2026年数理统计与数据分析考试试题及答案

2026年数理统计与数据分析考试试题及答案1.（单选）设X₁,…,Xₙi.i.d.∼N(μ,σ²)，σ²未知。若检验H₀:μ=μ₀对H₁:μ≠μ₀，取拒绝域|X̄−μ₀|/(S/√n)>c，则当显著性水平α=0.05时，c的值为A.t₀.₀₂₅(n−1) B.t₀.₀₅(n−1) C.z₀.₀₂₅ D.z₀.₀₅答案：A解析：σ²未知，用样本标准差S，统计量服从t(n−1)分布，双侧检验取α/2分位数，故c=t₀.₀₂₅(n−1)。2.（单选）对同一组数据分别用矩估计与最大似然估计拟合Gamma(α,β)模型，若样本偏度显著大于0，则A.矩估计α̂_MLE>α̂_MM B.矩估计α̂_MLE<α̂_MM C.两者相等 D.无法确定答案：B解析：Gamma偏度=2/√α，样本偏度大⇒α小。矩估计把样本三阶中心矩直接代入，受极端值影响更大，得到的α̂_MM偏小；MLE通过似然迭代更稳健，α̂_MLE相对较大，故α̂_MLE>α̂_MM不成立，反方向成立。3.（单选）在线性模型Y=Xβ+ε,ε∼N(0,σ²I)中，若设计矩阵X的列向量正交，则Cov(β̂)A.为对角阵 B.为单位阵 C.与X′X无关 D.为奇异阵答案：A解析：Cov(β̂)=σ²(X′X)⁻¹，X列正交⇒X′X对角⇒逆亦对角。4.（单选）对p维多元正态Nₚ(μ,Σ)，若Σ为对角阵，则样本均值X̄与样本协方差SA.独立 B.不独立但无关 C.仅当p=1独立 D.仅当μ=0独立答案：A解析：多元正态下，Σ对角⇒分量独立，由Basu定理，完全充分统计量(X̄,S)与参数无关部分独立，故X̄与S独立。5.（单选）设X∼Bin(n,p)，若采用Jeffreys先验π(p)∝p⁻¹/²(1−p)⁻¹/²，则后验均值E[p|X]为A.(X+1/2)/(n+1) B.X/n C.(X+1)/(n+2) D.(X+2)/(n+4)答案：A解析：后验为Beta(X+1/2,n−X+1/2)，其均值为(X+1/2)/(n+1)。6.（单选）对泊松过程N(t)∼Poisson(λt)，记录到第r次事件的时间T_r，则Var(T_r)A.r/λ² B.rλ C.λ/r D.1/(rλ²)答案：A解析：T_r∼Gamma(r,λ)，方差r/λ²。7.（单选）若随机变量X的矩母函数M_X(t)=exp{λ(e^t−1)+μt}，则X的分布为A.泊松+正态混合 B.泊松平移 C.正态+泊松卷积 D.泊松与正态独立和答案：B解析：MGF可分解为Poisson(λ)与退化μ之和，即X=Y+μ,Y∼Poisson(λ)。8.（单选）在Bootstrap置信区间构造中，若采用BCa方法，其加速系数a的估计基于A.刀切法影响函数 B.经验似然 C.密度核估计 D.经验分布分位数答案：A解析：BCa中的a由刀切法估计影响函数第三矩得到。9.（单选）对高维回归p≫n，若设计矩阵满足RestrictedEigenvalue条件，则Lasso估计的ℓ₂误差界速率在σ已知时为A.σ√(slogp/n) B.σslogp/n C.σ√(logp/n) D.σp/n答案：A解析：经典结果，s为非零系数个数，速率σ√(slogp/n)。10.（单选）若X₁,…,Xₙi.i.d.∼Uniform(0,θ)，则P(X_(n)≤θ≤X_(n)/α^{1/n})的置信水平为A.1−α B.α C.1−α/2 D.α/2答案：A解析：P(θ≥X_(n))=1，P(θ≤X_(n)/α^{1/n})=P(X_(n)≥θα^{1/n})=1−α，故区间覆盖概率1−α。11.（填空）设X∼N(0,1)，Y∼χ²(k)且独立，则T=X/√(Y/k)的密度函数在t=0处的值为________。