上海初级统计师统计相关知识考点抽样平均误差的计算预习试题及答案

上海初级统计师统计相关知识考点抽样平均误差的计算预习试题及答案一、单项选择题（每题1分，共30分）1.在简单随机重复抽样条件下，若总体标准差σ=12，样本容量n=36，则抽样平均误差为A.1.0  B.1.5  C.2.0  D.2.5答案：C解析：重复抽样下抽样平均误差公式为σ/√n=12/6=2.0。2.若总体容量N=1000，样本容量n=100，总体方差σ²=225，采用不重复抽样，则抽样平均误差为A.1.34  B.1.41  C.1.50  D.1.58答案：A解析：不重复抽样修正因子√[(N−n)/(N−1)]=√(900/999)=0.949，σ/√n=15/10=1.5，修正后1.5×0.949≈1.42，最接近1.41，选B。3.在估计总体均值时，若要求抽样平均误差不超过1.2，已知σ=9，则重复抽样下最小样本容量为A.36  B.49  C.56  D.64答案：C解析：n≥(σ/E)²=(9/1.2)²=56.25，向上取整57，选项中最接近且不小于56.25的是56。4.对同一总体，若样本容量扩大为原来的4倍，则抽样平均误差将A.扩大2倍  B.缩小一半  C.缩小为1/4  D.不变答案：B解析：误差与√n成反比，n→4n，误差→1/2。5.当总体呈右偏分布时，随着样本容量增大，样本均值的抽样分布A.仍右偏  B.趋于左偏  C.趋于正态  D.趋于均匀答案：C解析：中心极限定理保证。6.在分层抽样中，若各层内方差显著小于层间方差，则抽样平均误差通常A.大于简单随机抽样  B.等于简单随机抽样  C.小于简单随机抽样  D.无法比较答案：C解析：分层降低层内变异，误差减小。7.某工厂对一批产品实施系统抽样，每隔20件抽1件，共抽50件，则抽样平均误差计算时把总体看作A.无限总体  B.有限总体不重复  C.有限总体重复  D.无法确定答案：B解析：系统抽样按有序名单等距抽取，不重复。8.在估计比例P时，若样本比例p=0.4，n=100，则抽样平均误差为A.0.049  B.0.048  C.0.047  D.0.046答案：A解析：√[p(1−p)/n]=√(0.24/100)=0.04899≈0.049。9.若置信水平由90%提高到99%，其他不变，则抽样平均误差A.增大  B.减小  C.不变  D.先增后减答案：C解析：误差是标准误，与置信水平无关；置信区间变宽是因临界值变大。10.对同一总体，采用整群抽样且群规模相等，若群间方差大、群内方差小，则抽样平均误差A.小于简单随机抽样  B.等于简单随机抽样  C.大于简单随机抽样  D.无法判断答案：C解析：群间变异大导致误差增大。11.在重复抽样下，若σ未知，样本标准差s=8，n=64，则估计抽样平均误差时用A.σ=8  B.s=8  C.s/√n=1  D.需用t分布答案：B解析：大样本可用s替代σ。12.若总体容量N=500，n=50，σ=10，则有限总体修正因子为A.0.90  B.0.95  C.0.94  D.0.93答案：C解析：√[(500−50)/(500−1)]=√(450/499)=0.949≈0.95，选项中最接近0.94。13.在估计总体总量时，抽样平均误差与总体容量N的关系是A.成正比  B.成反比  C.无关  D.先正比后反比答案：A解析：总量估计量=N·均值估计，误差=N·均值误差，故与N成正比。14.对同一调查，若同时估计均值和总量，则两者的抽样平均误差A.相等  B.总量误差是均值误差的N倍  C.均值误差是总量误差的N倍  D.无法比较答案：B解析：同上。15.在双重抽样中，若第一重样本用于筛选，第二重样本用于精确测量，则抽样平均误差计算需A.忽略第一重  B.合并两重方差  C.仅考虑第二重  D.采用比率估计答案：B解析：双重抽样误差含两重方差分量。16.若总体服从泊松分布，均值λ=4，则样本均值抽样分布的方差为A.4/n  B.4  C.2/n  D.16/n答案：A解析：泊松分布方差=均值。17.在估计两个总体均值差时，若两总体方差相等且未知，合并方差估计量为A.(s₁²+s₂²)/2  B.[(n₁−1)s₁²+(n₂−1)s₂²]/(n₁+n₂−2)  C.s₁²/n₁+s₂²/n₂  D.√[s₁²/n₁+s₂²/n₂]答案：B解析：合并方差公式。18.若样本容量n=25，σ=5，则抽样平均误差为A.0.5  B.1  C.1.5  D.2答案：B解析：5/√25=1。19.在估计总体比例时，若P未知，保守估计抽样平均误差应取A.P=0.1  B.P=0.5  C.P=0.9  D.P=0.8答案：B解析：P=0.5时方差最大。20.若抽样平均误差为2，置信水平95%，则总体均值的允许误差（极限误差）为A.2  B.3.92  C.1.96  D.4答案：B解析：1.96×2=3.92。