【《不动点定理及其应用研究》9300字】

不动点定理及其应用研究摘要本文在大致了解不动点理论发展的基础之上，介绍了该理论体系中十分重要的巴拿赫不动点定理，并对该不动点定理的应用和推广进行了简单的分析和总结，主要论述了巴拿赫不动点定理的几种形式、证明、相关结论、在数学各方面的应用、以及一个简单推广.主要运用案例分析法，根据大学数学中不动点定理的几种常用形式，探讨和总结其在证明分定理、求解方程问题和数学建模方面的应用，并给出了常见的压缩映射构造方法，让我们可以借助不动点这个辅助工具更快捷、熟练的解决问题.第一章是绪论，首先阐明了我对该问题产生兴趣并作为研究对象的原因，并叙述了目前我对该知识结构形成的一个大体框架；其次，对所研究的不动点定理的历史背景、发展历程做了概述，介绍了其中的重要内容；最后叙述了我对该定理研究和发展的认识，阐明本研究的重要意义.第二章是预备知识，给出了巴拿赫不动点定理所涉及到的相关定义和定理作为开展研究的基础，并对有关重点进行了注释，是整篇文章的理论基石.第三章是不动点定理的基本结论，通过查阅、总结大量的相关材料，借鉴参考文献，给出了巴拿赫不动点定理的内容及其证明，并总结了它的几种常用变形形式，是后续案例分析的理论依据.第四章是巴拿赫不动点定理的应用，是本篇文章的核心内容，采用案例分析法进行研究，介绍了它在各个数学分支中的应用：证明数学分析中的定理、解决数列极限、代数方程和积分方程问题、构建数学模型解决实际问题等.深刻体会该定理的广泛性和实用性，并学以致用.第五章是构造方法及推广，给出了压缩映射的两种常见构造方法作为辅助工具，以便更简单、快捷的解决问题.同时，给出了巴拿赫不动点定理的一个简单推广和证明，扩大了该定理的适用范围，深刻体会它作为辅助工具的便捷性和实用性.结束语归结了相关问题背后的实质就是不动点理论，总结了运用该定理解决问题的常规思路和方法，合理、有效的运用该定理解决问题.关键词不动点迭代法数学分析方程解的存在性和唯一性数学建模目录摘要绪论1.1写作动机1.2不动点理论的发展历程1.3研究意义预备知识2.1相关定义2.2基本定理2.3相关释义不动点定理的基本结论3.1巴拿赫不动点定理及其证明3.2巴拿赫不动点定理的几种形式3.3不动点迭代法不动点定理的应用4.1在数学分析方面的应用4.2在方程求解中的应用4.3在数学建模中的应用构造方法及推广5.1压缩映射的构造方法5.2不动点定理的一个推广定理结束语参考文献第一章绪论1.1写作动机偶然间，我在网上看到了上海交通大学数学系王维克教授《数学之旅-不动点定理》的视频，他从非常简单的事实出发引出了不动点，引起了我对不动点相关知识的关注.事例1：沿着一个圆的轨迹定向搅拌一杯咖啡，显然有一个点是不动的，如果沿“∞”型轨迹搅拌，是否还能找到不动点？事例2：有两根绳子，将其中一根展开平放，另一根绳子任意折叠后放在展开的绳子上方，两根绳子是否有一个点在两根绳子上的位置是重合的，不动的？这个问题引发了我对不动点的浓厚兴趣.不动点理论是数学的重要分支之一，而不动点定理作为高等代数和泛函分析中的一个重要理论，是本科数学学习中的一个重难点，在《实变函数与泛函分析基础》的课程中，我第一次系统、深刻的接触到不动点定理，带给了我非常大的震撼.此前的学习中，我们在数学分析中接触到了数列极限、隐函数存在定理、区间套定理、积分方程等知识，在高等代数中接触到了代数方程组求解等问题，还涉及了数学建模领域，当时我们的思维还不够发散，知识层次也较低，对数学的学习只停留在表面，大部分人仅限于知道某个知识点是什么，它是怎么来的，可以进行简单的应用，很少有人能深入的探讨它背后更深奥的知识，做到融会贯通.