《统计原理》试题及答案

《统计原理》试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1.在抽样调查中，若总体方差未知且样本量较小，估计总体均值时应采用的分布是A.正态分布  B.t分布  C.χ²分布  D.F分布答案：B解析：当总体方差未知且n<30时，样本均值经标准化后服从自由度为n-1的t分布，故应选用t分布构造置信区间。2.若随机变量X~N(μ,σ²)，则P(μ-1.96σ≤X≤μ+1.96σ)约为A.90%  B.95%  C.99%  D.99.7%答案：B解析：标准正态分布在±1.96处双侧尾概率各为2.5%，合计5%，故中间面积为95%。3.在单因素方差分析中，若F统计量显著，则下列说法一定正确的是A.各组样本量相等  B.各组总体方差相等  C.至少两组总体均值不等  D.误差项服从正态分布答案：C解析：F检验拒绝原假设H0:μ1=μ2=…=μk，只能得出“至少一对均值差异显著”，并不要求样本量或方差齐性，后者是前提条件而非结论。4.对于同一数据，若显著性水平α由0.05降至0.01，则置信区间的宽度将A.变宽  B.变窄  C.不变  D.可能变宽也可能变窄答案：A解析：置信水平1-α提高，临界值增大，区间半宽zα/2·σ/√n随之增大，故区间变宽。5.在简单线性回归中，若决定系数R²=0.81，则相关系数r为A.0.81  B.0.9  C.±0.9  D.无法确定答案：C解析：R²=r²，故r=±√0.81=±0.9，符号与回归系数同号，题目未给正负，只能确定绝对值。6.下列关于χ²检验的描述，错误的是A.可用于检验总体方差  B.可用于检验列联表独立性  C.要求期望频数不小于5  D.统计量取值可负答案：D解析：χ²统计量为平方和形式，恒非负，故D错误。7.在质量控制图中，若有点落在上下控制限之外，则A.过程一定失控  B.过程一定受控  C.可能为第一类错误  D.可能为第二类错误答案：C解析：点出界表明小概率事件发生，若过程实际受控，则此判断为第一类错误（误报）。8.对同一总体采用不重复简单随机抽样，样本量n增加，则A.抽样标准误一定增大  B.抽样标准误一定减小  C.抽样标准误不变  D.抽样标准误与n无关答案：B解析：不重复抽样标准误公式为√[(N-n)/(N-1)]·σ/√n，n增大时分母√n增大，修正系数亦趋小，故标准误减小。9.在假设检验中，若p值=0.032，则当α=0.05时A.拒绝原假设  B.不拒绝原假设  C.无法判断  D.需增大样本量答案：A解析：p值<α，落入拒绝域，应拒绝H0。10.若两独立样本t检验的合并方差估计为sp²=36，n1=n2=10，则标准误为A.6  B.3  C.2.4  D.1.2答案：C解析：标准误SE=sp√(1/n1+1/n2)=6√0.2=6×0.447≈2.4。二、多项选择题（每题3分，共15分）11.下列属于描述统计方法的有A.直方图  B.箱线图  C.假设检验  D.茎叶图  E.相关系数答案：A,B,D,E解析：假设检验属推断统计，其余为描述统计。12.关于中心极限定理，正确的有A.要求总体正态  B.样本均值分布随n增大趋于正态  C.适用于任意总体分布  D.样本量需≥30  E.保证了样本均值无偏答案：B,C解析：CLT不要求总体正态，亦未规定30的界限，仅要求有限方差；无偏性由E(X̄)=μ保证，与CLT无关。13.在多元回归中，多重共线性的后果包括A.参数估计方差膨胀  B.t检验失效  C.R²降低  D.预测精度下降  E.系数符号反转答案：A,B,E解析：共线性使信息矩阵接近奇异，方差膨胀，t值不显著，符号可能反转；R²仍可能很高，预测精度未必下降。14.下列属于非参数检验的有A.Wilcoxon符号秩  B.Kruskal-Wallis  C.Mann-Whitney  D.符号检验  E.单因素ANOVA答案：A,B,C,D解析：E为参数方法，假定正态与方差齐性。15.若时间序列呈现线性趋势且季节波动固定，可采用的模型有A.移动平均  B.指数平滑  C.Holt-Winters加法  D.ARIMA(0,1,1)  E.季节分解+线性回归答案：C,E解析：Holt-Winters加法模型同时处理趋势与季节；先分解再回归亦可；A仅平滑，未显式建模季节。三、填空题（每空2分，共20分）16.若随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则其期望与方差均为________。答案：λ解析：泊松分布性质E(X)=Var(X)=λ。17.在简单随机抽样中，样本比例p̂的抽样标准误为________。答案：√[p(1-p)/n]解析：二项分布方差np(1-p)，比例方差除以n²，开方得标准误。18.若两变量等级相关系数rs=0.75，则其衡量的是________相关。答案：单调解析：Spearman系数测单调而非线性关系。19.当样本量n→∞时，t分布趋近于________分布。答案：标准正态解析：t分布密度尾部较厚，n增大时尾部概率减小，趋近N(0,1)。20.在质量控制中，若过程能力指数Cp=1.33，则缺陷率约为________ppm。