第二章 （基础过关）直线与圆的方程 A卷（解析版）-【双基双测】 高二数学同步单元AB卷（人教A版2019选择性必修第一册）

第二章直线与圆的方程（A卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．魏晋时期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.割圆术可以视为将一个圆内接正边形等分成个等腰三角形（如图所示），当变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，可得到的近似值为（）（取近似值3.14）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时,每个等腰三角形的顶角为,则其面积为,又因为等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,所以,故选：B2．若点在直线l上，则直线l的一个方向向量为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以；因为，所以是直线l的一个方向向量.故选：A.3．经过点(－，2)，倾斜角是30°的直线的方程是（）A．y＋(x－2) B．y＋2＝(x－)C．y－2(x＋) D．y－2＝(x＋)【答案】C【解析】直线的斜率k=tan30°=，由直线的点斜式方程可得y－2＝(x＋)，故选：C．4．经过两点的直线的倾斜角是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】经过两点的直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则，又，所以.故选：B5．过点A(1，0)的直线l与圆(x-1)2+(y-1)2=1相交于A，B两点，若|AB|=，则该直线的斜率为（）A．±1 B．± C．± D．±2【答案】A【解析】由题意，该直线斜率存在，设直线l方程为，则圆心到直线l的距离为，则弦，解得.故选：A.6．已知圆，圆，，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】圆，即，圆心为，半径，圆，即，圆心为，半径，设点关于直线对称的点为则，解得：，圆关于直线对称的圆为圆，其圆心为，半径，则其方程为，设圆上的点与圆上点对称，则有，原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题，连接，与直线交于点，此时点是满足最小的点，此时，即的最小值为，故选：A．7．已知直线，与两坐标轴分别交于、两点．当的面积取最小值时（为坐标原点），则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由直线，，可得，，所以当的面积，令，所以，所以当，即时，取得最小值．故选：C8．直线与曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值范围是（）A． B．或C． D．以上都不正确【答案】B【解析】解：由变形得曲线表示半圆，如图，作半圆的切线和经过端点的直线，由图可知，当直线为直线或位于和之间(包括，不包括)时，满足题意．∵与半圆相切，∴根据圆心到直线的距离为半径得；当直线位于时，；当直线位于时，.∴的取值范围是或.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（）A．y=x+1 B．y=2 C． D．y=2x+1【答案】BC【解析】A.点M(5，0)到直线y=x+1的距离为：，故错误；B.点M(5，0)到直线y=2的距离为：，故正确；C.点M(5，0)到直线的距离为：，故正确；D.点M(5，0)到直线y=2x+1的距离为：，故错误；故选：BC10．平面上三条直线，若这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k的值为（）A． B． C．0 D．1【答案】ABC【解析】因为平面上三条直线将平面划分为六个部分，所以直线与直线平行或直线与直线平行或者直线经过直线与直线的交点，当直线与直线平行时，，解得，当直线与直线平行时，可得，当直线经过直线与直线的交点时，，解得.所以或或.故选：ABC11．已知ab≠0，O为坐标原点，点P(a，b)是圆x2+y2＝r2外一点，过点P作直线l⊥OP，直线m的方程是ax+by＝r2，则下列结论正确的是（）A．m∥l B．m⊥l C．m与圆相离 D．m与圆相交【答案】AD【解析】解：直线OP的斜率为，直线l的斜率为﹣，直线l的方程为：ax+by＝a2+b2，又P(a，b)在圆外，∴a2+b2＞r2，故m∥l，圆心(0，0)到直线ax+by＝r2的距离d＝＜＝|r|，故m与圆相交，故选：AD.12．已知圆，圆交于不同的两点，下列结论正确的有（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】两圆方程作差可得直线方程：，即.对于A，将坐标代入直线方程得：，，两式作差得：，则，A正确；对于B，将代入直线方程得：，B正确；对于CD，由圆的性质知：线段与线段互相平分，又中点为，，，，，C正确，D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．