2025-2026学年天津市河西区高三（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年天津市河西区高三（上）期末数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|−1<x<4}，B={1,3,5}，则A∩B=(

)A.{0,1,2,3,4,5} B.{1,3,4} C.{1,3,5} D.{1,3}2.设a=0.71.1，b=1.10.7，c=log0.71.1，则a，A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.c<b<a3.已知直线l1：ax+2y−a+1=0，l2：3x+(a−1)y−2=0，则“a=−2”是“l1//A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件4.函数f(x)=(1−23x+1A. B.

C. D.5.在等差数列{an}中，已知a1+a3+A.51 B.100 C.150 D.2006.若函数y=f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)=(12)x，则不等式f(x)≥A.[−1,1] B.(−1,1) C.(−∞,1] D.[−1,+∞)7.已知函数f(x)=2sin(ωx−π4)+1(ω>0)，若存在互不相同的x1，x2∈[0,π]，使得f(A.74 B.2 C.114 8.如图1，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为20cm，高为30cm，杯内有20cm深的溶液，现将水杯倾斜，且倾斜时点B始终在桌面上，设直径AB所在直线与桌面所成的角为α(图2).要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，则角α的最大值为(

)A.π6 B.π4 C.π39.已知O为坐标原点，双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点依次为F1、F2，点F1也是抛物线y2=−4A.x22−y2=1 B.x二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.已知复数z=11+2i1+2i，则|z|=

．11.若函数f(x)=sinx+φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ=

12.直线l：5x−12y+m=0与圆O：(x−2)2+(y−1)2=25交于A、B两点，若|AB|=8，则13.在△ABC中，CA=a，CB=b，AD=DC，CB=2BE，且AB与DE交于点F，则CF=

(用a,b表示14.在数列{an}中，a1=2，an+1=a15.若函数f(x)=|x−a|+−x2+2x+3−a存在零点，则a三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题13分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a=2，c=3，又知bsinA=acos(B−π6).

(Ⅰ)求角B的大小、b边的长：

(Ⅱ)求sin17.(本小题15分)

已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点．

18.(本小题15分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1、A2，上顶点为B，离心率e=63，|A2B|=4．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)点D19.(本小题17分)

已知数列{an}是各项都为正数的等比数列，a2=3，且6a1是a2和a3的等差中项．

(1)求{an}的通项公式；

(2)对于数列{bn}满足：bn+1>bn>0，且bn20.(本小题15分)

已知函数f(x)=xlnx．

(1)求函数f(x)在点(e,f(e))处的切线方程；

(2)求证：f(x)≥x−1；

(3)若x1，x2∈(0,1)，且|f(x1参考答案1.D

2.B

3.C

4.A

5.C

6.A

7.D

8.B

9.B

10.5

11.3π212.41或−37

13.1

14.lgn+2

15.[316.解：(Ⅰ)∵bsinA=acos(B−π6).

∴bsinA=a(32cosB−12sinB)，

∴由正弦定理可得sinBsinA=sinA(32cosB−12sinB)，

∵sinA≠0，

∴sinBsinA=sinA(32cosB−12sinB)，可得sin(B−π3)=0，

∵B∈(0,π)，B−π3∈(−π3,2π3)，

∴B−π317.解：(1)证明：建立空间直角坐标系，如图所示：

A(4,0,0)，M(2,0,4)，B(4,4,0)，N(4,2,4)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，D(0,0,0)，

MN=(2,2,0)，AM=(−2,0,4)，DE=(0,2,4)，DB=(4,4,0)，

设n1=(x1,y1,z1)是平面AMN的一个法向量，

则n1⋅AM=−2x1+4z1=0n1⋅MN=2x1+2y1=0，解得x1=2z1y1=−2z1，

取z1=1，则n1=(2,−2,1)，

同理可得平面EFBD的一个法向量为n2=(2,−2,1)，

n1=(2,−2,1)=n2=(2,−2,1)18.解：(1)由于e=ca=63，因此c=63a，c2=23a2，b2=a2−c2=13a2，

由于|A2B|=a2+b2=43a2=4，因此a2=12，b2=4，

因此椭圆为x212+y24=1．

(2)因为B(0,2)，A1(−23,0)，A2(23,0)，

由于点D是椭圆C上非顶点的一动点，所以直线BD的斜率一定存在且不为0，设为k，

因此直线BD为y=kx+2，交x轴于点P(−2k,0)，

因此联立y=kx+2x212+y24=1得(3k2+1)x2+12kx=0，

因为xB=0，因此xD=−12k3k2+1，因此D(−12k3k2+1,2−6k23k2+1)，

kA1D=2−6k23k2+1−12k3k2+1+23=1−3k233k2−6k+3，

直线A1D为y=1−3k233k2−6k+3(x+23)，

由于A2B的方程为y=−33(x−23)，

联立得xQ=−6k，

所以OP⋅OQ=(−2k,0)⋅(−6k,yQ)=−2k⋅(−6k)=12，

所以OP⋅OQ为定值12．

19.解：(1)设各项都为正数的等比数列{an}的公比为q，q>0，

由a2=3，且6a1是a2和a3的等差中项，

可得a1q=3，12a1=a2+a3=a1q+a1q2，即q2+q−12=0，

解得a1=1，q=3，

可得an=3n−1；

(2