第二章 2.5.1 直线与圆的位置关系【人教A版选择性必修第一册课件】

选择性必修第一册第二章《直线和圆的方程》●2.5.1直线与圆的位置关系相交

相切

相离问题2:

如何判断直线与圆的位置关系?直线与圆的方程的公共解个数问题1:

在平面中，直线与圆的位置关系有几种?直线与圆的交点个数圆心到直线的距离直

线

与

圆

的

位

置

关

系相交相切相离图示直线与圆的交点个数2个1个0个几何法：圆心到直线的距离d<rd=rd>r代数法：联立直线与圆的方程

，消元得px²+qx+t=0的解的个数(△的正负)△>0△=0△<0新知1:直线与圆位置关系的判定圆(x-a)²+(y-b)²=r²(r>0)与直线Ax+By+C=0位置关系的判断基础巩固：直线与圆位置关系的判定(不含参)P91-例1.已知直线]:3x+y-6=0和圆C:x²+y²-2y-4=0,判断直线/和圆的位置关系(几何法)解：∵圆C的方程可化为x²+(y-1)²=5,几何法：计算量小；圆心为C(0,1),半径为r=√5,

代数法：可求交点.∵圆心C

到直线l的

距∴直线l与圆C

相交.(代数法)解：联.

消去y得x²-3x+2=0.①

∵△=(-3)²-4×1×2=1>0,..直线l与圆C相交.问题3:如何求直线l与

圆C

的交点坐标?由①解得x₁=1,x₂=2.

直线l与圆C的两个交点为2,0)和(1,3).基础巩固：直线与圆位置关系的判定(含参)[变式]若直线x+y-a=0

与圆x²+(y-1)²=2相离，则实数a的取值范围是a<-1

或a>3.(几何法)令圆心(0,1)到直线的距即1-a>2,

解得a<-1或a>3.(代数法)联.

消去y得2x²-2(a-1)x+(a-1)²-2=0.直线与圆相离时=-4a²+8a+12<0,即a²-2a-3>0,解得a<-1

或a>3.(1)当m

取何值时，直线与圆有2个公共点?(2)当m

取何值时，直线与圆相切?直线化为y+1=m(x-1),

所过定点(1,-1)在圆外.例2.直线ax-y+2a=0

与圆x²+y²=9的位置关系是相

交(法1)∵直线可化为y=a(x+2),

恒过点P(-2,0),且

P

在圆内(代数法)联立消y得(1+

a²)x²+4a²x+4a²-9=0,4=16a⁴-4(1+a²)(4a²-9)=20a²+36>0圆心到直线的距[变式]已知直线mx-y-1-m=0与圆(x-2)²+(y-1)²=4,则：(几何法)

:a=0题型1:过定点的直线与圆的位置关系时，d=0;a≠0

时，(2)令d=2

得m=0[变式2]已知直线mx-y-1-m=0与圆(x-2)²+(y-1)²=4,

则：(1)当m

取何值时，直线与圆有2个公共点?

y+1=m(x-1)

过点(1,-1)在圆外(2)当m

取何值时，直线与圆相切?解

：(代数法)联立直线与圆的方程，消去y

得(1+m²)x²-2(m²+2m+2)x+m²+4m+4=0.∵△=4m(3m+4)

,

∴当△>0,即m>0

或时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；

当4=0,即

m=0

或

时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当4<0,即时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.(几何法)∵圆心为

C(2,1),半径r=2.圆心C到

直

线

的

距当

d<2,

即

m>0

或时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当

d=2,

即

m=0

或时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当

d>2,

时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.升级巩固：过定点的直线与圆位置关系新知2:直线与圆的相交弦1.弦

：连接圆上任意两点的线段。①直径是圆的最长弦；②圆心在弦的中垂线上.2.弦心距：

圆心到弦所在直线的距离；3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧。4.求弦长：①两点距离：联立直线与圆的方程求两交点A,B的坐标弦长AB=

√

(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²②勾股/垂径定理：弦

长AB

=②Jr²-d²(d

为弦心距)③弦长公式：

(k为弦AB所在直线斜率)(斜率存在)(斜率存在且不为0)基础巩固：求直线被圆所截得的弦长P91-

例1.已知直线]:3x+y-6=0

和圆C:x²+y²-2y-4=0,判断直线/和圆的位置关系若相交，求直线l

被圆C所截得的弦长(法1)∵圆心为C(0,1),半径为r=

√5,∵圆心C

到直线l的距离

,∴弦长为2(法2)解：联.

消去y得x²-3x+2=0.(由①解得x₁=1,x₂=2.