求过直线与轴的交点，且与直线的夹角为的直线的方程__．【答案】或【解析】由直线，可得直线的斜率为，且与轴的交点坐标为，所以直线的倾斜角为，因为直线的夹角为，可得所求直线的倾斜角为或，所以所求直线的斜率为或不存在，故所求直线方程为或，即或．14．已知点，，，若点在以为直径的圆外，则的取值范围是______【答案】【解析】因为点，，则以为直径的圆的圆心坐标为，半径，所以圆的方程为，因为点在以为直径的圆外，所以，解得或．故的取值范围是．故答案为：．15．如图，已知圆是圆上两个动点，点，则矩形的顶点的轨迹方程是___________．【答案】【解析】设点，如图连接交于，由矩形可知为的中点，，连接，在直角中，，则即，整理得，所以顶点的轨迹方程是故答案为：16．已知过点的直线l被圆所截得的弦长为8，那么直线l的方程_____________.【答案】或【解析】设圆心到直线的距离为，由题意可知：，解得：，即点到经过点直线的距离为，很明显直线的斜率不存在时满足题意，直线方程为，当直线斜率存在时，设直线方程为，即，由点到直线距离公式可得：，解得：，此时，直线方程为，整理为一般式即：.综上可得：直线的方程为或.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在中，已知，，．（1）求直线，，的斜率；（2）判断直线的倾斜角是锐角还是钝角或直角．【答案】（1），，直线的斜率不存在；（2）钝角．【解析】（1）由，，，得，，与的横坐标相等，直线的斜率不存在；（2），直线的倾斜角为钝角．18．已知直线的倾斜角是所求直线的倾斜角的大小的5倍，且直线分别满足下列条件：（结果化成一般式）（1）若过点，求直线的方程．（2）若在轴上截距为，求直线的方程．（3）若在轴上截距为3，求直线的方程．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】由直线得其斜率为，则其倾斜角的正切值为，，又直线的倾斜角是所求直线的倾斜角的大小的5倍，故所求直线的倾斜角为，其斜率为；（1）若所求直线过点，由点斜式方程得：，整理得：；即所求方程为；（2）若所求直线在轴截距为，则直线过点，由点斜式方程得：，整理得；即所求方程为；（3）在轴上截距为3，由斜截式方程得：，整理得：；即所求方程为.19．已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1)．若D为的边AB上一动点，求直线CD斜率k的取值范围．【答案】【解析】如图，当斜率k变化时，直线CD绕点C旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为.20．已知圆.（1）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）若直线过点与圆相交于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程.【答案】（1）或；（2）最大值2，直线的方程为或.【解析】（1）圆的圆心坐标为，半径，直线被圆截得的弦长为，由勾股定理得到圆心到直线的距离①当直线的斜率不存在时，，显然满足；②当直线的斜率存在时，设，即，由圆心到直线的距离得：，解得，故；综上所述，直线的方程为或（2）直线与圆相交，的斜率一定存在且不为0，设直线方程：，即，则圆心到直线的距离为，又的面积当时，取最大值2，由，得或，直线的方程为或.21．如图，在道路边安装路灯，路面OD宽12m，灯柱OB高14m，灯杆AB与地面所成角为30°．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线AC与灯杆AB垂直，轴线AC，灯杆AB都在灯柱OB和路面宽线OD确定的平面内．（1）当灯杆AB长度为多少时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线？（2）如果灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线，此时有一高2.5m的警示牌直立在C处，求警示牌在该路灯灯光下的影子长度．【答案】（1）当灯杆AB长度为2m时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线；（2）m.【解析】解：（1）分别以图中OD、OB所在直线为x、y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，灯杆AB与地面所成角为30°，B（0，14），AB方程为：y＝x+14，…①因为灯罩线AC与灯杆AB垂直，可设的斜率为，则＝，又C（6，0），所以直线AC的方程为：y＝（x﹣6），…②由①②组成方程组，求得点A（，15）；所以|AB|＝＝2，即当灯杆AB长度为2m时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线；（2）设警示牌为CM，且CM⊥OD，则M（6，），A（，15），所以直线AM的方程为：y﹣15＝（x﹣），令yN＝0，解得xN＝7，所以CN＝