，p＝xy，则p＋s＝1△AEF面积＝1－(x＋y)/2－(1－x)(1－y)/2＝(1－x－y＋xy)/2＝(1－s＋p)/2＝(1－s＋1－s)/2＝1－s需最小化1－s，即最大化s由p＝1－s≤(s/2)²⇒s²－4s＋4≥0⇒(s－2)²≥0，恒成立当x＝y时取等，解得x＝y＝√2－1，s＝2(√2－1)最小面积＝1－2(√2－1)＝3－2√2(9)固定和，积最大当三数最接近，2026÷3≈675.33取675,675,676，积＝675×675×676＝675²×676＝455625×676＝307702500(10)由AM≥GM：x＋1/x≥2，等号当x＝1但x＋y＋z＝1，不能同时取1考虑对称，令x＝y＝z＝1/3，则单因子1/3＋3＝10/3积＝(10/3)³＝1000/27≈37.04下证最小值即此：固定y＋z＝1－x，则(y＋1/y)(z＋1/z)在y＝z时最小于是可设x≤y≤z，逐步调整至相等，得最小值1000/273.解答题：(11)已知数列{aₙ}：a₁＝2，aₙ₊₁＝2aₙ＋3n－1，求通项公式及a₂₀₂₆的个位数字(12)如图，△ABC中AB＝AC，∠A＝100°，BD为角平分线，E在BC上，使得∠BDE＝30°，求∠DEC(13)设正整数n满足n的所有正因数之和为2026，求n的最小值与最大值(14)在平面直角坐标系中，给定2026个整点，任意三点不共线，求证：存在以这些点为顶点、面积为整数的三角形(15)甲、乙两人轮流从2026根火柴中取走1或2或3根，取走最后一根者胜；甲先取，问谁有必胜策略，并给出具体方案【答案与解析】(11)设aₙ＝2ⁿbₙ，代入递推：2ⁿ⁺¹bₙ₊₁＝2ⁿ⁺¹bₙ＋3n－1⇒bₙ₊₁＝bₙ＋(3n－1)/2ⁿ⁺¹累加：bₙ＝b₁＋Σ_{k＝1}^{n－1}(3k－1)/2^{k＋1}b₁＝a₁/2＝1令S＝Σ_{k＝1}^{∞}(3k－1)/2^{k＋1}，可求和：Σkx^k＝x/(1－x)²，|x|<1S＝(3/2)Σk(1/2)^k－(1/2)Σ(1/2)^k＝(3/2)(1/2)/(1/4)－(1/2)(1)/(1/2)＝3－1＝2于是bₙ＝1＋2－(3n＋5)/2ⁿ（余项估算）精确求和得bₙ＝4－(3n＋5)/2ⁿ故aₙ＝2ⁿ[4－(3n＋5)/2ⁿ]＝4·2ⁿ－3n－5a₂₀₂₆＝4·2²⁰²⁶－3·2026－5个位数字只看4·2²⁰²⁶mod102⁴≡6mod10，周期4，2026÷4余2，2²⁰²⁶≡4mod104×4＝16≡6mod10故个位数字为6(12)在AB上取点F使∠BDF＝20°，则△BDF≌△BDE（ASA）于是DF＝DE，∠DFE＝80°又∠DFC＝180°－80°－100°＝0°，故F与C重合于是∠DEC＝∠DFC＝80°(13)设σ(n)＝2026＝2×10131013为质数，故n的质因数分解只能含指数1或2情形1：n＝p^{1005}，则σ(n)＝(p^{1006}－1)/(p－1)＝2026p＝2时左边>2026，无解情形2：n＝p×q，σ(n)＝(p＋1)(q＋1)＝2026枚举因数对：(1,2026)(2,1013)得p＋1＝2,q＋1＝1013⇒p＝1（舍）或p＋1＝1013,q＋1＝2⇒p＝1012,q＝1（舍）情形3：n＝p²×q，σ(n)＝(p²＋p＋1)(q＋1)＝20262026＝2×1013，可能q＋1＝2⇒q＝1（舍）或q＋1＝1013⇒q＝1012，则p²＋p＋1＝2⇒p＝1（舍）情形4：n＝p×q×r，σ(n)＝(p＋1)(q＋1)(r＋1)＝20262026＝2×1013，只能拆为2×1013×1，舍综上，唯一可能n＝1012×1013σ(1012×1013)＝(1012＋1)(1013＋1)＝1013×1014＝2026故最小值＝最大值＝1012×1013＝1025156(14)取所有点横坐标mod2、纵坐标mod2，共4类由抽屉原理，至少⌈2026/4⌉＝507点同类，设此类为(偶,偶)取其中三点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),C(x₃,y₃)，则面积＝|x₁(y₂－y₃)＋x₂(y₃－y₁)＋x₃(y₁－y₂)|/2因坐标均为偶数，绝对值内为偶数，面积必为整数(15)取模4分析：2026≡2mod4甲先取2根，剩2024≡0mod4此后乙取k∈{1,2,3}，甲取4－k，保持剩余为4的倍数最终甲取最后一根，必胜4.综合探究：(16)将1～2026的所有整数分成若干组，每组和为2026，问最多能分多少组？给出一种具体方案(17)设函数f(n)表示将正整数n表示为若干个2的幂次之和（允许重复）的方案数，例如f(4)＝4（4,2＋2,2＋1＋1,1＋1＋1＋1），求f(2026)mod1000(18)在8×8方格中，将2026个格子染黑，其余染白，要求任意2×2子方格中黑格数不超过2，问共有多少种染色方案？【答案与解析】(16)每组和2026，总元素2026，最多2026/2026＝1组？显然非也允许重复使用数字？题意“分成”指划分，不重复则每组和2026，总元素和S＝2026×2027/2＝2026×1013.5非整数，矛盾故必须允许数字重复使用？重新理解：从1～2026中可重复选取若干数（每组内可重复），使每组和为2026，求最多组数则问题转化为：用1～2026的整数（可重复）凑成2026，求最大组数显然每组至少用1个2026，故最多1组若允许不同组重复使用同一数字，则无限题意应为：将1～2026的所有数恰好分成k个子集，每子集元素和为2026则总和须被2026整除，但2026×2027/2＝2026×1013.5非整数，不可能故最多0组？重新审题：“分成若干组”指将集合划分为若干子集，每子集和为2026因总和≡1013mod2026，非0，故无解最多0组(17)递推：f(0)＝1，f(2k)＝f(2k－2)＋f(k)，f(2k＋1)＝f(2k)计算得f(2026)mod1000＝f(2026)