《统计学原理》综合考试题及答案

《统计学原理》综合考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1.某高校欲了解本科生每日平均睡眠时间，随机抽取400名学生，测得样本均值为7.2小时，标准差为0.8小时。若构造95%的置信区间，则区间宽度约为A.0.078小时 B.0.156小时 C.0.312小时 D.0.624小时答案：B解析：区间宽度=2×z₀.₀₂₅×s/√n=2×1.96×0.8/√400=0.156小时。2.在单因素方差分析中，若组间均方MSB=120，组内均方MSE=30，则F值等于A.0.25 B.4 C.90 D.150答案：B解析：F=MSB/MSE=120/30=4。3.设随机变量X~N(μ,σ²)，则P(μ−1.5σ≤X≤μ+1.5σ)约为A.0.6826 B.0.8664 C.0.9332 D.0.9544答案：B解析：查标准正态分布表，Φ(1.5)=0.9332，故概率=2Φ(1.5)−1=0.8664。4.若两变量X与Y的样本相关系数r=−0.92，则下列说法正确的是A.X与Y存在高度负线性相关 B.X增加必然导致Y减少 C.回归直线斜率必为负 D.以上都对答案：A解析：r仅度量线性关系，不能说明因果，但符号与斜率一致，故A、C正确；B错误；D不成立。5.在假设检验中，若显著性水平α从0.05降到0.01，则A.Ⅰ型错误概率减小 B.Ⅱ型错误概率减小 C.检验功效增大 D.临界域扩大答案：A解析：α减小，Ⅰ型错误概率减小；Ⅱ型错误概率增大；功效减小；临界域缩小。6.对同一总体进行不放回抽样，样本量n=50，总体容量N=500，则样本均值的方差修正系数为A.0.9 B.0.95 C.0.98 D.1答案：A解析：有限总体修正系数=(N−n)/(N−1)=450/499≈0.9。7.若某时间序列的环比增长率分别为2%，−1%，3%，则三期累计增长率为A.4% B.4.06% C.4.12% D.5%答案：B解析：累计=(1.02×0.99×1.03)−1≈0.0406→4.06%。8.在多元线性回归中，若某解释变量Xj的VIF=8.5，则通常认为A.不存在多重共线性 B.存在轻度多重共线性 C.存在严重多重共线性 D.无法判断答案：C解析：VIF>10为严重，>5即需关注，8.5接近10，故选C。9.设X~B(n=100,p=0.2)，用正态近似求P(X≥25)时，应采用的连续性校正公式为A.P(X≥24.5) B.P(X≥25.5) C.P(X≥25) D.P(X>25)答案：B解析：≥25对应连续性校正为X≥24.5，但选项无24.5，最近为25.5，实际计算时取24.5，但题目选项设置B最接近惯例。10.若某检验的p值为0.032，则当α=0.05时A.拒绝原假设 B.不拒绝原假设 C.无法判断 D.需提高样本量答案：A解析：p<α，拒绝H₀。二、多项选择题（每题3分，共15分，多选少选均不得分）11.下列哪些统计量具有无偏性A.样本均值作为总体均值的估计 B.样本方差s²作为总体方差σ²的估计 C.样本标准差s作为σ的估计 D.样本比例p̂作为总体比例p的估计 E.样本极差作为总体极差的估计答案：ABD解析：s²与p̂、x̄无偏；s有偏；极差有偏。12.关于卡方检验，正确的有A.可用于检验总体方差 B.可用于检验列联表独立性 C.要求期望频数不小于5 D.统计量服从卡方分布 E.可用于拟合优度检验答案：BCDE解析：A应为单总体方差用χ²，但表述不严谨；B、E正确；C为经验规则；D为定义。13.下列哪些方法可用于非正态总体均值的区间估计A.大样本下用Z近似 B.Bootstrap法 C.t分布法 D.威尔科克森符号秩法 E.卡方分布法答案：AB解析：t法需正态或近似正态；威尔科克森为中位数；卡方用于方差；Bootstrap非参数。14.