泛函分析课程中刚接触不动点定理的时候，觉得很抽象、很难理解，因为在其他数学课程中，比如数学分析，高等代数，对于定理的适用范围往往较为狭窄,而且针对性较强，一个定理往往是为解决某一类问题提供了方法，而巴拿赫不动点定理适用范围却非常广，很多复杂问题都能被简单化.比如证明隐函数存在定理，证明解的唯一存在性定理，运用不动点理论比常规方法简单了许多，它不仅是一个定理，同时也提供了解决问题的工具，比如迭代法（逐次逼近法），这让我对不动点理论的兴趣更浓了.在数学的领域，不动点理论体系是非常庞大的，各个数学分支中多多少少都有涉及，人们对它的研究和应用也是十分广泛和深入.通过查阅相关资料，我了解到，巴拿赫不动点定理只是不动点理论体系中一个很小的分支，它属于压缩型的不动点定理.其实，仅仅是压缩型不动点定理的种类就已经很多了，它先从线性的推广到非线性的，再进一步推广到抽象型.对于巴拿赫不动点定理的研究，常见的是在理论学习中研究其在数列极限、解的存在唯一性、积分方程等方面的应用，在社会应用中通过研究微分方程方面的问题来解决实际问题.目前来说，我的知识水平和研究能力有限，因此选择了我们在大学数学学科中涉及到的不动点相关理论为研究对象，主要分析和总结了巴拿赫不动点定理在证明数学分析中的定理、解决数列极限、代数方程和积分方程问题、构建数学模型解决实际问题方面的应用,希望通过更深入的学习能够进一步培养数学思维和能力.1.2不动点理论的发展历程通过对巴拿赫不动点定理更深入的学习和研究，我了解到不动点理论的相关研究起源于20世纪初，是由荷兰著名数学家Brouwer创立的，1909年他发表了一系列关于不动点定理的论文，为不动点理论的后续发展奠定了基础.在这个基础上，波兰的数学家Banach于1922年提出了一个简单又实用的不动点定理，即巴拿赫不动点定理，它不仅提出了不动点的存在性和唯一性，并且提出了求不动点的一种方法.紧接着，美国数学家莱布尼茨在1923年提出了一个更为重要的理论，即莱布尼茨不动点理论.1927年，数学家尼尔森对不动点的个数问题进行了进一步的研究，进而提出了尼尔森数.此后，我国的一批数学家石根华、江泽涵等人对尼尔森数的计算情形进行了推广，推出了莱布尼茨不动点理论逆定理.1941年，日本的数学家角谷静夫提出了集值不动点理论，使得博弈论在数学基础上的建立有了理论准备.1967年，美国的著名数学家Scarf证明了不动点定理的构造性.继而，Brouwer不动点定理在1968年被证明.1987年，在拓扑空间建立的不动点理论将其发展推向更广阔的领域.1990年以后，对不动点的研究进入高潮，各种不动点定理和逼近方法不断被提出，其大部分内容属于泛函分析和拓扑学的范畴.目前，对于不动点理论的探索主要集中在两方面：一是各类方程不动点的研究，以及解集性态的研究；二是对一些算子不动点逼近理论的研究.对于不动点定理研究大多属于泛函分析和拓扑学的范畴，本文的研究主要是建立在泛函分析中的不动点定理之上[1].在拓扑学中，有一个非常重要的不动点定理，即L.E.J.Brouwer不动点定理，它的提出为不动点理论的发展做出了突出贡献，它可以运用到有限维拓扑空间，为一般不动点理论奠定了基础[2].