上半年广东省初级统计师统计分布的概念考试试题及答案

上半年广东省初级统计师统计分布的概念考试试题及答案1.【单选】在统计推断中，若总体服从N(μ,σ²)，σ²未知，样本容量n=16，则样本均值的标准化变量服从A.N(0,1) B.t(15) C.χ²(15) D.F(1,15)答案：B解析：σ²未知且样本来自正态总体，用样本标准差S代替σ，统计量T=(X̄-μ)/(S/√n)服从自由度为n-1=15的t分布。2.【单选】设随机变量X~Exp(λ)，则其变异系数为A.1 B.λ C.1/λ D.λ²答案：A解析：指数分布期望E(X)=1/λ，标准差σ=1/λ，变异系数CV=σ/μ=1。3.【单选】若X~Bin(10,0.3)，Y~Bin(10,0.7)，且X与Y独立，则P(X+Y=10)=A.0 B.0.3¹⁰ C.0.7¹⁰ D.1答案：D解析：X+Y=10意味着X取k则Y必取10-k，但Y的试验次数也是10，故k+(10-k)=10恒成立，概率为1。4.【单选】对正态总体N(μ,σ²)进行容量为n的抽样，若σ²已知，则μ的1-α置信区间长度为A.2σz_{α/2}/√n B.σz_{α/2}/√n C.2σt_{α/2}(n-1)/√n D.2σz_{α}/√n答案：A解析：区间长度=2×临界值×标准误，σ已知用z，故为2σz_{α/2}/√n。5.【单选】设X~Poisson(λ)，则E(X²)=A.λ B.λ+λ² C.λ² D.λ-λ²答案：B解析：泊松分布Var(X)=λ，E(X²)=Var(X)+[E(X)]²=λ+λ²。6.【单选】若F~F(m,n)，则1/F服从A.F(n,m) B.F(m,n) C.χ²(n) D.t(n)答案：A解析：F分布倒数性质：若F~F(m,n)，则1/F~F(n,m)。7.【单选】设X~N(0,1)，Y~N(0,1)且独立，则Z=X/√(Y²/1)服从A.t(1) B.t(2) C.F(1,1) D.χ²(1)答案：A解析：Z为单个标准正态与√(χ²(1)/1)之比，即自由度为1的t分布。8.【单选】对0-1总体进行不放回抽样，容量n=50，总体比例P=0.2，则样本比例的方差为A.0.2×0.8/50 B.0.2×0.8/50×(N-50)/(N-1) C.0.2×0.8/49 D.0.2/50答案：B解析：有限总体修正，方差=P(1-P)/n×(N-n)/(N-1)。9.【单选】若X~U(a,b)，则其中位数为A.(a+b)/2 B.a C.b D.(b-a)/2答案：A解析：均匀分布对称，中位数=均值=(a+b)/2。10.【单选】设X~N(μ,1)，检验H₀:μ=0vsH₁:μ=1，取拒绝域X̄>0.5，n=4，则检验的势为A.Φ(1) B.1-Φ(0) C.1-Φ(-1) D.Φ(0.5)答案：C解析：势=P(拒绝H₀|H₁真)=P(X̄>0.5|μ=1)=P(Z>(0.5-1)/(1/√4))=P(Z>-1)=1-Φ(-1)。11.【单选】若X~Gamma(α,β)，则其矩母函数为A.(1-βt)^{-α} B.(1-βt)^{α} C.e^{βt} D.e^{αt}答案：A解析：Gamma矩母函数M(t)=(1-βt)^{-α},t<1/β。12.【单选】设X~N(10,4)，则P(X>12)=A.Φ(1) B.1-Φ(1) C.Φ(2) D.1-Φ(2)答案：B解析：Z=(12-10)/2=1，P(X>12)=1-Φ(1)。13.【单选】对正态总体均值进行双侧检验，显著性水平α=0.05，若n→∞，则拒绝域临界值趋于A.1.96 B.1.645 C.0 D.∞答案：A解析：大样本下样本均值分布趋近正态，双侧α=0.05对应z=1.96。14.【单选】若X~Bernoulli(p)，则其峰度为A.(1-6p(1-p))/[p(1-p)] B.3 C.0 D.(1-2p)/√[p(1-p)]答案：A解析：伯努利峰度=[1-6p(1-p)]/[p(1-p)]，与p有关。15.【单选】设X~N(0,1)，则E|X|=A.√(2/π) B.1 C.0 D.√π答案：A解析：标准正态半正态分布期望=√(2/π)。16.【单选】若X~χ²(k)，则其期望与方差分别为A.k,2k B.k,k C.2k,k D.k,4k答案：A解析：χ²(k)期望=k，方差=2k。17.【单选】设X~N(μ,σ²)，则P(|X-μ|<σ)=A.Φ(1)-Φ(-1) B.2Φ(1)-1 C.1-2Φ(-1) D.