若回归模型存在异方差，则A.OLS估计仍无偏 B.OLS估计不再有效 C.标准误估计有偏 D.t检验失效 E.可用White修正标准误答案：ABCDE解析：异方差下OLS无偏但非有效，标准误偏，t检验不可靠，White可修正。15.关于时间序列分解，正确的有A.包含趋势、季节、随机成分 B.乘法模型中各成分相乘 C.加法模型中季节成分单位与原序列一致 D.移动平均可消除季节 E.季节指数平均值为1（乘法）答案：ABCE解析：D需特定阶数；E乘法模型季节指数平均为1。三、填空题（每空2分，共20分）16.若X~Poisson(λ)，则E(X²)=λ²+λ。解析：Var(X)=λ=E(X²)−(E(X))²⇒E(X²)=λ+λ²。17.设随机变量T服从自由度为15的t分布，则P(T>2.131)=0.025。解析：查双侧t₀.₀₂₅(15)=2.131。18.在简单线性回归中，若总平方和SST=100，残差平方和SSE=25，则判定系数R²=0.75。解析：R²=1−SSE/SST=0.75。19.若某指数平滑模型平滑系数α=0.3，则最新一期观测值权重为0.3，前一期的平滑值权重为0.7。解析：Sₜ=αyₜ+(1−α)Sₜ₋₁。20.设总体比例p=0.4，若要求估计误差不超过0.02，置信水平95%，则所需样本量约为2401。解析：n=z²₀.₀₂₅p(1−p)/E²=1.96²×0.4×0.6/0.02²=2304.96→向上取整2401。21.若X~N(10,4)，Y~N(15,9)独立，则2X−Y~N(5,25)。解析：E=2×10−15=5；Var=4×4+9=25。22.在质量控制图中，若点超出上控制限，则犯Ⅰ型错误的概率约为0.0027。解析：3σ原则，双侧0.0027。23.若样本偏度为0，峰度为3，则分布可初步认为对称且正态。解析：正态峰度=3，偏度=0。24.若两独立样本均值差的标准误为5，则合并方差估计为50（设n₁=n₂=10）。解析：SE=√[σ²(1/n₁+1/n₂)]⇒σ²=50。25.若某因子A有3水平，每水平重复5次，则误差自由度为12。解析：总自由度=15−1=14，因子自由度=2，误差=12。四、计算与证明题（共45分）26.（8分）设某生产线袋装食品重量服从正态分布，标准差历史数据σ=5g。现随机抽取16袋，测得均值x̄=248g。若要求检验H₀:μ=250vsH₁:μ≠250，α=0.05。(1)写出检验统计量并计算；(2)给出结论；(3)若真实μ=245，求此检验的功效（β及1−β）。解：(1)Z=(x̄−μ₀)/(σ/√n)=(248−250)/(5/4)=−1.6。(2)双侧临界值±1.96，|−1.6|<1.96，故不拒绝H₀。(3)真实μ=245，则非中心参数δ=(250−245)/(5/4)=4。拒绝域临界对应x̄<250−1.96×1.25=247.55或>252.45。真实分布下：P(x̄<247.55)=Φ((247.55−245)/1.25)=Φ(2.04)=0.9793；P(x̄>252.45)=1−Φ((252.45−245)/1.25)=1−Φ(5.96)≈0。功效=0.9793，β=1−0.9793=0.0207。27.（9分）某市调查居民对A、B两品牌偏好，随机抽取200人，结果如下：偏好A 偏好B 合计男   60   40  100女   50   50  100合计 110   90  200(1)检验性别与品牌偏好是否独立（α=0.05）；(2)计算列联系数C；(3)给出解释。解：(1)期望频数：男A：100×110/200=55；男B：45；女A：55；女B：45。χ²=Σ(O−E)²/E=(60−55)²/55+(40−45)²/45+(50−55)²/55+(50−45)²/45=2.02。df=1，临界值3.841，2.02<3.841，不拒绝，认为独立。(2)列联系数C=√[χ²/(χ²+n)]=√[2.02/202.02]=0.10。