此后，L.E.J.Brouwer构造了单纯逼近、拓扑度等概念，为解决不变性问题起了重要作用.1.3研究意义在现代数学的发展中，巴拿赫不动点定理具有重要作用，它给出了求解线性方程的最佳逼近方式，并给出了解的构造方法.该定理在多个领域都有了广泛且深入的研究和应用，比如数学分析、微分方程、代数方程、积分方程、算子方程等学科.在高等教育的数学课程中，比如泛函分析、数学建模、凸轮、常微分方程等，都对巴拿赫不动点定理进行了深入的学习，开阔了学生在数学领域的眼界，提升了数学思维和能力，为以后在数学方向的发展奠定了基础.在实践中，也给参加数学竞赛、数学建模的同学提供了有效的帮助，有助于学生发散思维、明晰解题思路.在泛函分析中，对数学的各个分支进行了统一、抽象的处理，比如隐函数存在定理、各类方程解的存在定理，都可以归结为不动点定理.实质上，算子方程求解问题就是不动点定理，他是很多数学分支的重要理论基础，用于求解各类问题解的存在性和唯一性.同时，对于该定理的研究结果，也被广泛的运用到各个应用性领域，比如分析数学、控制论、经济学、最优化理论、博弈论等，对学生后续进行更深层次、更大范围的学习和研究奠定了扎实的数学基础[3].波利亚说过一段话，大概意思就是：当你遇到一个无法解决的问题时，不妨试着考虑与它有关联的“辅助”问题，可能会有意想不到的收获.我认为，不动点理论就是一个十分有效并且适用范围很广的“辅助”工具.本文主要研究大学数学课程中对不动点定理的讲解和应用，可以帮助大学生对不动点定理有一个较为系统的了解和更深入的认识，并将这个“辅助”工具学以致用，能够将所学数学分支的内容融会贯通，深刻体会不动点定理的奥妙，进而为以后在数学方向更深层次的发展打下坚实的基础.第二章预备知识2.1相关定义定义2.1[4]设是一个集合，若对于中任意两个元素，都有唯一确定的实数与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：（1）,且当且仅当（非负性）；（2）（对称性）；（3）（三角不等式）；则称为两点之间的距离，是上的一个距离函数，称为度量空间或距离空间.定义2.2[4]设是度量空间，是中点列，如果对任意给定的正数，存在正整数，使得当时，必有，则称是中的柯西点列或基本点列.定义2.3[4]若度量空间中的每个柯西点列都在中收敛，那么称是完备的度量空间.注意：此处要求，在中存在一点，使上述柯西点列收敛于这一点.定义2.4[4]给定度量空间和的映射，如果存在，使，则称为映射的不动点.定义2.5[5][6]设是度量空间，是到中的映射，如果存在一个常数，使得对所有的，，则称是压缩映射.定义2.6（高等代数上的定义）设在闭区间上有定义，方程在上的解被称为在上的不动点．若存在常数，使得对任意，都有，则称是上的一个压缩映射．2.2基本定理定理2.7（巴拿赫不动点定理-压缩映射原理[4]）设是完备的度量空间，是上的压缩映射，那么有且只有一个不动点．即，方程有且仅有一个解．定理2.8（高等代数中的不动点定理）设是有界闭区间上的压缩映射，那么在上存在唯一的不动点．2.3相关释义注1[7]压缩映射一定是连续映射，所以对于任意的收敛列，都有.实际上，由，可得，所以.注2要求度量空间完备是为了确保映射的不动点是存在的，是必须具备的条件.注3不动点的代数意义：如果方程存在实数根，那么存在不动点.注4不动点几何意义：如果函数和有交点，那么是的不动点；对于任意的两个点，通过映射得到的像之间的距离比两点间的距离更近.换句话说，就是对于任意的两点，它们的像之间的距离不超过之间距离的倍，.