以上都对答案：D解析：P(|X-μ|<σ)=P(-1<Z<1)=Φ(1)-Φ(-1)=2Φ(1)-1=1-2Φ(-1)。18.【单选】若X~Geo(p)，则其无记忆性表现为A.P(X>m+n|X>m)=P(X>n) B.P(X=m+n)=P(X=m)P(X=n) C.E(X+m)=E(X)+m D.Var(X+n)=Var(X)答案：A解析：几何分布唯一具有无记忆性的离散分布，A正确。19.【单选】设X~N(μ,1)，Y=X²，则Y的分布为A.χ²(1,μ²) B.χ²(1) C.N(μ²,1) D.Exp(1)答案：A解析：非中心卡方，自由度1，非中心参数μ²。20.【单选】若X~Beta(a,b)，则其众数为A.(a-1)/(a+b-2) B.a/(a+b) C.1/2 D.(a+1)/(a+b+2)答案：A解析：Beta众数=(a-1)/(a+b-2)，当a,b>1。21.【多选】下列哪些分布属于指数族A.正态 B.二项 C.泊松 D.均匀 E.卡方答案：A,B,C,E解析：均匀分布无法写成指数族标准形式。22.【多选】若X~N(0,1)，Y~N(0,1)独立，则A.X+Y~N(0,2) B.X-Y~N(0,2) C.X²+Y²~χ²(2) D.X/Y~Cauchy E.X²/Y²~F(1,1)答案：A,B,C,D,E解析：独立正态线性组合仍正态；卡方可加；柯西与F定义。23.【多选】关于t分布，正确的是A.对称 B.峰度>3 C.随自由度增大趋于N(0,1) D.期望恒为0 E.方差恒为1答案：A,C,D解析：t峰度>3仅当自由度>4；方差=df/(df-2),df>2。24.【多选】下列哪些统计量可用于检验正态性A.Shapiro-Wilk B.Kolmogorov-Smirnov C.Jarque-Bera D.Anderson-Darling E.χ²拟合优度答案：A,B,C,D,E解析：均为经典正态性检验。25.【多选】若X~Poisson(λ)，则A.期望=方差 B.可加性成立 C.矩母函数存在 D.众数=⌊λ⌋ E.峰度=3+1/λ答案：A,B,C,D,E解析：泊松全部性质。26.【判断】对任意随机变量X，E(X²)≥[E(X)]²。答案：正确解析：方差非负，Var(X)=E(X²)-[E(X)]²≥0。27.【判断】若X~N(μ,σ²)，则样本均值X̄与样本方差S²独立。答案：正确解析：正态总体下样本均值与样本方差独立。28.【判断】F分布与t分布之间不存在任何函数关系。答案：错误解析：t²(df)~F(1,df)。29.【判断】均匀分布U(a,b)的熵与(b-a)成正比。答案：正确解析：熵=ln(b-a)，与区间长度对数成正比。30.【判断】对于二项分布Bin(n,p)，当n→∞,p→0,np=λ，则趋近泊松(λ)。答案：正确解析：泊松定理。31.【填空】若X~N(3,4)，则P(X²-6X+9≤1)=______。答案：0.6826解析：X²-6X+9=(X-3)²≤1⇒|X-3|≤1⇒P(|Z|≤0.5)=2Φ(0.5)-1≈0.3829×2=0.6826。32.【填空】设X~Exp(λ)，则其中位数为______。答案：ln2/λ解析：解e^{-λm}=0.5⇒m=ln2/λ。33.【填空】若X~χ²(10)，则P(X>18.307)=______。答案：0.05解析：查表χ²₀.₉₅(10)=18.307，故右尾0.05。34.【填空】对正态总体σ=2，n=25，X̄=15，则μ的95%置信区间上限为______。答案：15+1.96×2/5=15.784解析：σ已知用z，区间半宽=1.96×σ/√n=0.784。35.【填空】若X~Bin(100,0.5)，用正态近似求P(X=50)的修正结果为______。答案：P(49.5<X<50.5)≈Φ(0.1)-Φ(-0.1)=0.0796解析：连续性修正，σ=√25=5，z=(50.5-50)/5=0.1。36.【综合】设某生产线袋装盐重量X~N(μ,σ²)，历史σ=5g。现抽取n=16袋，得x̄=498g。(1)求μ的95%置信区间；(2)若要求估计误差≤1g，求所需最小样本量；(3)若新样本n=25，x̄=497g，s=6g，检验H₀:μ=500vsH₁:μ<500(α=0.05)。答案与解析：(1)σ已知，区间=x̄±z₀.₉₇₅σ/√n=498±1.96×5/4=498±2.45，即(495.55,500.45)g。(2)误差E=zα/2σ/√n≤1⇒√n≥1.96×5/1=9.8⇒n≥97，取98。