专题1-1 函数对称性周期性问题（被反复考察的题型）（解析版）

专题1-1函数对称性周期性问题（被反复考察的题型）名目【函数对称性】 3真题回顾与梳理 42025新高考1卷第12题——涉及2个函数，需要求导 42025全国乙卷第12题——涉及2个函数，不需要求导 52025全国甲卷（理）12题——由对称性得出周期性求值 62025全国甲卷（文）12题——由对称性得出周期性求值 72025新高考2卷第8题——由对称性得出周期性求值 82025年全国乙卷（文）16题——考察奇偶函数定义域的对称性 8题型一不涉及导数 10广东省汕头市2025届高三上学期期中·8 102025届深圳市二模·15 112025·福建·厦门外国语学校5月适应性考试·12 11山东省潍坊一中、山东师大附中等齐鲁名校2025届高三其次次学业质量联合检·12 122025广东茂名高三一模·10 122025·湖南长沙·湖南师大附中校考三模 13湖南郴州九校联盟5月适应性考试·16 14福建泉州2025届高中毕业班监测（一）·16 14湖北圆创高三下5月联考·10 15题型一补充(1)：由对称性求方程根之和 17广东省一模·15 17广东省六校2025届高三上学期第一次联考·8 17题型一补充(2)：由解析式得出对称性 182025·山东·潍坊三模·12 182025·湖南郴州·统考三模 192025届深圳一模·8 192025届广东七校第一次联考·8&2017全国三卷文·12/理·11 20题型二涉及导数 202025·山东聊城·统考三模 20长沙市长郡雅礼一中师大四校5月“一起考”·15 212025·湖北省一模·7 222025届珠海一中5月适应性训练·8 232025年T8第一次联考·7 242025汕头市三模·12 26山东德州市三模·8 272025届杭州二模&长郡中学二模·10 28浙江宁波二模·10 28浙江嘉兴二模·8 30题型二补充：涉及导数，且有2个函数 312025届汕头一模·8 31湖北恩施二中5月适应性训练·11 322025浙江省浙南名校、七彩阳光联盟2月返校考·12 33【函数对称性】，关于对称是偶函数，且关于对称是奇函数周期：一由对称轴与对称中心的距离推出周期T（参考三角函数图像），间或也会消灭这个式子例：若题目中给出是偶函数证：设关于对称，通过函数图像的平移和伸缩变换求出a的值左移1个单位得再把横坐标变为原来的一半得对称轴真题回顾与梳理2025新高考1卷第12题——涉及2个函数，需要求导1．（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，依据函数的性质逐项推断即可得解.【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系争辩对于，由于为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；对于，由于为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，由于其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，明显A，D错误，选BC.故选：BC.[方法三]：由于，均为偶函数，所以即，，所以，，则，故C正确；函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导，所以，所以，所以，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.2025全国乙卷第12题——涉及2个函数，不需要求导2．已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后依据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.【详解】由于的图像关于直线对称，所以，由于，所以，即，由于，所以，代入得，即，所以，.由于，所以，即，所以.由于，所以，又由于，联立得，，所以的图像关于点中心对称，由于函数的定义域为R，所以由于，所以.所以.故选：D点评：含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，需要依据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.2025全国甲卷（理）12题——由对称性得出周期性求值3．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【详解】[方法一]：由于是奇函数，所以①；由于是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，由于，所以，令，由①得：，所以．思路一：从定义入手．所以．[方法二]：由于是奇函数，所以①；由于是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，由于，所以，令，由①得：，所以．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期．所以．故选：D．2025全国甲卷（文）12题——由对称性得出周期性求值4．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.【详解】由题意可得：，而，故.故选：C.2025新高考2卷第8题——由对称性得出周期性求值5．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.【详解】由于函数为偶函数，则，可得，由于函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，由于函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.2025年全国乙卷（文）16题——考察奇偶函数定义域的对称性6．若是奇函数，则，．【答案】；．【分析】依据奇函数的定义即可求出．【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性若，则的定义域为，不关于原点对称若奇函数的有意义，则且且，函数为奇函数，定义域关于原点对称，，解得，由得，，，故答案为：；．[方法二]：函数的奇偶性求参函数为奇函数[方法三]：由于函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．故答案为：；．重点题型·归类精讲重点题型·归类精讲题型一不涉及导数广东省汕头市2025届高三上学期期中·8已知定义在上的函数，满足为奇函数且为偶函数，则下列结论肯定正确的是A．函数的周期为 B．函数的周期为C． D．【答案】C【分析】推导出，，可推导出函数的周期，可推断AB选项的正误；利用函数的周期性和对称性可推断CD选项的正误.【详解】由于函数为奇函数，则，令，则，所以，对任意的，，故函数的图象关于点对称，由于函数为偶函数，则，令，可得，所以，对任意的，，故函数的图象关于直线对称，所以，，所以，，则，所以，函数的周期为，AB都错；对任意的，，令，可得，，的值不确定，C对D错.2025届深圳市二模·15已知函数的定义域为，若为奇函数，且，则_________.【答案】【解析】由于为奇函数，则，所以，，在等式中，令，可得，解得，又由于，则，①所以，，②由①②可得，即，所以，函数为周期函数，且该函数的周期为，所以，.2025·福建·厦门外国语学校5月适应性考试·12（多选题）定义在上的函数满足，是偶函数，，则（