第三章不动点定理的基本结论3.1巴拿赫不动点定理及其证明定理设是一个完备的度量空间，是上的一个压缩映射，那么有且仅有一个不动点.即，存在唯一，使方程成立.证明设是中的任意一点，令首先，证明点列是完备度量空间中的柯西列.实际上，根据三角不等式，可知当时，有.因为，所以有，因此.于是，当时，，即点列是中的柯西列.又因为是完备的，所以存在，使得时，.是压缩映射，由三角不等式可知，当时，该不等式右端趋于0.因此，，即.再证唯一性.假设另有一个，使得.因为是压缩映射，则有.又因为，所以一定有，即.3.2巴拿赫不动点定理的几种变形定理3.1(零点定理)设函数在闭区间上是连续的，且异号(即)，那么至少存在一点，使得．定理3.2[8]设是一个连续函数，，并且有，那么在上至少存在一个不动点，即．定理3.3[8]设函数是闭区间上的压缩映射（连续），且，那么在上至少存在一个不动点．定理3.4[8]设函数在区间上是可微的，并且有，任意选取，令，则有，是函数的不动点.定理3.5对数列，如果有一个常数：，使得对于任意的，满足，那么数列收敛.定理3.6对于一元函数，是函数的导数，如果存在一个常数，有成立，那么数列收敛.定理3.7设函数是闭区间上的连续函数，在上可微，并且存在，使得对于任意的，有，则是上的一个压缩映射.3.3不动点迭代法逼近不动点的基本思想就是对方程进行等价转换：“满足方程”等价于“满足”，就是方程的不动点.此时，就将求方程根的问题转化成了求的不动点.首先，在确定有根存在的区间内选取初始近似值，然后由构造公式：，得到数列，称是迭代序列，就是迭代函数.若迭代序列收敛于，那么当是连续函数时，在等式两边都取极限，得到，即.则就是方程的根.但是在实际计算中我们不能将迭代计算无限进行下去，所以在实际中，当足够大时，若有，就把作为原方程的近似根.这种方法就称为不动点迭代法.第四章不动点定理的应用4.1在数学分析方面的应用4.1.1证明数学分析中存在性定理定理[9]设是完备的度量空间，是上的一个可微函数，且满足条件:，，则在上有唯一的不动点.证明，所以，映射是压缩映射，根据巴拿赫不动点定理可得，在完备度量空间上，存在唯一的不动点.4.1.2证明隐函数存在定理定理[4]设函数在带状域中每一处都连续，且处处都有关于的偏导数.若还存在两个常数和，满足条件：.那么，方程在闭区间上必然有唯一的连续函数作为它的解：证明在完备的空间中，作映射，使得对于任意的函数，有.根据定理的条件知，函数是连续的，则也是连续的，即.所以，是到自身的映射.下证是一个压缩映射.任意选取，由微分中值定理知，存在，满足：.因为，所以不妨令，则有，并且.根据中关于距离的定义，可知.所以，是压缩映射.根据巴拿赫不动点定理知，存在唯一满足，即.也就是说，,,得证.4.1.3证明区间套定理区间套定理[10]：如果闭区间列满足下列条件：，则存在唯一，使得，证明根据条件，不妨设闭区间列中的任意两个区间都不完全重合，且闭区间显然依距离构成完备的度量空间.构造映射则对任意，都有，于是是到自身的映射.对任意的，有，令，因为，于是，从而得到，且，所以.因此，是到自身的映射.由巴拿赫不动点定理可知，在上存在唯一的不动点，即存在，使得，又，所以存在，假设还存在另外一个，有则有，所以因此，定理得证.4.1.4数列极限问题中的应用完备的度量空间中的映射一定含有不动点，巴拿赫不动点定理提供了一个求不动点的方法，即利用迭代法逐次逼近。设是一个完备的的度量空间，任意取点，作点列，它一定无限趋近于方程的解。所以，在求解数列极限问题时，可以通过压缩映射构造一个数列，该数列必收敛于不动点.如此，就将数列极限问题转化成了方程求解问题，即求不动点.例[11]证明数列收敛，并求极限.