(3)σ未知用t，t=(497-500)/(6/5)=-2.5，临界值-t₀.₀₅(24)=-1.711，-2.5<-1.711，拒绝H₀，认为均值显著低于500g。37.【综合】设X~Poisson(λ)，观测值x=0出现20次，x=1出现15次，x=2出现10次，x≥3出现5次，共50个观测。(1)求λ的矩估计；(2)求λ的极大似然估计；(3)用χ²检验拟合优度(α=0.05)。答案与解析：(1)样本均值=(0×20+1×15+2×10+3×5)/50=0.9，矩估计λ̂=0.9。(2)似然函数L∝e^{-50λ}λ^{45}，求导得λ̂=45/50=0.9。(3)期望频数：e₀=50e^{-0.9}=20.48，e₁=50×0.9e^{-0.9}=18.43，e₂=50×0.9²e^{-0.9}/2=8.30，e₃⁺=50-以上=2.79。合并末组，χ²=(20-20.48)²/20.48+…≈1.92，df=4-1-1=2，临界值5.99，1.92<5.99，不拒绝，模型合适。38.【综合】设(X,Y)服从二维正态，E(X)=E(Y)=0，Var(X)=Var(Y)=1，ρ=0.5。(1)求条件期望E(Y|X=x)；(2)求P(X+Y≤1)；(3)设Z=X²+Y²，求E(Z)。答案与解析：(1)E(Y|X=x)=ρx=0.5x。(2)X+Y~N(0,1+1+2ρ)=N(0,3)，P(X+Y≤1)=Φ(1/√3)=Φ(0.577)=0.718。(3)E(Z)=E(X²)+E(Y²)=1+1=2。39.【综合】设X~Gamma(2,θ)，密度f(x)=xe^{-x/θ}/θ²,x>0。(1)求θ的矩估计；(2)求θ的MLE；(3)求Fisher信息量I(θ)。答案与解析：(1)E(X)=αβ=2θ，令样本均值=X̄，矩估计θ̂=X̄/2。(2)对数似然l=-2nlnθ+Σlnx_i-Σx_i/θ，求导得θ̂=X̄/2。(3)二阶导数∂²l/∂θ²=2n/θ²-2Σx_i/θ³，期望I(θ)=-E(∂²l/∂θ²)=2n/θ²。40.【综合】某市调查月租金X(元)，假设X~LN(μ,σ²)，随机抽取n=100，得Σlnx_i=690，Σ(lnx_i)²=4830。(1)求μ与σ²的MLE；(2)求P(X>2000)；(3)求μ的95%置信区间。答案与解析：(1)μ̂=690/100=6.9，σ̂²=4830/100-6.9²=48.3-47.61=0.69。(2)P(X>2000)=P(lnX>ln2000=7.6009)=P(Z>(7.6009-6.9)/√0.69)=P(Z>0.843)=0.199。(3)σ̂²/n=0.0069，区间=6.9±1.96×√0.0069=6.9±0.163，即(6.737,7.063)。41.【综合】设X~Bin(8,p)，观测x=6。(1)求p的MLE；(2)求p的渐近方差；(3)构造Wald统计量检验H₀:p=0.5vsH₁:p≠0.5。答案与解析：(1)p̂=6/8=0.75。(2)渐近方差=p(1-p)/n=0.75×0.25/8=0.0234。(3)W=(0.75-0.5)/√(0.5×0.5/8)=0.25/0.1768=1.414，|1.414|<1.96，不拒绝。42.【综合】设X~N(μ,σ²)，n=20，x̄=12，s²=9。(1)求σ²的90%置信区间；(2)检验H₀:σ²=16vsH₁:σ²≠16(α=0.10)。答案与解析：(1)χ²₀.₀₅(19)=10.117，χ²₀.₉₅(19)=30.144，区间=[(n-1)s²/30.144,(n-1)s²/10.117]=[19×9/30.144,19×9/10.117]=[5.67,16.91]。(2)检验统计量χ²=(n-1)s²/16=19×9/16=10.6875，落在(10.117,30.144)内，不拒绝。43.【综合】设X~U(0,θ)，n=1，观测x=5。(1)求θ的MLE；(2)求θ的95%置信区间(用枢轴量法)。答案与解析：(1)MLEθ̂=5。(2)枢轴量U=X/θ~U(0,1)，P(U≤u)=u，取u₀.₀₂₅=0.025，u₀.₉₇₅=0.975，则P(0.025≤X/θ≤0.975)=0.95⇒θ∈[X/0.975,X/0.025]=[5.128,200]。44.【综合】设X~N(0,1)，Y=X²，求Cov(X,Y)。答案：0解析：Cov(X,X²)=E(X³)-E(X)E(X²)=0-0×1=0，因标准正态奇阶矩为0。45.【综合】设X~Poisson(