答案：63解析：Cp=1.33对应±4σ水平，单侧缺陷率≈31.7ppm，双侧合计≈63ppm。21.若回归模型存在异方差，OLS估计量仍具有________性，但不再具有________性。答案：无偏；有效解析：异方差下OLS仍无偏，但方差非最小，失去有效性。22.对于AR(1)模型xt=φxt-1+εt，若|φ|≥1，则过程为________。答案：非平稳解析：特征根在单位圆上或外，方差随时间发散，非平稳。23.在贝叶斯估计中，后验分布正比于似然函数与________的乘积。答案：先验分布解析：贝叶斯定理π(θ|x)∝f(x|θ)π(θ)。24.若χ²(5)分布的右侧临界值为11.07，则P(χ²>11.07)=________。答案：0.05解析：查表可知χ²0.95,5=11.07，故右侧概率5%。25.当使用VIF判断多重共线性时，一般认为VIF>________需引起注意。答案：10解析：VIF=1/(1-Rj²)，大于10说明Rj²>0.9，共线性严重。四、计算与证明题（共45分）26.（8分）设某生产线袋装食品重量服从N(500,10²)，现随机抽取n=25袋，测得平均重量x̄=497g。（1）在α=0.05下检验是否显著低于标准重量；（2）求总体均值μ的95%单侧置信上限。解：（1）H0:μ=500，H1:μ<500检验统计量z=(497-500)/(10/√25)=-3/2=-1.5单侧临界值z0.05=-1.6451.5>-1.645，未落入拒绝域，故不拒绝H0，无充分证据表明平均重量显著低于500g。（2）单侧置信上限：μ≤x̄+z0.05·σ/√n=497+1.645×2=497+3.29=500.29g即μ的95%单侧置信上限为500.29g。27.（10分）为比较两种化肥对小麦产量的影响，随机分配10块地至A、B两组，得产量（kg/亩）：A:420,435,428,440,425B:405,410,415,408,412假设产量服从正态且方差齐性，检验两种化肥效果是否显著不同（α=0.05）。解：n1=n2=5，x̄A=429.6，x̄B=410.0sA²=58.3，sB²=13.5合并方差sp²=[(5-1)×58.3+(5-1)×13.5]/(5+5-2)=71.8/8=8.975SE=√[sp²(1/5+1/5)]=√(8.975×0.4)=√3.59=1.894t=(429.6-410)/1.894=19.6/1.894≈10.35自由度df=8，双侧t0.025,8=2.30610.35>2.306，拒绝H0，两种化肥对产量影响显著不同。28.（9分）某市调查400名市民，支持某政策者占52%。求支持率p的99%置信区间，并解释是否过半。解：p̂=0.52，n=400，z0.005=2.576标准误=√[0.52×0.48/400]=√0.000624=0.02498区间：0.52±2.576×0.02498=0.52±0.064→(0.456,0.584)因区间下限0.456<0.5，不能99%确信支持率过半。29.（10分）设随机变量X密度函数f(x)=kx²,0<x<2。（1）求常数k；（2）求E(X)与Var(X)；（3）抽取n=50的样本，用中心极限定理近似求P(X̄>1.5)。解：（1）∫0²kx²dx=k[x³/3]0²=8k/3=1⇒k=3/8（2）E(X)=∫0²x·(3/8)x²dx=3/8∫x³dx=3/8·16/4=3/2E(X²)=∫0²x²·(3/8)x²dx=3/8∫x⁴dx=3/8·32/5=12/5Var(X)=12/5-(3/2)²=12/5-9/4=3/20=0.15（3）由CLT，X̄≈N(1.5,0.15/50)=N(1.5,0.003)P(X̄>1.5)=P(Z>0)=0.530.（8分）证明：对于任意随机变量X，有Var(X)=E(X²)-[E(X)]²。证明：Var(X)=E[(X-E(X))²]=E[X²-2XE(X)+(E(X))²]=E(X²)-2E(X)E(X)+[E(X)]²=E(X²)-[E(X)]²证毕。五、综合应用题（共20分）31.某电商平台记录每日广告投入x（万元）与销售额y（万元）连续20天数据，计算得：Σx=200，Σy=1800，Σx²=2200，Σy²=165000，Σxy=18500。（1）建立一元线性回归方程；（2）检验回归系数显著性（α=0.05）；（3）若明日投入x=12万元，求销售额95%预测区间。解：（1）x̄=10，ȳ=90lxx=2200-200²/20=2200-2000=200lxy=18500-200×1800/20=18500-18000=500β̂1=lxy/lxx=500/200=2.5β̂0=ȳ-β̂1x̄=90-2.5×10=65回归方程：ŷ=65+2.5x（2）SSE=Σ(yi-ŷi)²=lyy-β̂1lxylyy=165000-1800²/20=165000-162000=3000SSE=3000-2.5×500=3000-1250=1750s²=SSE/(n-2)=1750/18=97.22，s=9.86SE(β̂1)=s/√lxx=9.86/√200=0.697t=β̂1/S