2026届内蒙古集宁二中高二数学第一学期期末联考模拟试题含解析

2026届内蒙古集宁二中高二数学第一学期期末联考模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知向量，，则向量等于（）A.（3，1，－2） B.（3，－1，2）C.（3，－1，－2） D.（－3，－1，－2）2．命题，，则为（）A.， B.，C.， D.，3．已知两圆相交于两点和，两圆的圆心都在直线上，则的值为A. B.2C.3 D.04．已知椭圆C：的一个焦点为（0，-2），则k的值为（）A.5 B.3C.9 D.255．过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是A. B.C. D.6．抛物线的焦点到准线的距离为（）A. B.C. D.7．已知圆的方程为，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.8．曲线在点处的切线方程是（）A. B.C. D.9．已知函数(且，)的一个极值点为2，则的最小值为（）A. B.C. D.710．加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆的蒙日圆的半径为（）A.3 B.4C.5 D.611．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则（）A. B.C. D.12．集合，，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，现将数列进行构造，第次得到数列；第次得到数列；依次构造，第次得到数列；记，则(1)___________，(2)___________14．已知圆，直线与圆C交于A，B两点，且，则______15．如图,在四棱锥中,平面,底面是菱形,且,则异面直线与所成的角的余弦值为______,点到平面的距离等于______.16．已知函数，若在上是增函数，则实数的取值范围是________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）求下列不等式的解集：（1）；（2）18．（12分）在中，角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，的面积为，求.19．（12分）已知椭圆，离心率为，短半轴长为1（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线，问：在椭圆C上是否存在点T，使得点T到直线l的距离最大？若存在，请求出这个最大距离；若不存在，请说明理由20．（12分）已知函数，.（1）若函数与在x=1处的切线平行，求函数在处的切线方程；（2）当时，若恒成立，求实数a的取值范围.21．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，求函数在内的零点个数.22．（10分）如图是一抛物线型机械模具的示意图，该模具是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，已知顶点深度4cm，口径长为12cm（1）以顶点为坐标原点建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的标准方程；（2）为满足生产的要求，需将磨具的顶点深度减少1cm，求此时该磨具的口径长

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据空间向量线性运算的坐标表示即可得出答案.【详解】解：因为，，所以.故选：B.2、B【解析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.【详解】命题，为特称命题，而特称命题的否定是全称命题，所以命题，，则为：，.故选：B3、C【解析】根据条件知：两圆的圆心的所在的直线与两圆的交点所在的直线垂直，以及两圆的交点的中点在两圆的圆心的所在的直线上，由此得到方程，得解.【详解】由已知两圆的交点与两圆的圆心的所在的直线垂直，，所以，又因为两圆的交点的中点在两圆的圆心所在的直线上，所以，解得：，所以，故选.【点睛】此题主要考查圆与圆的位置关系，解答此题的关键是需知两圆的圆心所在的直线与两圆的交点所在的直线垂直，并且两圆的交点的中点在两圆的圆心所在的直线上，此题属于基础题.4、A【解析】由题意可得焦点在轴上，由，可得k的值.【详解】∵椭圆的一个焦点是，∴，∴，故选：A5、A【解析】过圆外一点，引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为，故选6、C【解析】根据抛物线方程求出焦点坐标与准线方程，即可得解；【详解】解：因为抛物线方程为，所以焦点坐标为，准线的方程为，所以焦点到准线的距离为；故选：C7、C【解析】根据可求得结果.【详解】因为表示圆，所以，解得.故选：C【点睛】关键点点睛：掌握方程表示圆的条件是解题关键.8、B【解析】求导，得到曲线在点处的斜率，写出切线方程.【详解】因为，所以曲线在点处斜率为4，所以曲线在点处的切线方程是，即，故选：B9、B【解析】求出函数的导数，由给定极值点可得a与b的关系，再借助“1”的妙用求解即得.【详解】对求导得：，因函数的一个极值点为2，则，此时，，，因，即，因此，在2左右两侧邻近的区域值一正一负，2是函数的一个极值点，则有，又，，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为.