江苏省南通市2026届高三上学期学业质量监测数学试题（含答案）

南通市2026届高三学业质量监测1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔3.本卷满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有2.已知集合A={0,1,2},B={x|2x²-x-3<0},则A∩B=A.{0}B.{1}C.{0,1}4.“b²=ac”是“a,b,c成等比数列”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.用与圆柱底面成30°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为6.某生物学兴趣小组对某地同种成年向日葵的株高H(单位：cm)进行了测量，发现株高H近似服从正态分布.已知测量的向日葵平均株高为172.0cm,标准差为14.5.现按株高将这批向日葵划分为四个等级：过矮(后10%)、正常偏矮(10%~50%)、数学试卷第1页(共4页)“过高”等级中最矮株高可能为A.184.6cmB.186.6cmC.187.设函则下列函数中为奇函数的是AD=2,点S到直线CD的距离为2.以A为球心，为半径的球面与侧面SCD的交线长为二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知正数x,y,z满足x³=y⁴=z⁵,则x,y,A.x<z<yB.x<y<zC.y<x<zD.z<y<x10.已知双曲线C:的左、右焦点分别为F,F₂,过点F₂作垂直于x轴的直线交C于A,B两点.若直线AF₁的斜率是△ABF的周长是16,则A.C的渐近线方程为y=±2xB.C的实轴长是2C.△ABF₁的面积是12D.△ABF的外接圆半径是11.设S。是数列{an}的前n项和，若为“均增数列”,则下列说法正确的有A.若aₙ=2n-1,则数列{a。}是“均增数列”B.若等差数列{an}是“均增数列”,则公差d>0C.若{a。}是“均增数列”,则a₀<an+1D.若a=-2q"-¹,则存在负数q,使得数列{a。}是“均增数列”三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在的展开式中，所有项的二项式系数之和为64,则常数项为·13.已知曲线y=eˣ⁻¹+ax²在x=1处的切线方程为y=2x+b,则b=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)某地举办业余乒乓球联赛，比赛分“有缝球型”和“无缝球型”两个赛区，从该地区抽取部分选手进行调研，相关数据如下表：喜欢用有缝球喜欢用无缝球直拍打法选手(1)能否有95%以上的把握认为不同打法的选手对于有缝球和无缝球的喜好有影响?(2)若从参加调研的“横拍打法”选手中用分层抽样的方法抽取8名选手，按照各自喜爱的球型参加相应赛区的比赛.现从8名选手中选3人，用AI监测他们的比赛数据，求两附：z²=(a+b)附：z²=(a+b)Kc+a2-a+03(6+)’k如图，在四面体A-BCD中，AD⊥平面BCD,BC⊥CD,点N在线段AC上.(2)若MN//平面BCD,求MN.17.(15分)已知函,且f(0)=1.(1)若w=1,,求的值；(2)从以下三个条件中选择两个作为已知，使得@存在，并求ω的取值范围.②函数f(x)在区间上恰有4个零点；③函数f(x)在区间上单调递增.18.(17分)已知A,B两点的坐标分别是(-1,-1),(1,-1),直线AC,BC相交于点C,且直线AC的斜率与直线BC的斜率的差是2.(1)求点C的轨迹厂的方程；(2)已知T上存在三点P,Q,R,且P,Q关于直线对称.19.(17分)(2)给定数集A=(0,+∞),任给a∈A,对应关系g使函数f(x)的零点x₀与a对应.①证明：xo=g(a)是函数，②若数列{a。}满足a₁(1-a₂)=1,a+1=1-g(aₙ),南通市2026届高三学业质量监测一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。12345678ACCBDDCB二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。9三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)【解】(1)假设不同打法的选手对于有缝球和无缝球的喜好没有影响.所以有95%以上的把握认为不同打法选手对于有缝球和无缝球的喜好有影响.(2)根据分层抽样可知，8名横拍打法的选手中5名喜欢有缝球，3名喜欢无缝球.……8分记“两个赛区都有人被选中”为事件A,16.(15分)【证】(1)因为AD⊥平面BCD,BCc平面BCD,所以AD⊥BC.