2026年数学建模方法与应用考试题

2026年数学建模方法与应用考试题一、单选题（共5题，每题2分，计10分）1.在某城市交通流模型中，若用微分方程描述车流量变化，下列哪个方程更适用于描述单车道上的车流密度ρ与时间t的关系？（）A.ρ′=-aρ(b-ρ)B.ρ′=arρ(1-ρ/L)C.ρ′=-kρ²D.ρ′=bρ-cρ²2.在处理某地区传染病传播问题时，若采用SIR模型（易感-感染-移除），以下哪个参数最能反映感染者向移除者转变的速度？（）A.β（感染率）B.γ（移除率）C.α（潜伏期比例）D.δ（免疫丧失率）3.某电商平台通过A/B测试优化商品推荐算法，发现算法改进后用户点击率提升了15%。若用逻辑回归模型分析，该提升主要体现在哪个指标上？（）A.模型偏差（Bias）B.模型方差（Variance）C.AUC（曲线下面积）D.F1分数4.在农业产量预测中，若采用时间序列ARIMA模型，以下哪个检验用于判断序列是否平稳？（）A.Ljung-Box检验B.Durbin-Watson检验C.Kolmogorov-Smirnov检验D.Shapiro-Wilk检验5.某工厂生产线上出现零件缺陷问题，采用帕累托图分析发现80%的缺陷由3个原因导致。此时最适合的改进方法是？（）A.均值-标准差控制图B.因果分析图C.散点图D.箱线图二、填空题（共5题，每题2分，计10分）1.在线性回归模型中，若残差平方和为SSR，总平方和为SST，则判定系数R²的表达式为__________。2.若某城市自来水管网存在泄漏，通过压力-流量关系模型发现泄漏点会导致管网压力下降12%，此时__________方法可用于定位泄漏位置。3.在供应链管理中，若需求服从正态分布N(μ,σ²)，缺货成本为Cₛ，备货成本为C₀，则最优订货量Q可通过__________公式计算。4.在机器学习模型中，过拟合现象通常表现为训练集误差远低于测试集误差，此时可通过__________技术缓解该问题。5.若某地区雾霾天数占比为30%，采用贝叶斯公式更新后，若观测到连续3天雾霾，则雾霾天概率P(D|E)的表达式为__________。三、简答题（共4题，每题5分，计20分）1.简述灰色预测模型（GM(1,1)）的基本原理及其在短期经济预测中的应用场景。2.在交通流量控制中，为什么卡尔曼滤波器比传统PID控制器更适用于动态路况估计？3.某公司通过聚类分析将客户分为三类，若发现聚类结果与实际业务需求不符，应如何调整聚类参数？4.在金融风险评估中，VaR（风险价值）模型的核心假设是什么？若市场出现极端波动，该模型可能失效的原因有哪些？四、计算题（共3题，每题10分，计30分）1.某城市公交系统每天6:00-8:00高峰期客流变化数据如下表，试用指数平滑法（α=0.3）预测6:30的客流量。|时间|客流量（人/小时）||--|||6:00|1200||6:30|1800||7:00|2500||7:30|3000|2.某农场种植两种作物A和B，单位面积投入成本分别为400元/亩和600元/亩，收益分别为800元/亩和1000元/亩。若土地总面积为100亩，且政府补贴政策要求B作物种植面积不低于总面积的40%，求如何分配种植面积才能使总利润最大？3.某医院记录了某病患者的治愈时间数据（单位：天）：15,20,18,22,25,19,24。试用生存分析法计算该病患者的中位生存时间及95%置信区间（假设数据服从Weibull分布）。五、应用题（共2题，每题20分，计40分）1.某港口码头通过仿真模型优化集装箱装卸作业流程。已知当前作业效率为每小时50箱，若引入自动化设备，预计效率提升至每小时70箱，但设备投资成本为200万元。若装卸成本为10元/箱，设备折旧年限为5年，试用成本效益分析法判断是否应引入自动化设备。2.某旅游城市通过问卷调查收集游客满意度数据，其中交通、住宿、餐饮三项评分均服从正态分布，样本均值分别为4.2、4.5、4.0，标准差分别为0.8、0.7、0.9。若政府部门计划投入100万元提升服务质量，试通过多目标规划模型分配资金，使三项评分均达到4.8分。答案与解析一、单选题答案1.A（Logistic模型适用于车流密度饱和增长场景）2.B（γ反映感染到移除的速率）3.C（AUC衡量模型区分能力，点击率提升对应AUC增大）4.A（Ljung-Box检验用于序列自相关性检验）5.B（帕累托图聚焦主要问题，因果分析图深入根源）二、填空题解析1.R²=SSR/SST（衡量回归解释度）2.压力波法（泄漏点会导致压力骤降）3.EOQ公式（EconomicOrderQuantity）4.正则化（Lasso/Ridge）5.P(D|E)=P(E|D)P(D)/P(E)（贝叶斯公式更新概率）三、简答题解析1.GM(1,1)原理：基于累加生成序列建立一阶线性微分方程，适用于数据弱相关但趋势稳定的短期预测。应用场景：如GDP、人口增长等经济指标预测。2.卡尔曼滤波优势：可处理动态系统噪声干扰，实时更新估计值，而PID依赖固定参数，无法适应突变路况。3.调整聚类参数：①增加/减少聚类数k；②调整距离度量（如欧氏距离/曼哈顿距离）；③使用轮廓系数评估聚类效果。4.VaR模型假设：市场正态分布、独立同分布；失效原因：黑天鹅事件、尾部风险未覆盖。四、计算题解析1.指数平滑法：6:30预测值=0.3×1800+0.7×1200=1500（人/小时）2.线性规划模型：设A、B种植面积分别为x₁、x₂，约束：x₁+x₂≤100；x₂≥40；x₁,x₂≥0目标函数：Max(400x₁+600x₂)解得：x₁=60,x₂=40，总利润=84000元3.生存分析：中位生存时间=18天（排序第4值）；置信区间计算需极大值似然估计（略）。五、应用题解析1.成本效益分析：年均效益=(70-50)×10×2000-200万=600万；投资回收期=200/60≈3.3