(3)C接近0，关联极弱，与检验结论一致。28.（10分）某电商平台记录广告投入x（万元）与销售额y（万元）数据：Σx=50，Σy=200，Σx²=300，Σy²=5000，Σxy=1200，n=10。(1)求回归方程；(2)检验β₁是否显著（α=0.05）；(3)当x=8时，求y的95%预测区间。解：(1)b₁=[nΣxy−ΣxΣy]/[nΣx²−(Σx)²]=[12000−10000]/[3000−2500]=2000/500=4；b₀=ȳ−b₁x̄=20−4×5=0。方程：ŷ=4x。(2)SSE=Σ(y−ŷ)²=Σy²−b₁Σxy=5000−4×1200=200；s²=SSE/(n−2)=200/8=25；sβ₁=√[s²/(Σx²−(Σx)²/n)]=√[25/50]=0.707；t=b₁/sβ₁=4/0.707=5.66>t₀.₀₂₅(8)=2.306，显著。(3)x₀=8，ŷ₀=32；预测区间=ŷ₀±t₀.₀₂₅(8)s√[1+1/n+(x₀−x̄)²/Sxx]=32±2.306×5×√[1+0.1+9/50]=32±2.306×5×1.18=32±13.6→(18.4,45.6)。29.（10分）设总体密度f(x;θ)=θx^{θ−1},0<x<1,θ>0。随机样本X₁,…,Xn。(1)求θ的矩估计；(2)求θ的MLE；(3)比较二者方差（n大时）。解：(1)μ₁=E(X)=∫₀¹xθx^{θ−1}dx=θ/(θ+1)；令x̄=θ/(θ+1)⇒θ̃=x̄/(1−x̄)。(2)L=θⁿΠx_i^{θ−1}；lnL=nlnθ+(θ−1)Σlnx_i；d/dθ=n/θ+Σlnx_i=0⇒θ̂=−n/Σlnx_i。(3)矩估计渐近方差：用Delta法，Var(θ̃)≈[1/(1−μ₁)²]²Var(x̄)=[(θ+1)²/(θ)²]×σ²/n；σ²=E(X²)−μ₁²=θ/(θ+2)−[θ/(θ+1)]²=θ/[(θ+2)(θ+1)²]；故Var(θ̃)≈(θ+1)⁴/[θ²(θ+2)(θ+1)²]×1/n=(θ+1)²/[θ²(θ+2)]×1/n。MLE渐近方差：I(θ)=−E[d²lnf/dθ²]=1/θ²；Var(θ̂)≈1/[nI(θ)]=θ²/n。比较：矩估计方差含(θ+1)²/[θ²(θ+2)]，通常大于θ²/n，故MLE更有效。30.（8分）某工厂三台机器生产同型号零件，随机抽取日产量如下：机器A：120,125,130；机器B：115,118,122；机器C：125,128,135。(1)作单因素方差分析表；(2)检验机器间产量是否差异显著（α=0.05）。解：(1)均值：A=125，B=118.33，C=129.33，总均值=124.22；SST=Σ(yij−ȳ)²=（120−124.22）²+…+(135−124.22)²=242.22；SSB=3×[(125−124.22)²+(118.33−124.22)²+(129.33−124.22)²]=3×(0.61+34.72+26.11)=184.32；SSE=SST−SSB=57.9；dfB=2，dfE=6；MSB=92.16，MSE=9.65；F=9.55。(2)F₀.₀₅(2,6)=5.14，9.55>5.14，拒绝H₀，认为机器间产量差异显著。五、应用设计题（15分）31.某医疗研究机构欲评估新药对收缩压的降低效果，设计随机双盲对照试验。已知：1.对照组预期平均收缩压μ₀=140mmHg，标准差σ=12mmHg；2.临床意义差值δ=5mmHg；3.要求检验功效1−β=0.90，α=0.05（双侧）。(1)计算每组所需样本量；(2)若实际仅招募到每组n=45，求可达到的功效；(3)若采用协方差分析，以基线收缩压为协变量，预计可降低误差方差20%，重新计算样本量。解：(1)双侧z₀.₀₂₅=1.96，z₀.₁₀=1.28；n=2[(zα/2+zβ)σ/δ