湖南师大附中思沁中学2026届高二数学第一学期期末联考模拟试题含解析

湖南师大附中思沁中学2026届高二数学第一学期期末联考模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设拋物线的焦点为F，准线为l，P为拋物线上一点，，A为垂足．如果直线AF的斜率是，那么（）A B.C.16 D.82．若直线与圆只有一个公共点，则m的值为（）A. B.C. D.3．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，两数和为偶数的概率为（）A. B.C. D.4．若动点在方程所表示的曲线上，则以下结论正确的是（）①曲线关于原点成中心对称图形；②动点到坐标原点的距离的取值范围为；③动点与点的最小距离为；④动点与点的连线斜率的取值范围是.A.①② B.①②③C.③④ D.①②④5．已知点为双曲线的左顶点，点和点在双曲线的右分支上，是等边三角形，则的面积是A. B.C. D.6．若直线与圆：相切，则（）A.-2 B.-2或6C.2 D.-6或27．如图，在直三棱柱中，，，E是的中点，则直线BC与平面所成角的正弦值为（）A. B.C. D.8．“”是“方程表示双曲线”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9．若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（）A. B.C. D.10．已知直线l与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线的斜率之积为，则直线l恒过定点（）A. B.C. D.11．“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件12．校庆当天，学校需要在靠墙的位置用围栏围起一个面积为200平方米的矩形场地.用来展示校友的书画作品.靠墙一侧不需要围栏，则围栏总长最小需要（）米A.20 B.40C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，则与侧面所成角的正弦值为______14．已知O为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且，若，则______.15．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的实轴长为____16．将集合且中所有的元素从小到大排列得到的数列记为，则___________（填数值）.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，圆C：，直线l：（1）若直线l与圆C相切于点N，求切点N的坐标；（2）若，直线l上有且仅有一点A满足：过点A作圆C的两条切线AP、AQ，切点分别为P，Q，且使得四边形APCQ为正方形，求m的值18．（12分）从①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答：已知等差数列公差大于零，且前n项和为，，______，，求数列的前n项和.（注：如果选择多个条件分别解答，那么按照第一个解答计分）19．（12分）已知等比数列的公比，且，的等差中项为5，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.20．（12分）设a，b是实数，若椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆E的标准方程；（2）过椭圆E的上顶点P分别作斜率为，的两条直线与椭圆交于C，D两点，且，试探究过C，D两点的直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；否则，说明理由.21．（12分）同时掷两颗质地均匀的骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体）（1）求两颗骰子向上的点数相等的概率；（2）求两颗骰子向上的点数不相等，且一个点数是另一个点数的整数倍的概率22．（10分）如图在四棱锥中，底面是菱形，，平面平面，，，为的中点，是棱上的一点，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由题可得方程，进而可得点坐标及点坐标，利用抛物线定义即求【详解】∵抛物线方程为，∴焦点F(2,0)，准线l方程为x=−2，∵直线AF的斜率为,直线AF的方程为，由，可得，∵PA⊥l，A为垂足，∴P点纵坐标为，代入抛物线方程，得P点坐标为，∴.故选：D.2、D【解析】利用圆心到直线的距离等于半径列方程，化简求得的值.【详解】圆的圆心为，半径为，直线与圆只有一个公共点，所以直线与圆相切，所以.故选：D3、B【解析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从中任取个不同的数的方法有，共种，其中和为偶数的有共种，所以所求的概率为.故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，属于基础题.4、A【解析】将原方程等价变形为，将方程中的换为，换为，方程不变，可判断①；利用两点间的距离公式，结合二次函数知识可判断②和③；取特殊点可判断④.【详解】因为等价于，即，对于①，将方程中的换为，换为，方程不变，所以曲线关于原点成中心对称图形，故①正确；对于②，设，则动点到坐标原点的距离，因为，所以，故②正确；对于③，设，动点与点的距离为，因为函数在上递减，所以当时，函数取得最小值，从而取得最小值，故③不正确；对于④，当时，因为，所以，故④不正确.综上所述：结论正确的是：①②.故选：A5、C【解析】设点在轴上方，由是等边三角形得直线斜率.又直线过点，故方程为.代入双曲线方程，得点的坐标为.同理可得，点的坐标为.故的面积为,选C.6、B【解析】利用圆心到直线距离等于半径得到方程，解出的值.【详解】圆心为，半径为，由题意得：，解得：或6.故选：B7、D【解析】以，，的方向分別为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出答案.