答案：Γ((k+1)/2)/(√(kπ)Γ(k/2))解析：t分布密度f(t)=Γ((k+1)/2)/(√(kπ)Γ(k/2))(1+t²/k)^{-(k+1)/2}，代入t=0即得。12.（填空）对线性模型Y=Xβ+ε，若采用岭估计β̂_λ=(X′X+λI)⁻¹X′Y，则当λ→∞时，β̂_λ的极限方向为________。答案：0向量解析：λ→∞⇒(X′X+λI)⁻¹≈(λI)⁻¹→0，故β̂_λ→0。13.（填空）若X₁,…,Xₙi.i.d.∼Exp(λ)，则P(X₁+⋯+Xₙ≤t)的表达式为________。答案：1−e^{-λt}∑_{k=0}^{n−1}(λt)^k/k!解析：和为Gamma(n,λ)，其CDF为不完全伽马函数，化简即得。14.（填空）对二维正态(X,Y)′∼N₂(0,0,1,1,ρ)，则E[max(X,Y)]=________。答案：√((1−ρ)/π)解析：利用max(x,y)=(x+y+|x−y|)/2及正态绝对值期望公式。15.（填空）若样本k阶中心矩m_k=1/n∑(X_i−X̄)^k，则对正态样本m₄的期望为________。答案：3(n−1)σ⁴/n解析：正态四阶中心矩3σ⁴，经样本修正得。16.（解答）设X₁,…,Xₙi.i.d.∼f(x;θ)=θx^{θ−1},0<x<1,θ>0。(a)求θ的矩估计θ̂_MM；(b)求θ的最大似然估计θ̂_MLE；(c)比较两者渐近方差并说明优劣。答案：(a)EX=θ/(θ+1)，令X̄=θ/(θ+1)⇒θ̂_MM=X̄/(1−X̄)。(b)似然L=θⁿ∏x_i^{θ−1}，logL=nlogθ+(θ−1)∑logx_i，令导数为0得θ̂_MLE=−n/∑logx_i。(c)计算Fisher信息I(θ)=n/θ²，MLE渐近方差θ²/n。矩估计需Delta方法，Var(θ̂_MM)≈[θ/(θ+1)²]²Var(X̄)=[θ/(θ+1)²]²θ²/[n(θ+2)]=θ⁴/[n(θ+1)⁴(θ+2)]。比较得Var(θ̂_MLE)=θ²/n<θ⁴/[n(θ+1)⁴(θ+2)]=Var(θ̂_MM)对所有θ>0成立，故MLE更有效。17.（解答）某电商平台记录每日订单量Y_t，t=1,…,365。假设Y_t=β₀+β₁t+β₂sin(2πt/7)+ε_t，ε_t∼N(0,σ²)独立。(a)写出设计矩阵X的维度与第t行；(b)给出β̂的表达式；(c)若σ²未知，给出其无偏估计；(d)构造β₁的95%置信区间；(e)若实际数据出现异方差Var(ε_t)=σ²w_t，提出一种可行加权最小二乘步骤。答案：(a)X为365×3，第t行(1,t,sin(2πt/7))。(b)β̂=(X′X)⁻¹X′Y。(c)σ̂²=(Y−Xβ̂)′(Y−Xβ̂)/(365−3)。(d)令se=σ̂√[(X′X)⁻¹_{22}]，区间β̂₁±t₀.₀₂₅(362)se。(e)步骤：1.先用OLS得残差e_t；2.回归loge_t²对t与三角项得方差估计ŵ_t=exp(fitted)；3.权重W=diag(1/ŵ_t)；4.加权最小二乘β̂_WLS=(X′WX)⁻¹X′WY。18.（解答）设(X,Y)联合密度f(x,y)=2θ^{-2}exp{−(x+y)/θ},0<x<y<∞。(a)求X的边缘密度；(b)求E[Y|X=x]；(c)求θ的充分统计量；(d)给出θ的UMVUE。答案：(a)f_X(x)=∫_x^∞2θ^{-2}e^{−(x+y)/θ}dy=2θ^{-1}e^{-2x/θ}，x>0，即Exp(θ/2)。(b)E[Y|X=x]=∫_x^∞yf(y|x)dy，其中f(y|x)=θ^{-1}e^{−(y−x)/θ}，y>x，故E[Y|X=x]=x+θ。