平面ACD,AD∩CD=D,参考答案与评分建议第1页(共7页)因为BCc平面ABC,所以平面ABC⊥平面ACD.(2)(方法一)如图，连结PN并延长，与DC的延长线交于点Q,连结BQ.因为MN//平面BCD,MNc平面P平面BCD∩平面PBQ=BQ,所以MN//BQ.所以所以因为P是AD的中点，所以所以QC=QT-CT=1,所以(方法二)以C为坐标原点，{CD,CB,DA}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系.P是AD的中点，M是BP的中点，所以A(2,0,2),P(2,0,1),B(0,2,0)设CN=λCA=(2λ,0,2λ)(0<λ≤1),…………11分……15分参考答案与评分建议第2页(共7页)参考答案与评分建议第3页(共7页)因为平面BCD的法向量n=(0,0,1),MN//平面BCD,所以所以所以选①和③.若满足条件①:参考答案与评分建议第4页(共7页)……11分,解得……11分若满足条件③:所以解得所以解得综上所述：综上所述：18.(17分)【解】(1)设点C(x,y),x≠±1.因为直线AC的斜率与直线BC的斜率的差是2,(2)因为P,Q关于直线对称，所以直线PQ的斜率为-2.设直线PQ的方程为y=-2x+n,P(x₁,y),Q(x₂,y₂),联立消去y可得x²-2x+n=0.所以所以PQ因为点M在直线上，所若直线PQ过点A,则若直线PQ过点B,则(3)因为△PQR为等边三角形，所以点R在直线上.化简得，(x₀-1)²=12(1-n)①.因为点R在直线上，所以由①②消n得，11x₀²+8x₀-19=(x₀-1)(11x₀+19)=0.19.(17分)【解】(1)当a=e时，f(x)=Inx+ex,由,得f(x)在(0,+∞)上单调递增.所以f(x)的零点为所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.所以,使得f(x₀)=0,所以f(x)存在唯一零点x₀∈(0,1),所以对于任意一个a的值，f(x)都有唯一零点x₀与之对应，……12分……14分……17分参考答案与评分建议第5页(共7页)所以x₀=g(a)是函数.(方法一)在(0,+∞)任取a₁,a₂,且a₂>a·因为a₂>a₁,所以当x∈(0,1)时，h'(x)>0,所以h(x)在(0,1)上单调递增.所以函数g(a)在(0,+∞)上单调递减.(方法二)由Ing(a)+ag(a)=0,两边对a求导，所以g'(a)<0,所以函数g(a)在(0,+∞)上单调递减.所以解得……11分参考答案与评分建议第6页(共7页)设Q(x)=x²-x-Inx,x∈(0,1),所以Q(x)在(0,1)上单调递减，所以Q(x)>Q(1)=0,所以a-a+₁>0.=(a-a₂)g(a)+a₂-aa+<(a₁-a所以得证.…………14分17分参考答案与评分建议第7页(共7页)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【答案】A【锤子数学解析】(+i)²=1+2i+i²=2i,2.已知集合A={0,1,2},B={x|2x²-x-3<0},则A∩B=A.{0}【锤子数学解析】2x²-x-3=(2x-3)(x+1),A.C【答案】C【锤子数学解析】,BE=2EA=-2AE,4.“b²=ac”是“a,b,c成等比数列”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C∵乙→3q,b=aq,c=bq→b²=ac,∴甲为乙的必要条件，取a=0,b=0,c=1,则b²=ac=0,但若乙成立则c=bq=0矛盾，∴甲非充分，故选B.5.用与圆柱底面成30°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为B【答案】D【锤子数学解析】由即将开始的《2026锤子线上集训》“立体几何公式8:设圆柱底面半径为r,夹角α=30°,设截得椭圆半长轴为a,半短轴为b,∵沿倾斜方向正投影到圆柱底面缩短为cosa,,且b=r→6.某生物学兴趣小组对某地同种成年向日葵的株高H(单位：cm)进行了测量，发现株高H近似服从正态分布.已知测量的向日葵平均株高为172.0cm,标准差为14.5.现按株高将这批向日葵划分为四个等级：过矮(后10%)、正常偏矮(10%～50%)、正常偏高(50%～90%)、过高(前10%).若则“过高”等级中最矮株高可能为A.184.6cmB.186.6cmC.188.6cmD.190【答案】DX～N(172,14.5),∴P(H≥254-153.44)≈0.10,即P(H≥190.6)≈0.10∴“过高”等级中最矮株可能为190.6,选D.7.设函数,则下列函数中为奇函数的是【锤子数学解析】,∴φ(x)为奇函数，选C.锤子点评：可以先求出函数的对称中心，再将对称中心平移到原点就可以知道哪一个函数是奇函数了。