21.在分层抽样中，若采用奈曼分配，则各层样本量与A.层大小成正比  B.层标准差成正比  C.层大小与标准差乘积成正比  D.层方差成反比答案：C解析：奈曼分配公式。22.若总体呈正态，n=10，σ未知，则抽样平均误差计算需用A.z分布  B.t分布  C.χ²分布  D.F分布答案：B解析：小样本、σ未知用t。23.在整群抽样中，若群数M=100，抽取群数m=10，群均值方差S_b²=36，则抽样平均误差为A.√[36/10]  B.√[36/100]  C.√[36/10·(1−m/M)]  D.√[36/10·(M−m)/(M−1)]答案：D解析：整群抽样误差公式。24.若抽样平均误差为1.5，样本均值=50，则变异系数为A.0.03  B.0.033  C.0.3  D.3.3答案：B解析：CV=1.5/50=0.03。25.在估计总体均值时，若采用比率估计且辅助变量与目标变量高度正相关，则抽样平均误差通常A.大于简单估计  B.等于简单估计  C.小于简单估计  D.无法判断答案：C解析：比率估计利用相关性降低误差。26.若总体容量N=2000，n=200，σ=15，则抽样平均误差为A.1.06  B.1.00  C.0.95  D.0.90答案：A解析：15/√200=1.0607，修正因子√(1800/1999)=0.948，修正后1.0607×0.948≈1.006，最接近1.00。27.在系统抽样中，若抽样间距k=20，总体有序且存在周期为20的循环波动，则抽样平均误差A.被低估  B.被高估  C.不受影响  D.趋于0答案：A解析：周期匹配导致样本代表性差，误差实际大但公式未反映，故被低估。28.若样本均值的标准误为2，样本量为49，则总体标准差估计值为A.14  B.12  C.10  D.8答案：A解析：σ≈2×√49=14。29.在双重抽样比率估计中，若第一重样本量n′=400，第二重n=100，则抽样平均误差需乘A.√(1/n−1/n′)  B.√(1/n+1/n′)  C.√(1/n)  D.√(1/n′)答案：A解析：双重抽样比率估计方差公式。30.若抽样平均误差为1.2，极限误差为2.4，则置信水平对应的临界值约为A.1.0  B.1.5  C.2.0  D.2.5答案：C解析：z=2.4/1.2=2.0。二、多项选择题（每题2分，共20分）31.下列哪些因素会影响抽样平均误差的大小A.总体方差  B.样本容量  C.抽样方式  D.置信水平  E.总体容量答案：ABCE解析：置信水平影响极限误差，不影响标准误本身。32.关于有限总体修正因子，下列说法正确的是A.当n/N>0.05时应考虑  B.其值小于1  C.其值随n增大而减小  D.重复抽样下为1  E.其平方根用于修正误差答案：ABCDE33.在估计总体比例时，若P未知，为保守计算抽样平均误差，可A.取P=0.5  B.采用前期调查p  C.采用小样本修正  D.采用t分布  E.采用最大方差答案：ABE34.下列哪些抽样方式通常能减小抽样平均误差A.分层抽样  B.系统抽样  C.整群抽样  D.双重抽样  E.比率估计答案：ADE35.关于中心极限定理对抽样平均误差的意义，正确的是A.保证样本均值分布趋于正态  B.使误差公式成立  C.与误差大小无关  D.允许用z值  E.要求n≥30答案：ABD36.在计算抽样平均误差时，若σ未知且小样本，应A.用s替代  B.用t分布临界值  C.增加样本量  D.采用非参数方法  E.采用贝叶斯估计答案：ABC37.若总体容量N=100，n=20，σ=5，则A.重复抽样误差=1.118  B.不重复误差=1.000  C.修正因子=0.894  D.误差与√n成反比  E.误差与N无关答案：ABCD38.在分层抽样中，若各层样本量按比例分配，则A.误差与层内方差有关  B.误差与层间方差无关  C.误差公式含层权  D.误差一定小于简单随机  E.误差与总样本量有关答案：ACE39.关于整群抽样误差公式，正确的是A.需知群间方差  B.需知群内方差  C.含有限修正  D.与群规模有关  E.与抽取群数有关答案：ACDE40.若抽样平均误差为E，则A.极限误差=zE  B.置信区间宽=2zE  C.样本量与E²成反比  D.E越小精度越高  E.E与总体分布无关答案：ABCD三、判断题（每题1分，共10分）41.抽样平均误差就是样本均值的标准差。答案：正确42.总体方差越大，抽样平均误差越小。答案：错误43.不重复抽样的误差一定小于重复抽样。答案：正确44.系统抽样误差公式与简单随机抽样完全相同。答案：错误45.当n/N<0.01时，可忽略有限总体修正。答案：正确46.抽样平均误差随置信水平提高而增大。答案：错误47.在估计比例时，若P=0.1，则方差小于P=0.5。答案：正确48.整群抽样的误差一定大于简单随机抽样。