【详解】解：由题意知，CA，CB，CC1两两垂直，以，，的方向分別为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设平面的法向量为，则令，得.因为，所以，故直线BC与平面所成角的正弦值为.故选：D.8、A【解析】方程表示双曲线则，解得，是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.故选：A9、C【解析】利用二项式系数的性质求得的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得结果即可.【详解】解：因为展开式的二项式系数之和为，则，所以，令，求得，所以展开式的常数项为.故选：C.10、A【解析】设出直线方程，联立抛物线方程，得到，进而得到的值，将直线的斜率之积为，用A,B点坐标表示出来，结合的值即可求得答案.【详解】设直线方程为，联立，整理得：，需满足，即，则，由，得：，所以，即，故，所以直线l为：，当时，，即直线l恒过定点，故选：A.11、B【解析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：由，得，反之不成立，如，，满足，但是不满足，故“”是“”的充分不必要条件故选：B12、B【解析】在出矩形中，设，得到，结合基本不等式，即可求解【详解】如图所示，在矩形中，设，则，根据题意，可得矩形围栏总长为因为，可得，当且仅当时，即时，等号成立，即围栏总长最小需要米.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】作图，考虑底面是正三角形，按照线面夹角的定义构造直角三角形即可.【详解】依题意，作图如下，取的中点G，连结，∵是正三角形，∴，，又∵是正三棱柱，∴底面，∴，即平面，，与平面的夹角=，在中，，故答案为：.14、3【解析】先求点坐标，再由已知得Q点坐标，由列方程得解.【详解】抛物线：()的焦点，∵P为上一点，与轴垂直，所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为，不妨设，因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，又，，，因为，所以，，所以3故答案为：3.15、【解析】根据已知条件求得，由此求得实轴长.【详解】由于，双曲线的渐近线方程为，所以双曲线的渐近线与轴夹角小于，由得，实轴长故答案为：16、992【解析】列举数列的前几项，观察特征，可得出.详解】由题意得观察规律可得中，以为被减数的项共有个，因为，所以是中的第5项，所以.故答案为：992.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或（2）3.【解析】（1）设切点坐标，由切点和圆心连线与切线垂直以及切点在圆上建立关系式，求解切点坐标即可；（2）由圆的方程可得圆心坐标及半径，由APCQ为正方形，可得|AC|＝可得圆心到直线的距离为，可得m的值【小问1详解】解：设切点为，则有，解得：或x0=-2+1y0=-2，所以切点的坐标为或【小问2详解】解：圆C：的圆心（1，0），半径r＝2，设，由题意可得，由四边形APCQ为正方形，可得|AC|＝，即，由题意直线l⊥AC，圆C：（x﹣1）2+y2＝4，则圆心（1，0）到直线的距离，可得，m＞0，解得m＝3.18、；【解析】将条件①②③转化为的形式，列方程组，并求解，写出的通项公式，从而表示出，利用裂项相消法求和.【详解】选①：设等差数列首项为，公差为，因为，，所以，所以，所以，所以选②：设等差数列首项为，公差为，因为，，所以，所以，所以，所以选③：设等差数列首项为，公差为，因为，，所以，所以，所以，所以【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和19、（1）；（2）.【解析】（1）根据条件列关于首项与公比的方程组，解得结果代入等比数列通项公式即可；（2）利用错位相减法求和即可.【详解】解析：（1）由题意可得：，∴∵，∴，∴数列的通项公式为.（2）∴上述两式相减可得∴【点睛】本题考查等比数列通项公式、错位相减法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.20、（1）；（2）过定点，坐标为.【解析】（1）根据椭圆的离心率公式，结合代入法进行求解即可；（2）根据直线斜率公式和一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【小问1详解】因为椭圆离心率为，所以有.椭圆过点，所以，由可解：，所以该椭圆方程为：；【小问2详解】由（1）可知：，设直线的方程为：，若，由椭圆的对称性可知：，不符合题意，当时，直线的方程与椭圆方程联立得：，设，，，因为，所以，把代入得：，所以有或，解得：或，当时，直线，直线恒过定点，此时与点重合，不符合题意，当时，，直线恒过点，当直线不存在斜率时，此时，，因为，所以，两点不在椭圆上，不符合题意，综上所述：过C，D两点的直线过定点，定点坐标为.【点睛】关键点睛：根据一元二次方程根与系数关系是解题的关键.21、（1）；（2）.【解析】（1）求出同时掷两颗骰子的基本事件数、及骰子向上的点数相等的基本事件数，应用古典概型的概率求法，求概率即可.（2）列举出两颗骰子向上的点数不相等，且一个点数是另一个点数的倍数的基本事件，应用古典概型的概率求法，求概率即可.【小问1详解】同时掷两颗骰子包括的基本事件共种，掷两颗骰子向上的点数相等包括的基本事件为6种，故所求的概率为；【小问2详解】两颗骰子向上的点数不相等，且一个点数是另一个点数的倍数时，用坐标记为，，，，，，，，，，，，，，，，共包括16个基本事件，故两颗骰子向上的点数不相等，且一个点数是另一个点数的倍数有的概率为.22、（1）见解析；（2）.【解析】（1）推导出PQ⊥AD，从而PQ⊥平面ABCD，连接AC，交BQ于N，连接MN，则AQ∥BC，推导出MN∥PA，由此能证明PA∥平面BMQ（2）连结BD，以Q为坐标原点，以QA、QB、QP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M﹣BQ﹣P的余弦值【详解】（1）由已知PA＝PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PQ⊂面PAD，∴PQ⊥平面ABCD，连接AC，交BQ于N，连接MN，∵底面ABCD是菱形，∴AQ∥BC，∴△A