AB=BC=1,AD=2,点S到直线CD的距离为2.以A为球心，为半径的球面与侧面SCD的交线长为【答案】B【锤子数学解析】方法一：如图建系过A作AM⊥平面SCD,到CD的距离为SC=2交线上取一点N,则,交线为半圆，半圆周长选B.方法二：设平面ABCD为z=0,平面SCD:√2x+√2y+2(z-√2)=H为A在平面,d(H,CD)=1>n由即将开始的《2026锤子线上集训》“立体几由即将开始的《2026锤子线上集训》“立体几何公式12:球心0到平面Ⅱ距离d₁<r:n₁=√r²-d²,L₀=2πn=2π√r²-d²本题,d₁=1→,L₀=π二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正数x,y,z满足x³=y⁴=z⁵,则x,y,z的大小关系可能是A.x<z<yB.x<y<z【答案】BD【锤子数学解析】设x³=y⁴=z⁵=k⁶⁰(k>0),则x=k²⁰,y=k¹⁵,z=k¹²;当k>1时，20>15>12→k²⁰>k¹⁵>k¹²→z<y<x,选D;当0<k<1时，20>15>12→k²⁰<k¹⁵<k¹²→x<y<z,选B;故选BD10.已知双曲线C:的左、右焦点分别为F₁,F₂,过点F₂作垂直于x轴的直线交C于A,B两点.若直线AF₁的斜率是△ABF₁的周长是16,则A.C的渐近线方程为y=±2xB.C的实轴长是2C.△ABF₁的面积是12D.△ABF₁的外接圆半径是【答案】BCD【锤子数学解析】设F₁(-c,0),F₂(c,0);直线x=c与C交于A,B,周长AB+AF₁+BF₁=3c+5c=8c=16→c=2,从而a²+b²=4,b²=3a→a=1,b=√3;渐近线,A错；实轴长2a=2,B对；·6·4=12,C对；D对，故选BCD锤子点评：双曲线的基本性质，一些二级结论一定要提前熟悉，这样在考试中可以给自己争取到更多的时间解决更多的问题。11.设S,是数列{an}的前n项和，若Vn∈N,不等式恒成立，则称数列{an}为“均增数列”,则下列说法正确的有A.若a=2n-1,则数列{an}是“均增数列”B.若等差数列{an}是“均增数列”,则公差d>0C.若{an}是“均增数列”,则an<a+1D.若aₙ=-2q”⁻¹,则存在负数q,使得数列{an}是“均增数列”【锤子数学解析】对A,a=2n-1,恒成立，A对.对B,等差：aₙ=a₁+(n-1)d,对C,取a₁=0,a₂=100,a=51(n≥3),则S₁=0恒成立，但a₂=100>a₃=51,C错.取n为奇数时q”(n+1)-nq)<0<1;n=2m时故选ABD.由即将开始的《2026锤子线上集训》“数列鬼门由即将开始的《2026锤子线上集训》“数列鬼门14招11:知∴{2a+μ}仍均增；若λ<0则不等号方向整体翻转.2、推广二：仍取a=-2q”⁻¹且q=-t(t>0),由上一1>q”((n+1)-nq),奇数n时右端为-t"(n+1+nt)<0;偶数n=2m时需.2²(m+1)(2m+3+2(m+1)t)<t²"(2m+1+2mt),最大在m=1:时必为均增，这是比D的更强结论.3、C的反例模板：构造思路抓住:先放一个很大的a₂,再让后面常数略大于当前均值即可如a₁=0,a₂=M则n≥3时直接否定选项C.锤子点评：数列的新定义，对照题目的要求去做，先求和，求出新数列的通项公式，然后再继续深入研究。三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.的展开式中，所有项的二项式系数之和为64,则常数项为【答案】60【锤子数学解析】,n=6,得r=2,常数项=C2(-2)²=15·4=60.【答案】【锤子数学解析】y'=e⁻¹+2ax,(1)=e°+2a=1+2a=2,锤子点评：切线问题，套路严重，设切点求导求斜率点斜14.在△ABC中，2AB-AC=|AB+AC,sin²A=AsinB·sinC,则λ的最小值为AB-AC=CB=AB-AC|=|BC|=a,AB+AC=2AM→AB+AC|=2|4M|,由即将开始的《2026锤子线上集训》“解析几何小题工具3:由即将开始的《2026锤子线上集训》“解析几何小题工具3:1、锤子集训改编：把系数2改成任意μ>0若μ|AB-AC|=|AB+AC,当b=c取等，故本题μ=2即2、更高级的等价刻画：由4|AB-AC=|AB+AC,锤子点评：解三角形+基本不等式，江苏老高考的常考题型，由第一个条件去找到三边关系，带入第二个等式用基本不等式求最值即可。四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)某地举办业余乒乓球联赛，比赛分“有缝球型”和“无缝球型”两个赛区，从该地区抽取部分选手进行调研，相关数据如下表：喜欢用无缝球直拍打法选手横拍打法选手(1)能否有95%以上的把握认为不同打法的选手对于有缝球和无缝球的喜好有影(2)若从参加调研的“横拍打法”选手中用分层抽样的方法抽取8名选手，按照各自喜爱的球型参加相应赛区的比赛.