专题02 集合与其他知识交汇的新定义解答题（新定义高观点压轴题）（学生版）

专题02集合与其他学问交汇的新定义解答题（新定义，高观点，压轴题）1．（2025·重庆·模拟猜测）在二维空间即平面上点的坐标可用两个有序数组表示，在三维空间中点的坐标可用三个有序数组表示，一般地在维空间中点A的坐标可用n个有序数组表示，并定义n维空间中两点，间的“距离”．(1)若，，求；(2)设集合．元素个数为2的集合M为的子集，且满足对于任意，都存在唯一的使得，则称M为“的优集”．证明：“的优集”M存在，且M中两不同点的“距离”是7．2．（2025·北京·模拟猜测）对给定的正整数，令，对任意的，，定义与的距离．设是的含有至少两个元素的子集，集合中的最小值称为的特征，记作．(1)当时，直接写出下述集合的特征：；(2)当时，设且，求中元素个数的最大值；(3)当时，设且，求证：中的元素个数小于．3．（2025·云南昆明·一模）若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B．设集合，（，），且．设有序四元数集合且，．对于给定的集合B，定义映射f：P→Q，记为，按映射f，若（），则；若（），则．记．(1)若，，写出Y，并求；(2)若，，求全部的总和；(3)对于给定的，记，求全部的总和（用含m的式子表示）．4．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．(1)设，请写出向量集Y并推断X是否具有性质P（不需要证明）．(2)若，且集合具有性质P，求x的值；(3)若X具有性质P，且，q为常数且，求证：．5．（2025·北京石景山·一模）已知集合，对于，，定义与之间的距离为．(1)已知，写出全部的，使得；(2)已知，若，并且，求的最大值；(3)设集合，中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：．6．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）设集合、为正整数集的两个子集，、至少各有两个元素.对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则.则称集合为集合的“集”.(1)若集合，求的“集”；(2)若三元集存在“集”，且中恰含有4个元素，求证：；(3)若存在“集”，且，求的最大值.7．（2025·湖南邵阳·二模）给定整数，由元实数集合定义其随影数集.若，则称集合为一个元抱负数集，并定义的理数为其中全部元素的确定值之和.(1)分别推断集合是不是抱负数集；（结论不要求说明理由）(2)任取一个5元抱负数集，求证：；(3)当取遍全部2025元抱负数集时，求理数的最小值.注：由个实数组成的集合叫做元实数集合，分别表示数集中的最大数与最小数.8．（2025·广东·模拟猜测）设X，Y为任意集合，映射．定义：对任意，若，则，此时的为单射．(1)试在上给出一个非单射的映射；(2)证明：是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合与映射，若对任意，有，则；(3)证明：是单射的充分必要条件是：存在映射，使对任意，有．9．（2025·广东江门·一模）将2025表示成5个正整数，，，，之和，得到方程①，称五元有序数组为方程①的解，对于上述的五元有序数组，当时，若，则称是密集的一组解.(1)方程①是否存在一组解，使得等于同一常数?若存在，恳求出该常数；若不存在，请说明理由；(2)方程①的解中共有多少组是密集的?(3)记，问是否存在最小值?若存在，恳求出的最小值；若不存在，请说明理由.10．（2025·全国·模拟猜测）拓扑学是一个争辩图形（或集合）整体结构和性质的一门几何学，以抽象而严谨的语言将几何与集合联系起来，富有直观和规律．已知平面，定义对，，其度量（距离）并称为一度量平面．设，，称平面区域为以为心，为半径的球形邻域．(1)试用集合语言描述两个球形邻域的交集；(2)证明：中的