）A．是奇函数 B．C．的图象关于直线对称 D．【答案】ABD【分析】利用函数的奇偶性、对称性、周期性求解即可.【详解】对于选项，∵是偶函数，∴，∴函数关于直线对称，∴，∵，∴，∴是奇函数，则正确；对于选项，∵，∴，∴,∴的周期为，∴，则正确；对于选项，若的图象关于直线对称，则，但是，，即，这与假设条件冲突，则选项错误；对于选项，将代入，得，将，代入，得，同理可知，又∵的周期为，∴正奇数项的周期为，∴，则正确.山东省潍坊一中、山东师大附中等齐鲁名校2025届高三其次次学业质量联合检·12（多选题）已知函数的定义域为，为奇函数，且对于任意，都有，则（

）A． B．C．为偶函数 D．为奇函数【答案】BCD【解析】由，得．由是奇函数，得，即，所以，即，所以，故选项A错误；由，得，由，得，所以，故选项B正确；由，，得，即为偶函数，故选项C正确；由，，得，则，即为奇函数，故选项D正确．2025广东茂名高三一模·10（多选）已知函数对，都有，为奇函数，且时，，下列结论正确的是（

）A．函数的图像关于点中心对称B．是周期为2的函数C．D．【答案】ACD【解析】由题意为奇函数得，即，故的图像关于中心对称，故A正确；由，得，所以，即是周期为4的函数，故B错误；由，令，则，故，故C正确；时，，∵的周期为4，∴，故D正确，故选:2025·湖南长沙·湖南师大附中校考三模（多选）已知为偶函数，且恒成立．当时．则下列四个命题中，正确的是（

）A．的周期是 B．的图象关于点对称C．当时， D．当时，【答案】ACD【分析】由可以得出函数的周期，推断选项A；由于又是偶函数，可以推出函数的对称性，推断选项B；是偶函数及周期性，推断选项C，D.【详解】由得，，所以的周期是．A正确．由于是偶函数，所以就是，即，所以的图象关于直线对称．B不正确．依据偶函数的对称性，C明显正确．当时，，则，即；当时，，则，即．所以D正确．故选：ACD．湖南郴州九校联盟5月适应性考试·16已知定义在R上的函数f(x)在上单调递增，且函数f(x)－1为奇函数，则f(3x＋4)＋f(1－x)＜2的解集为_________.【答案】【解析】函数为奇函数函数关于(0,1)中心对称f(1－x)+f(－1+x)=2又在[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，，∴3x＋4＜x－1，∴.福建泉州2025届高中毕业班监测（一）·16已知函数的定义域为R，fx2为偶函数，为奇函数，且当x0,1时，f(x)axb．若 ，则________.【答案】50简证：第一步：分析奇偶性fx2为偶函数关于x=2对称，为奇函数关于（1,0）对称，故T=4其次步求出解析式，由对称性画出大致图像由对称性可知：，，，画图略第三步通过周期求值，取1，2,3,4时，，，，而由此，规律为：湖北圆创高三下5月联考·10(多选)已知函数和都是偶函数,当x∈[0，1]时，，则下列正确的结论是A.当x∈[－2，0]时，B．若函数在区间(0，2)上有两个零点x1，x2，则有x1＋x2＜2C.函数在[4,6]上的最小值为D.【答案】ACD【解析】易知关于x=0和x=1对称，T=2，画出图像，A对对于B，令，设x1<x2，画图看不出来令，找中间数，，故x1<，故x1>，故x1>综上x1＋x2>2法二：类似极值点偏移思路需要比较x1关于直线x＝1的对称点2－x1与x2的大小关系，若2－x1>x2则x1+x2<2，若2－x1<x2，则x1+x2>2.令，即比较与的大小关系，，令对于C，易知x=6时取到最小值，C对对于D，，由对称性可知，，故，即，D正确题型一补充(1)：由对称性求方程根之和广东省一模·15已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，为偶函数，若在上恰好有4个不同的实数根，则___________.【答案】24【解析】由为偶函数，则，故，又是定义在上的奇函数，则，所以，故，即有，综上，的周期为8，且关于对称的奇函数，由在上单调递减，结合上述分析知：在上递增，上递减，上递增，所以在的大致草图如下：要使在上恰好有4个不同的实数根，即与有4个交点，所以，必有两对交点分别关于对称，则.广东省六校2025届高三上学期第一次联考·8定义在R上的函数满足；且当时，．则方程全部的根之和为（）A．14 B．12 C．10 D．8【答案】A【分析】依据题中所给的函数性质可得的周期为4且关于，再画图分析与的交点对数，进而依据对称性可得根之和即可.【详解】由可得为奇函数，且关于对称.又由题意，故，所以关于对称，且，故的周期为4.又当时，，此时，故在为增函数.综上可画出的函数部分图像.又方程的根即与的交点，易得在区间上均有3个交点，且关于对称，加上共7个交点，其根之和为题型一补充(2)：由解析式得出对称性2025·山东·潍坊三模·12(多选)已知函数，实数a满足不等式，则a的值可以是A． B．1 C． D．3【答案】CD【分析】依据函数解析式推断出函数对称性，依据函数导数推断函数单调性，依据函数单调性将外函数的大小比较转化为内函数大小比较即可.【详解】由于，所以，所以关于对称，，当且仅当，即时等号成立，又因，所以恒成立，则是增函数，由于，所以，则.故选：CD.2025·湖南郴州·统考三模已知函数，实数满足不等式，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】依据条件推断函数关于对称，求函数的导数，争辩函数的单调性，利用函数的对称性和单调性将不等式进行转化求解即可.【详解】，，所以函数关于对称，，，，恒成立，则是增函数，由，则则，得，故选：A2025届深圳一模·8已知函数，其中为实数，则A．在单调递增 B．在单调递减