现从8名选手中选3人，用AI监测他们的比赛数据，求两个赛区都有人被选中的概率.【锤子数学解析】方法一：(1)假设不同打法的选手对于有缝球和无缝球的喜好没有影响.所以有95%以上的把握认为不同打法选手对于有缝球和无缝球的喜好有影响.(2)根据分层抽样可知，8名横拍打法的选手中5名喜欢有缝球，3名喜欢无缝球.记“两个赛区都有人被选中”为事件A,则答：两个赛区都有人被选中的概率为方法二：方法二：有95%的把握认为不同打法的选手对于有缝球和无缝球的喜好有影响(2)“横拍打法”选手中喜欢用有缝球与喜欢用无缝球人数之比为5:3分层抽样抽8人，喜欢用有缝球5,喜欢用无缝球3人，记两个赛区都有人被选中为A,16.(15分)如图，在四面体A-BCD中，AD⊥平面BCD,BC⊥CD,BC=CD=AD=2.P是AD的中点，M是BP的中点(1)求证：平面ABC⊥平面ACD;B【锤子数学解析】(1)方法一：证明：因为AD⊥平面BCD,BCc平面BCD,所以AD⊥BC.因为BC⊥CD,AD,CDc平面ACD,AD∩CD=D,所以BC⊥平面ACD.因为BCc平面ABC,所以平面ABC⊥平面ACD.(2)方法一：如图，连结PN并延长，与DC的延长线交于点Q,连结BQ.因为MN//平面BCD,MNc平面PBQ,平面BCD∩平面PBQ=BQ,所以MN//BQ.因为M是PB的中点，所以N是PQ的中点，所以因为P是AD的中点，所以所以方法二：以C为坐标原点，{CD,CB,DA}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系.因为BC=CD=AD=2,P是AD的中点，M是BP的中点， 因为平面BCD的法向量n=(0,0,1),MN//平面BCD,所以MN⊥n,方法三：(2)如图，过C作AD的平行线为z轴，CB,CD分别为x,y轴建立空间直角坐标系CCC(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),A(0,2,2令CN=λCA,则N(0,22,22),平面BCD的法向量n=(0,0,1)MN//平面BCD,则MN·n=0,∴17.(15分)已知函数,且f(0)=1.(1)若w=1,,求的值；(2)从以下三个条件中选择两个作为已知，使得の存在，并求の的取值范围.②函数f(x)在区间上恰有4个零点；③函数f(x)在区间上单调递增.【锤子数学解析】,则由(2)知，,所以由(3)知，,所以T≥π,所以选(1)和(3).若满足条件(1):因为x∈(0,π),所I若满足条件(3):方法二：则选②,f(x)在上恰有4个零点，则选③,选①②,w不存在；选①③,;选②③,w不存在.方法三：(2)选①③由①:令最大值存在单调递综上：(若取②:零点;恰4恰4个零点→1,2,3,4可取而5不可取：18.(17分)已知A,B两点的坐标分别是(-1,-1),(1,-1),直线AC,BC相交于点C,且直线AC的斜率与直线BC的斜率的差是2.(1)求点C的轨迹T的方程；(2)已知T上存在三点P,Q,R,且P,Q关于直线对称.【锤子数学解析】方法一：(1)设点C(x,y),x≠±1.因为直线AC的斜率与直线BC的斜率的差是2,(2)因为P,Q关于直线对称，所以直线PQ的斜率为-2.设直线PQ的方程为y=-2x+n,P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),联立消去y可得x²-2x+n=0.所以所以PQ中点坐标M(1,n-2),n<1.若直线PQ过点A,则若直线PQ过点B,则(3)因为△PQR为等边三角形，所以点R在直线因为点R在直线由①②消n得，11x²+8x₀-19=(x₀-1)(11x₀+19)=0.令PQ:y=-2x+n,令P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)x₁+x₂=2,y₁+y₂=-2x₁+n-2xPQ过B时，上△PQR为等边三角形，则R在上，即在上设R(x₀,-x2),PQ中点M(1,n-2) 又R∈I:y=-x²,代入得-1-t²±t√3=-(1±2t√3)²=-1-12t²=4t√3法二：由即将开始的《2026锤子寒假线上集训》“解析几何鬼门13招：立马得到毫无计算，直接秒杀!本题U=t(1,-2),计算等价于R=S±t√3(2,1)再代入y=-x²得到同一元二次1从而.秒杀!锤子拓展与深挖锤子拓展与深挖1、轨迹的一般化结论：设A(-a,b),B(a,b),a>0,点C(x,y)满足本题取a=1,b=-1,λ=2→y=-x19.(17分)已知函数f(x)=Inx+ax.(2)给定数集A=(0,+∞),任给a∈A,对应关系g使函数f(x)的零点x₀与a对①证明：x₀=g(a)是函数，并讨论该函数的单调性；②若数列{a}满足a₁(1-a₂)=1,