答案：错误49.分层抽样误差公式中，层间方差不影响误差。答案：正确50.双重抽样设计只能用于比率估计。答案：错误四、填空题（每空2分，共20分）51.简单随机重复抽样下，抽样平均误差公式为________。答案：σ/√n52.若总体容量N=800，n=64，则有限总体修正因子为________（保留三位小数）。答案：0.94253.在估计比例时，最大方差出现在P=________。答案：0.554.若样本均值=100，抽样平均误差=2，则变异系数为________%。答案：255.若要求误差不超过1.5，σ=6，则重复抽样下最小样本量为________。答案：1656.分层抽样奈曼分配各层样本量与层大小和层标准差的________成正比。答案：乘积57.整群抽样误差主要受________方差影响。答案：群间58.系统抽样中，若总体存在周期且周期与抽样间距________，则误差被低估。答案：相等或成整数倍59.双重抽样比率估计的方差含________重样本和________重样本两个分量。答案：第一、第二60.当n≥________时，可用正态近似计算比例估计的误差。答案：30五、计算题（共70分）61.某高校欲估计学生月均生活费，已知σ=120元，采用简单随机重复抽样，n=100，求抽样平均误差；若改为不重复抽样，N=5000，重新计算并比较。（10分）解：重复：E=120/√100=12元不重复：修正=√[(5000−100)/(5000−1)]=0.9899E′=12×0.9899≈11.88元结论：有限总体修正使误差减小约1%。62.某市调查居民拥有私家车比例，预调查p=0.35，n=200，求抽样平均误差；若要求极限误差不超过0.05，置信水平95%，求所需样本量。（10分）解：误差=√[0.35×0.65/200]=0.0337n≥(1.96²×0.35×0.65)/0.05²=349.59→350需追加150户。63.某工厂生产零件，总体N=2000，采用简单随机不重复抽样n=50，测得样本均值=25mm，s=2mm，求抽样平均误差，并构建95%置信区间。（10分）解：修正=√[(2000−50)/(2000−1)]=0.987误差=2/√50×0.987=0.279区间：25±1.96×0.279=[24.45,25.55]mm64.某县有行政村100个，采用整群抽样抽取10村，每村调查全部农户，得平均收入=1.2万元，群间方差S_b²=0.25，求抽样平均误差。（10分）解：误差=√[S_b²/m·(1−m/M)]=√[0.25/10×90/99]=0.0477万元65.某超市分三层：大型店100家，σ₁=5；中型店300家，σ₂=3；小型店600家，σ₃=2。若总样本量n=100，按奈曼分配，求各层样本量及抽样平均误差。（15分）解：层权W₁=100/1000=0.1，W₂=0.3，W₃=0.6奈曼分配：n_h∝N_hσ_h大型：100×5=500中型：300×3=900小型：600×2=1200总和2600n₁=100×500/2600≈19n₂=100×900/2600≈35n₃=100×1200/2600≈46误差公式：√∑(W_h²σ_h²/n_h)=√[0.1²×25/19+0.3²×9/35+0.6²×4/46]=√[0.0132+0.0231+0.0313]=√0.0676=0.2666.某企业欲估计电子元件平均寿命，已知σ≈200小时，要求极限误差不超过20小时，置信水平99%，求重复抽样下最小样本量；若N=2000，改为不重复，重新计算。（15分）解：z=2.576n≥(2.576×200/20)²=665.64→666不重复：n′=n/[1+n/N]=666/(1+0.333)=500节省166件。六、综合应用题（共50分）67.某市交通局拟估计早晚高峰平均通勤时间，总体N=50万职工，采用分层三阶段抽样：第一阶段抽街道，第二阶段抽社区，第三阶段抽个人。预调查得：街道间方差S₁²=225，社区间方差S₂²=100，个人层内方差S₃²=400；计划抽取10街道，每街道抽4社区，每社区抽25人，共1000人。忽略有限修正，求抽样平均误差；若要求极限误差不超过2分钟，置信95%，问预调查误差是否满足？若不满足，如何调整？（25分）解：三阶段误差公式：V(ȳ)=S₁²/(m)+S₂²/(m·a)+S₃²/(m·a·b)m=10街道，a=4社区，b=25人V=225/10+100/(10×4)+400/(10×4×25)=22.5+2.5+0.4=25.4标准误=√25.4=5.04分钟极限误差=1.96×5.04=9.88>2，不满足调整：需使标准误≤2/1.96=1.02设增加街道数至m′，保持a=4，b=25则22.5/m′≤1.02²≈1.04→m′≥216需抽216街道，远超预算，建议：1.提高一阶段抽样比，抽50街道，每街道抽4社区，每