故选：B10、A【解析】由蒙日圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径.【详解】由蒙日圆的定义，可知椭圆的两条切线的交点在圆上，所以，故选：A11、B【解析】利用空间向量运算求得正确答案.【详解】.故选：B12、A【解析】先解不等式求得集合再求交集.【详解】解不等式得：，则有，解不等式，解得或，则有或，所以为.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.②.【解析】根据题意得到，再利用叠加法求解即可.【详解】由题知：，，，所以，，，……，，所以，，……，，即，所以.故答案为：；14、-2【解析】将圆的一般方程化为标准方程，结合垂径定理和勾股定理表示出圆心到弦的距离，再由点到直线的距离公式表示出圆心到弦的距离，解方程即可求得的值.【详解】解：将圆的方程化为标准方程可得，圆心为，半径圆C与直线相交于、两点,且，由垂径定理和勾股定理得圆心到直线的距离为，由点到直线距离公式得，所以，解得，故答案为：.15、①.②.【解析】因为底面是菱形,可得,则异面直线与所成的角和与所成的角相等,即可求得异面直线与所成的角的余弦值.在底面从点向作垂线,求证垂直平面,即可求得答案.【详解】根据题意画出其立体图形:如图底面是菱形,则异面直线与所成的角和直线与所成的角相等平面,平面又,底面是菱形即故:异面直线与所成的角的余弦值为:在底面从点向作垂线平面,平面,平面故是到平面的距离故答案为:,.【点睛】本题考查了求异面直线的夹角和点到面距离,解题关键是掌握将求异面直线夹角转化为共面直线夹角的解法,考查了分析能力和推理能力,属于基础题.16、【解析】根据函数在上是增函数，分段函数在整个定义域内单调，则在每个函数内单调，注意衔接点的函数值.【详解】解：因为函数在上是增函数，所以在区间上是增函数且在区间上也是增函数，对于函数在上是增函数，则；①对于函数，（1）当时，，外函数为定义域内的减函数，内函数在上是增函数，根据复合函数“同增异减”可得时函数在区间上是减函数，不符合题意，故舍去，（2）当时，外函数为定义域内的增函数，要使函数在区间上是增函数，则内函数在上也是增函数，且对数函数真数大于0，即在上也要恒成立，所以，又，所以，②又在上是增函数则在衔接点处函数值应满足：，化简得，③由①②③得，，所以实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】方法点睛：利用单调性求参数方法如下：（1）依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；（2）需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；（3）分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）利用一元二次不等式的解法求解；（2）利用分式不等式的解法求解.【小问1详解】解：因为，所以，解得，所以不等式的解集是；【小问2详解】因为，所以，所以，即，解得，所以不等式的解集是.18、（1）；（2）.【解析】(1)由正弦定理得到，两边消去公因式得到，化一即可求得角A；（2）因为，所以，再结合余弦定理得到结果.【详解】（1）由,得,因为，所以，整理得：，因，所以.（2）因为，所以，因为及，所以，即.【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.19、（1）；（2）存在，最大距离为.，理由见解析【解析】（1）根据离心率及短轴长求椭圆参数，即可得椭圆方程.（2）根据直线与椭圆的位置关系，将问题转为平行于直线且与椭圆相切的切线与直线最大距离，设直线方程联立椭圆方程根据求参数，进而判断点T的存在性，即可求最大距离.【小问1详解】由题设知：且，又，∴，故椭圆C的方程为.小问2详解】联立直线与椭圆，可得：，∴，即直线与椭圆相离，∴只需求平行于直线且与椭圆相切的切线与直线最大距离即为所求，令平行于直线且与椭圆相切的直线为，联立椭圆，整理可得：，∴，可得，当，切线为，其与直线距离为；当，切线为，其与直线距离为；综上，时，与椭圆切点与直线距离最大为.20、（1）；（2）.【解析】（1）求出函数的导数，利用切线平行求出a，即可求出切线方程；（2）先把已知条件转化为，令,，利用导数求出的最小值，即可求出实数a的取值范围.【详解】（1）,故,而,故，故,解得:，故,故的切线方程是:，即；（2）当时，恒成立等价于,令,.则，令，解得：；令，解得：；所以在上单减，在上单增，所以,所以.即实数a的取值范围为.21、（1）当，在单调递增；当，在单调递增,在单调递减.（2）0.【解析】（1）求得，对参数分类讨论，即可由每种情况下的正负确定函数的单调性；（2）根据题意求得，利用进行放缩，只需证即，再利用导数通过证明从而得到恒成立，则问题得解.【小问1详解】以为，其定义域为，又，故当时，，在单调递增；当时，令，可得，且令，解得，令，解得，故在单调递增，在单调递减.综上所述：当，在单调递增；当，在单调递增，在单调递减.【小问2详解】因为，故可得，则，；下证恒成立，令，则，故在单调递减，又当时，，故在恒成立，即；因为，故，令，下证在恒成立，要证恒成立，即证，又，故即证，令，则，令，解得，此时该函数单调递增，令，解得，此时该函数单调递减，又当时，，也即；令，则，令，解得，此时该函数单调递减，令，解得，此时该函数单调递增，又当时，，也即；又，故恒成立，则在恒成立，又，故当时，恒成立，则在上的零点个数是.【点睛】本题考察利用导数研究含参函数的单调性，以及函数零点问题的处理；本题第二问处理的关键是通过分