直线l与

圆C的两个交点为2,0)和(1,3).弦长为

√

(2-1)²-(0-3)²=

√

10.直线与圆的位置关系相交相切相离图示Q0°直线与圆的交点个数2个1个几何法：圆心到直线的距离d<rd=rd

>

r代数法：联立直线与圆的方程

，消元得px²+qx+t=0的解的个数(△的正负)△>0△=0△<0要点小结圆(x-a)²+(y-b)²=r²(r>0)与直线Ax+By+C=0位置关系的判断计算量小可求交点弦长AB=√(x₁—-x₂)²+(y₁-y₂)²②勾股+垂径定理：弦

长AB

=②Jr²-d²(d

为弦心距)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧。③万能弦长公式：联立线/圆方程，消元得px²+qx+t=0

&

韦达定理x₁+x₂X₁Y₂要点小结求弦长的方法：①两点距离：联立直线与圆的方程求两交点A,B的坐标(斜率存在)(斜率存在不为0)(k为弦AB所在直线斜率)例3.已知过点M(-3,-3)的直线/被圆x²+y²-4y-21=0所截得的弦长为4

√5,求直线的方程目标：求斜率解：将圆化为x²+(y+2)²=25,得圆心C(0,-2),半径r=5.①

的斜率不存在时的方程为x=-3.此时圆心C到Z的距离d=3.

∴弦长为2√5²-3²=8≠4

√

5,直线x=-3不符合题意②

的斜率存在时，设1:y+3=k(x+3),化为kx-y+3k-3=0.则圆心C到Z的距解得k=2

或

代入得1:x+2y+9=0或2x-y+3=0.综上，直线l的方程为x+2y+9=0或2x-y+3=0.题型2:知弦长，求弦所在直线方程[例5]求斜率为-1且与圆x²+y²=4

相切的直线方程[变式]求与直线x-2y+4=0

垂直且与圆(x-1)²+(y+2)²=10相切的直线方程由d=r求未知量③过圆

外一点且与圆相切的直线有2条，切线长相等.2.求圆的切线方程[例4]过点P(1,√3)且与圆x²+y²=4相切的直线方程是[变式]求过点Q(2,4)且与圆x²+y²=4

相切的直线方程新知3:直线与圆的切线1.直线与圆的切线的性质①圆心到切线的距离等于半径；②圆心与切点的连线垂

直于切线；由垂直求斜率[例4]求过点P(1,√3)且与圆x²+y²=4

相切的直线方程解：∵∵1²+(√3)²=4.

∴P

在圆上

.

由直线PO与

切

线I

垂

直L∴切线方程即x+√3y-4=0.[变式]求过点Q(2,4)且与圆x²+y²=4

相切的直线方程

解∵2²+4²>4,:Q

在圆外.①若切线斜率不存在过点Q的直线x=2

显然与圆相切②若切线斜率存在设切线l:y-4=k(x-2).即1:kx-y+4-2k=0.

由圆心O到切线的距

,解得k

由d=r

求斜率k∴切线方程为x=2或3x-4y+10=0.圆的切线的性质：①圆心到切线的距离等于半径(d=r);②圆心与切点的连线垂直于切线(斜率积为-1);题型3:求圆的切线方程0°[例5]求斜率为-1且与圆x²+y²=4相切的直线方程解：设切线l:y=-x+b,∵l与

圆O

相切，.

∴b=±2√2.∴y=—x+2

√2

和y=—x-2

√2

为所求.[变式]求与直线x-2y+4=0

垂直且与圆(x-1)²+(y+2)²=10相切的直线方程解：设所求直线方程为：2x+y+C=0,∵与圆相切

∴C=±5√2,2x+y+5

√2=0

和2x+y-5

√2=0

为所求.圆的切线的性质：①圆心到切线的距离等于半径(d=r);②圆心与切点的连线垂直于切线(斜率积为-1);题型3:求圆的切线方程0°综合应用巩固P98

确定目标、数形结合、列式求解●2.求下列条件确定的圆的方程，并画出它们的图形：y

x-7y+2=0(1)圆心为M(3,-5),

且与直线x—7y+2=0相切；

目标：求半径

'M(2)圆心在直线y=x上，半径为2,且与直线y=6相切；目标：求圆心析：设圆心为(a,a),由相切得(a,a)到y-6=0的距离得a=4

或8→(x-4)²+(y-4)²=4或(x-8)²+(y-8)²=4(x-8²+(y-8²=4/y=x(3)半径为

√13,且与直线2x-3y+6=0

相切于点(3,4).目标：求圆心析：

解得

或18,8)(4,4)(x-4)²+(y-4)²=4y=60综合应用巩固P98

确定目标、数形结合、列式求解3.求直线l:3x-y-6=0被圆C:x²+y²—2x-4y=0截得的弦AB

的长.析

：(x-1)²+(y-2)²=5,

析：设圆心为解得a=-2,

4.求圆心在直线3x-y=0上，与x轴相切，且被直线x-y=0截得的弦长为2

√

7的圆的方程.5.求与圆C:x²+y²—x+2y=0

关于直线l:x-y+1=0

对称的圆的方