C．曲线是轴对称图形 D．曲线是中心对称图形【答案】C【分析】由解析式易得且定义域为且即可推断C；对求导，并争辩、争辩在上的符号推断A、B；依据是否为定值推断D.【详解】由题设，，定义域为且，所以关于对称，C正确；又，当时，不妨假设，则，明显，此时在上有递减区间，A错误；当时，在上，即在上递增，B错误；由，不行能为定值，故D错误.2025届广东七校第一次联考·8&2017全国三卷文·12/理·11已知函数有唯一零点，则A． B． C． D．1【答案】C【详解】由于，设，则，由于，所以函数为偶函数，若函数有唯一零点，则函数有唯一零点，依据偶函数的性质可知，只有当时，才满足题意，即是函数的唯一零点，所以，解得.故选：C.题型二涉及导数2025·山东聊城·统考三模已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，恰有四个零点，则这四个零点的和为________．【答案】4【分析】依据题意，由条件可得为偶函数，可得其全部零点之和为0，然后即可得到结果.【详解】将函数向左平移1个单位，所以，由于是偶函数，由偶函数的导数为奇函数可知，是奇函数，且奇函数与奇函数的乘积为偶函数，则为偶函数，所以为偶函数，又由于函数恰有四个零点，即函数恰有四个零点，且这四个零点肯定是两组关于轴对称，其四个零点之和为0，而是由向左平移了1个单位，所以的四个零点之和为4.长沙市长郡雅礼一中师大四校5月“一起考”·15设函数，的定义域均为，且函数，均为偶函数．若当时，，则的值为________．【答案】【解析】【分析】对函数求导，依据函数的奇偶性，对称性，周期性分析即可求解.【详解】由于函数，的定义域均为R，且函数为偶函数，则，求导得，即，所以函数的图像关于对称．由于函数为偶函数，所以，所以函数的图像关于对称，由函数的图像关于对称，且关于直线对称．所以函数的周期为，．由，，，所以，即，即，所以当时，于是．2025·湖北省一模·7已知函数及其导函数的定义域均为R，且，，则（

）A．11 B．9 C．0 D．【答案】A【详解】由于对任意的，即，所以为奇函数，故．由得，，即，设，则为奇函数，，且，所以图像关于直线对称，由得，，所以，所以所以的周期为4．所以，所以，由求导可得，所以关于对称，所以由对称性可知图像关于直线对称，由于，所以，所以，所以所以的周期为4，所以，又，所以，所以．2025届珠海一中5月适应性训练·8已知函数及其导函数的定义域均为，记．若为奇函数，为偶函数，且，，则（

