5导数的概念及其几何意义课件高二上学期数学人教A版选择性

第五章

一元函数的导数及其应用5.1导数的概念及其意义5.1.2导数的概念及其几何意义

（2课时）

1.能从具体案例中抽象概括出导数的概念.2.能根据导数的定义求简单函数的导数，能归纳出根据导数定义求函数导数的步骤.3.进一步体会导数的内涵与意义，进一步体会极限思想.学习目标前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度；一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率.新知探究问题1

跳水运动员的速度平均速度瞬时速度问题2

抛物线的切线的斜率割线斜率切线斜率相同的表示形式问题1：下面两类问题在解决的时候有何共性？平均速度瞬时速度切线斜率问题1

跳水运动员的速度问题2

抛物线的切线的斜率割线斜率求极限逼近思想方法上：由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”新知探究问题1：下面两类问题在解决的时候有何共性？平均速度瞬时速度切线斜率问题1

跳水运动员的速度问题2

抛物线的切线的斜率割线斜率——平均变化率——平均变化率结果上：确定的常数新知探究

1.变化率问题

新知探究

1.变化率问题

注：Δx是自变量的变化量，它可以为正、为负，但不为零；Δy是相应函数值的变化量，它既可以为正，可以为负，也可以等于零．新知探究学习笔记49页知识梳理

可导x=x0导数f'(x0)

典例分析学习笔记49页例1

已知函数y=f(x)=2x2+1.(1)求函数f(x)在区间[x0，x0+Δx]上的平均变化率；

(2)求函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率；

(3)求函数f(x)在x=2处的瞬时变化率.

反思与感悟

2.导数的概念

新知探究典例分析

跟踪训练

(课本65页例2)

将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.已知在第xh时，原油的温度(单位：℃)为y=f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8).计算第2

h与第6

h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.典例分析

在第2

h与第6

h时，原油温度的瞬时变化率分别为-3

℃/h与5

℃/h.说明在第2

h附近，原油温度大约以3

℃/h的速率下降；在第6

h附近，原油温度大约以5

℃/h的速率上升.一般地，f'(x0)(0≤x0≤8)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况.跟踪训练学习笔记50页例3

某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c(单位：万元)与产量x(单位：千台)之间的关系式为c(x)=-2x2+7x+6.求c'(1)与c'(2)，并说明它们的实际意义.

(课本66页例3)一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设汽车在某一路段内ts时的速度(单位：m/s)为y=v(t)=-t2+6t+17，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.

典例分析

定义式记法实质函数在处的导数就是在处的瞬时变化率

课堂小结3.设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于________.答案

3A.4 B.4x C.4＋2Δx D.4＋2(Δx)2答案C1.函数y＝1在[2，2＋Δx]上的平均变化率是(

) A.0 B.1

C.2

D.Δx答案A随堂演练基础作业(1)整理本节课的题型；(2)课本P66的练习1——4题；(3)课本P69——P70的第1——4题；(4)课本P70习题5.1的第5、7、8、9、10、11、12题.提升训练练透115页作业16课后作业第五章

一元函数的导数及其应用5.1.2导数的几何意义

（2课时）

学习目标1.通过函数图象直观理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.(重点)3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.(难点)导数的几何意义【问题1】圆的割线和切线可以怎样定义？一般曲线的切线该如何定义呢？【追问1】如右图，l1是否为曲线在点A处的切线?l2是否为曲线在点B处的切线？

l2是否为曲线在点C处的切线?【追问2】你能否类比圆的割线和切线的动态关系，探究一般曲线的切线的求法？（1）曲线的切线定义

如图所示，当Pn→P时，割线PPn趋近于确定的位置PT，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线，即：曲线的切线为其割线的极限位置.新知探究【追问3】那么导数f′(x0)的几何意义是什么呢？导数的几何意义

（2）导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率.新知探究【追问4】割线PPn和切线PT的方程分别是什么？导数的几何意义

新知探究知识梳理函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的___________.也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是______.相应地，切线方程为

.切线的斜率f'(x0)y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)学习笔记52页【例1】已知曲线C：y＝x3.(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；(2)求曲线C过点(1,1)的切线方程．

导数的几何意义典例分析【探究1】本例(1)中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？导数的几何意义【例1】已知曲线C：y＝x3.(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；(2)求曲线C过点(1,1)的切线方程．

变式训练导数的几何意义【探究2】本例若改为曲线在点P处的切线斜率为3，求点P的坐标．【例1】已知曲线C：y＝x3.(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；(2)求曲线C过点(1,1)的切线方程．

变式训练反思感悟(1)求曲线在某点处的切线方程，应先求出函数在该点处的导数，即切线斜率，再写直线的点斜式方程.(2)求曲线过某点的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.(3)曲线在某点的切线可能“穿过”该曲线，如曲线y=x3在x=0处的切线；而且对于某些曲线，切线可以与曲线在切点之外的其他位置相交.导数的几何意义变式训练

(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程.

(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程.导数与函数的单调性【问题2】函数的单调性和导数有什么关系？导数值的大小与函数变化的快慢有什么关系？

新知探究知识梳理

0>增<减导数与函数的单调性【例2.1】(课本例4)如图是跳水运动中某运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+2.8t+11的图象.根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t=t0，t1，t2附近的变化情况.(1)当t=t0时，曲线h(t)在t=t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.(2)当t=t1时，曲线h(t)在t=t1附近曲线下降，即函数h(t)在t=t1附近单调递减.(3)当t=t2时，曲线h(t)在t=t2附近曲线下降，即函数h(t)在t=t2附近也单调递减.(4)直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得缓慢.典例分析导数与函数的单调性【例2.2】(课本例5)如图是人体血管中药物浓度c=f(t)(单位：mg/mL)随时间t(单位：min)变化的函数图象.根据图象，估计t=0.2，0.4，0.6，0.8min时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).典例分析导数与函数的单调性

t0.20.40.60.8药物浓度的瞬时变化率f′(t)0.40-0.7-1.4典例分析典例分析学习笔记52页例2

(1)已知y=f(x)的图象如图所示，则f'(xA)与f'(xB)的大小关系是A.f'(xA)>f'(xB)>0B.f'(xA)<f'(xB)<0C.f'(xB)>f'(xA)>0D.f'(xB)<f'(xA)<0√由导数的几何意义，知f'(xA)，f'(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f'(xA)<f'(xB)，且均小于0.反思感悟导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决.(1)曲线f(x)在x0附近的变化情况可通过x0处的切线刻画.f'(x0)>0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f'(x0)<0说明在x0附近曲线是下降的.(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢.(2)如图，函数y=f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)+f'(2)=

.1由图可得，函数y=f(x)的图象在点P处的切线l与x轴交于点(4，0)，与y轴交于点(0，4)，则l：x+y=4，又切点P既在函数y=f(x)上，又在切线l上，∴f(2)=2，f'(2)=-1，f(2)+f'(2)=1.

√知识梳理导函数的定义从求函数f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f'(x0)是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的_________(简称导数).y=f(x)的导函数记作

或

，即f'(x)=y'=_______________.导函数f'(x)y'

注：函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)、导函数f'(x)之间的区别与联系：(1)区别：①f'(x0)是在x=x0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量.②f'(x)是函数f(x)的导函数，是对某一区间内任意x而言的.(2)联系：函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是导函数f'(x)在x=x0处的函数值.【练习1】已知曲线y＝2x2－7.(1