证明考察函数，选闭区间，则，并且，只需选取压缩系数，就有，根据定理3.3知数列收敛,且该数列极限即是一个不动点，解方程，得，即.4.2在方程求解中的应用4.2.1多项式方程求近似解巴拿赫不动点定理不但证明了方程的解的存在性和唯一性，而且给出了求其近似解的方法，即逐次逼近法，以及误差估计，这是数学计算中的一个重要方法.在求解线性方程时，次数较低方程借助于零点定理等常见方法即可判断其解的情况，而对于次数高的线性方程，常规方法并不能有效解决问题。例[11]求方程的近似解，．解方程可化为，作映射，迭代函数，对，恒有.根据定义２.5可知,为上的压缩映射.根据定义2.3易知，是完备度量空间.则在上存在唯一的不动点，使得，对任一点，迭代收敛于。不妨设，可得实数解的近似值，误差估计为.如果用Newton切线法求上述方程的近似解，需要考虑函数的单调性、凹凸性、初始近似值的选取等，颇为复杂。若利用不动点定理，在闭区间上构造一个压缩映射，就可以解决问题，更为简便.例计算近似值.解是方程实根，令，则对任意，有.构造函数，则有.由定理3.7可知，是上的一个压缩映射，压缩系数.再令，由函数迭代法，得.由此可得，的近似值的误差估计为.由此可知，计算实数的n次方根时，可以将其转化成方程求解的问题，运用不动点定理求解，更为快捷.4.2.2代数方程问题中的应用4.2.2.1代数方程解的存在唯一性定理定理设是阶方阵，是一组实数，满足条件，当时，；时，，则可得代数方程组：，对于任意固定的一组，有且仅有一组解存在.证明任取一个向量，构造线性算子，有：则可知，算子是一个到自身的线性变换，并且：又由，可得到算子是到自身的一个压缩映射，因为是巴拿赫空间，所以有且仅有一个不动点，有，即，即存在唯一的，满足代数方程组成立的条件.4.2.2.2无穷代数方程组求解问题定理[10]如果满足条件，那么无穷代数方程组，对任意的序列，有且仅有一个解.证明作空间上到自身的映射，记，并且令，.对于任意的定义其距离，所以有因此，映射是到自身的一个压缩映射，又因为空间是完备的度量空间，所以由巴拿赫不动点定理可知，映射在空间上有且仅有一个不动点，即存在，使得，故原方程组的解是唯一的.4.2.3积分方程问题中的应用计算数学中经常涉及到积分方程的解的相关问题，首先我们需要判断方程解的存在情况以及唯一性，然后用逐次逼近法进行求解运算.如果运用之前所学的数学分析的知识解决问题，则难度较大，且过程十分复杂.不动点定理不仅证明了一类方程解的存在性和唯一性，并且提供了迭代法来求不动点.定理[12-14]设函数是连续的，函数在正方形区域上连续，并且存在常数，使得，则当时，必然有唯一的满足方程.证明是连续函数空间，在其上定义映射，记，对任意，都有，可知是连续空间的一个压缩映射，由巴拿赫不动点定理可知该积分方程有唯一解，且连续.4.3在数学建模中的应用作为连续函数的重要性质之一，巴拿赫不动点定理在一些数学模型的建立中具有独特应用．下例是不动点定理的一种变换形式在数学模型中的应用，进一步体现了不动点定理应用的广泛性．例[15](分蛋糕模型)现有一块蛋糕，边界为任意形状，哥哥为了考验弟弟，提出了下列问题：在蛋糕上任意指定一点P，你能否沿着过点P的一条直线将蛋糕平均分成两份？弟弟认为，从理论上来说是可以做到的．因此，就需要弟弟通过建立数学模型来证明：过蛋糕上任意一点P切一刀，可以将蛋糕分成平均的两份．模型假设(1)蛋糕厚薄一致，各处疏密均匀．(2)刀切截面与蛋糕平面是相互垂直的．(3)蛋糕边界是一条封闭的没有交叉点的平面曲线．模型分析该问题可以抽象为：在平面上，由一条没有交叉点的封闭曲线围成一任意图形，能不能在图形内的任意一点P作一条直线L将图形分成面积相等的两部分？模型求解过点P的直线L将蛋糕分成两部分，设直线L与水平X轴的夹角为，以P为中心旋转直线L(假设按逆时针旋转)．易知随着的变化而变化，记，．另设．若，不妨设．取在上变化，则在上是连续变化的．同时有，．因为当L绕点P从转到时，最后的是最初的，而最后的则是最初的．