）A．670 B．672 C．674 D．676【答案】D【分析】运用抽象函数的奇偶性表达式及导数运算可得的一个周期为3，再运用赋值及周期性计算可得一个周期内的和，进而可求得结果.【详解】∵为奇函数，∴，∴，即：，又∵，∴，①又∵为偶函数，∴，②∴将②中换成得：，③∴将③中换成得：，④由①④得：，∴的一个周期为3，∴，将代入③得：，∴又∵，∴.2025年T8第一次联考·7已知函数f(x)及其导函数的定义域均为R，记，若为奇函数，为偶函数，则A．2025 B．2025 C．2025 D．2025【答案】C法一：找出一个满足条件的函数解析式为奇函数为偶函数，且也为偶函数设，为偶函数，故，则，即法二：对两边求导∵g(x)为偶函数，∴，即，两边同时对x求导得，即，令x＝0，则，为奇函数，，又，即，联立，得，即，，故选C．

2025届黄冈市9月高三第一次调研·8 已知函数及其导函数定义域均为，记，且，为偶函数，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】对两边同时求导，结合函数的周期和偶函数的性质进行求解即可.【详解】由于为偶函数，，所以，对两边同时求导，得，所以有所以函数的周期为，在中，令，所以，因此，由于为偶函数，所以有，，由可得：，所以，故选：C【点睛】关键点睛：本题的关键是对两边同时求导，再利用赋值法进行求解.2025汕头市三模·12（多选）已知函数及其导函数的定义域均为R．记，若为偶函数，为奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】由为偶函数，可得的图象关于直线对称，由为奇函数，可得的图象关于对称，再由，可得的图象关于对称，然后逐个分析推断即可.【详解】由于为偶函数，所以，令，则，所以，即，所以的图象关于直线对称，所以，所以D正确，由，得，所以，所以，所以的图象关于对称，由于为奇函数，所以，所以的图象关于对称，所以的周期为，令，则，所以，所以所以，所以C正确，由于的周期为2，所以，由于的图象关于对称，所以，所以不肯定成立，所以B错误，由，可得，所以（为常数），所以，此式不肯定为零，所以A错误，故选：CD山东德州市三模·8已知函数及其导函数的定义域均为R，且为奇函数，，，则（

）A．13 B．16 C．25 D．51【答案】C【解析】由，令，得，所以．由为奇函数，得，所以，故①．又②，由①和②得，即，所以，③令，得，得，令，得，得．又④，由③-④得，即，所以函数是以8为周期的周期函数，故，所以，所以，2025届杭州二模&长郡中学二模·10(多选)已知函数（）是奇函数，且，是的导函数，则（

）A． B．的一个周期是4 C．是偶函数 D．【答案】BC【分析】依据函数奇偶性与可得，依据导数的运算可得从而可推断B项，依据周期性与奇偶性可推断A项，依据奇偶性与导数运算可得，从而可推断C项，在中，令代入计算可推断D项.【详解】由于函数是奇函数，，所以，所以，即：，故的周期为4，所以，故的一个周期为4，故B项正确；，故A项错误；由于函数是奇函数，所以，所以，即：，所以为偶函数，故C项正确；由于，所以，令，可得，解得：，故D项错误.浙江宁波二模·10已知函数与及其导函数与的定义域均为，是偶函数，的图象关于点对称，则（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】先证明定理1：若函数连续且可导，则图象关于直线对称导函数图象关于点对称．定理2：若函数连续且可导，则图象关于点对称导函数图象关于直线对称．令，即可推断A，D；令，即可推断B，C．【详解】定理1：若函数连续且可导，则图象关于直线对称导函数图象关于点对称．定理2：若函数连续且可导，则图象关于点对称导函数图象关于直线对称．以下证明定理1，定理2：证明：若函数图象关于直线对称，则，则，所以导函数图象关于点对称．若导函数图象关于点对称，则，令，则，则(c为常数)，又，所以，则，所以图象关于直线对称．若函数图象关于点对称，则，则，所以图象关于直线对称．若导函数图象关于直线对称，则，令，则，则(c为常数)，又，所以，则，所以图象关于点对称．故下面可以直接引用以上定理．由是偶函数，的图象关于点对称，则有，，由定理1，则图象关于点对称，所以，和定理2，则的图象关于，所以，对于A，令，则，所以，故A正确；对于B，令，则，所以，故B正确；对于C，令，则，所以，故C正确；对于D，令，则，所以，故D错误．浙江嘉兴二模·8设函数的定义域为，其导函数为，若，则下列结论不肯定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】依据题意令可得，即函数图象关于对称，即可推断A；依据抽象函数的奇偶性和对称性可得函数的周期为2，即可推断BD；由知函数图象关于直线对称，举例说明即可推断C.【详解】A：令，得，则函数图象关于点对称.若，则函数图象关于点对称，符合题意，故A正确；B：由选项A的分析知，等式两边同时求导，得，即①，又，为偶函数，所以②，由①②得，所以函数的周期为2.所以，即，故B正确；C：由