由巴拿赫不动点定理，可知必存在一点，使得和．因此，从理论上来说，通过该模型可以实现平分蛋糕.在解决同类型的实际问题时，通过取合适的值，可以得到相应的解答．不动点理论在数学模型中的应用也是十分广泛，也可以利用它来解决另一个我们身边的模型问题，即在凹凸不平的地面上，能否将一把椅子放平稳？这里我们只列举这一种来感受它的应用性.第五章构造方法及推广5.1压缩映射的构造方法前面，我们充分讨论了巴拿赫不动点定理在数学学科中的广泛应用，为解决问题提供了更为简单快捷的方法，而运用这些方法的关键在于如何构造一个有效的压缩映射，接下来，将对两种常见的构造方法进行简单的介绍，并列举了应用实例.5.1.1通过区间长度比例构造压缩映射定理[16]设是实数轴上的两个非零闭区间，并且有，则映射是一个压缩映射.证明由映射的构造易知，它是空间上到自身的映射.因，可知.所以，是距离空间中的压缩映射.例用区间长度构造压缩映射的方法证明聚点定理.证明选取区间.由于点集有界，所以存在，有，不妨记，有.由于点集是无限的，将二等分后，得到的两个区间中至少有一个包含了中的无穷多个点.如果中包含了的无穷多个点，记，反之若是中包含了的无穷多个点，则记.反复进行这一步操作，将得到一个区间序列，并且有：任一中都含有中的无穷多个点；;;构造合理的压缩映射.对于任一，根据区间长度的比例可构造映射，可知是压缩映射.根据巴拿赫不动点定理，可知存在，使得.证明是的聚点.实际上，根据区间的选取方式可知，对于任意的，存在，当时，有.又区间中包含了的无穷多点，即中包含了的无穷多点，可知是的聚点，得证.5.1.1通过线性方程组构造压缩映射定理在空间上定义距离，矩阵满足条件：，,作映射：，则它是压缩映射.证明显然，度量空间是完备的.如果，则，又，因此是上的压缩映射，得证.可以通过上述方法所构造的压缩映射解线性方程组.5.2不动点定理的一个推广定理定理5.1[9]设是完备度量空间上的一个映射，若存在，使得是上的压缩映射，则映射在上有且仅有一个不动点.证明由巴拿赫不动点定理知，存在，使得，则可得到，可知也是的一个不动点.因是压缩映射，由不动点的唯一性知必满足，即证明了其不动点的存在性.下证唯一性.假设的一个不动点是，因为，所以，故也是的一个不动点.因是压缩映射，所以只有一个不动点，则，即映射的不动点唯一.当取1时，该定理即是巴拿赫不动点定理的一个推广.

结束语巴拿赫不动点定理是泛函分析中的一个非常重要的定理，也是不动点理论体系的一个重要分支，分析和研究巴拿赫不动点定理及其应用，对于我们把握各数学分支之间的联系、将知识融会贯通并运用到解决问题中具有重要意义.我们通过之前的学习和研究了解到，虽然不动点定理有非常多的表现形式，但其本质都是相通的，在解决问题时，大多就是构造合理的压缩映射和运用迭代法求出解.前文已经介绍了两种常见的构造方法，对于其他种类的构造方式就不做太深入的探讨了，而对于迭代问题，我们大概可以总结为如下几个步骤:运用函数的连续性证明不动点是存在的；运用均值定理或中值定理证明不动点是唯一的；运用数学归纳法和均值定理证明收敛性；求出近似解.但是，在运用不动点定理解决实际问题的时候，由于不动点应用的广泛性，其解题思路较为开放，我们要懂得变通，掌握一些技巧，比如：迭代法，是运用不动点理论解决问题的必经之路，必须在掌握理论的基础之上不断实践和积累；三角不等式，是一个极其重要且有效的放缩工具，在证明收敛、压缩的过程中经常用到；数学归纳法，一般用在有关次迭代的问题中；反证法，是我们学习证明方法以来一直使用的，在这里对于不动点唯一性的证明十分有效且更为简单.总之，通过对巴拿赫不动点定理的研究，我们不仅仅是掌握一种新的知识点和解题方法，更重要的感受是它在整个数学领域中的广泛应用，以及对于个人数学知识体系的完善，数学思维和能力的提高.

参考文献KosakuYosida.Fun