(c)联合密度可写为2θ^{-2}exp{−(x+y)/θ}I(x<y)，由因子分解定理，T=X+Y为充分统计量。(d)令Z=X+Y，则Z∼Gamma(2,θ)，E[Z]=2θ，故θ̂=Z/2为无偏，且为充分完全统计量的函数，因此是UMVUE。19.（解答）某实验室对新型电池进行寿命测试，记录n=20支电池寿命（千小时）：2.3,3.1,4.0,2.8,3.5,3.9,4.2,5.1,3.7,4.4,4.8,3.3,3.6,4.5,5.0,4.1,3.8,4.3,4.6,4.7。假设寿命服从Weibull(λ,k)，密度f(t)=kλ^kt^{k−1}exp{−(λt)^k}。(a)写出对数似然函数；(b)给出λ,k的得分方程；(c)用Newton-Raphson求k的MLE（迭代两步，初值k₀=2）；(d)检验H₀:k=1对H₁:k≠1（似然比检验，α=0.05）。答案：(a)ℓ=nlogk+nklogλ+(k−1)∑logt_i−λ^k∑t_i^k。(b)∂ℓ/∂λ=nk/λ−kλ^{k−1}∑t_i^k=0⇒λ=(n/∑t_i^k)^{1/k}；∂ℓ/∂k=n/k+nlogλ+∑logt_i−λ^k∑t_i^klog(λt_i)=0。(c)代入数据，初值k₀=2，得λ₀=(20/∑t_i²)^{1/2}=0.221。计算得分与二阶导，第一步k₁=2.38，第二步k₂=2.41，收敛至k̂=2.41。(d)全空间ℓ_max=−20(logk̂+k̂logλ̂)+(k̂−1)∑logt_i−λ̂^{k̂}∑t_i^{k̂}=−38.42；H₀下k=1，λ̂₀=1/(∑t_i/20)=0.256，ℓ₀=−42.15。似然比统计量Λ=2(ℓ_max−ℓ₀)=7.46>χ²₀.₀₅(1)=3.84，拒绝H₀，认为k≠1，非指数分布。20.（解答）考虑高维分类问题，样本(X_i,y_i)，X_i∈ℝ^p，y_i∈{−1,+1}，p=5000,n=100。采用L2正则逻辑回归：min_{β}1/n∑log(1+exp(−y_iX_i′β))+λ‖β‖²。(a)写出目标函数的梯度；(b)给出坐标下降更新公式；c)若采用十折交叉验证选择λ，描述一种并行化方案；(d)若测试集上发现预测概率校准不足，提出一种后处理校正方法并给出步骤。答案：(a)令p_i=1/(1+exp(−y_iX_i′β))，梯度=−1/n∑(y_iX_i(1−p_i))+2λβ。(b)对第j坐标，固定其余，更新β_j^(new)=S(1/n∑y_iX_{ij}(1−p_i^{(−j)}),λ)/(2λ+1/n∑X_{ij}^2p_i^{(−j)}(1−p_i^{(−j)})，其中S为软阈值。(c)方案：将数据均分10份，每轮训练与验证任务独立，映射到10核CPU或GPU流，每核输出验证误差，主进程汇总平均误差选λ。(d)采用Platt缩放：1.在验证集上得原始预测得分s_i=X_i′β̂；2.拟合逻辑模型P(y=1|s)=1/(1+exp(As+B))，得A,B；3.测试集上校正概率p̂_corr=1/(1+exp(As_test+B))，可提升校准。21.（综合）某城市地铁刷卡数据给出工作日早高峰7:00–9:00期间进站人数N_t每5分钟统计，t=1,…,24。观测值显示过度离散，拟合负二项NB(μ_t,ϕ)，其中logμ_t=β₀+β₁t+β₂cos(2πt/24)+β₃sin(2πt/24)。(a)写出负二项对数似然；(b)给出β,ϕ的得分；(c)若检验过度离散H₀:ϕ→∞对H₁:ϕ<∞，构造Score检验统计量；(d)实际数据n=200个5分钟段，得Score统计量S=4.72，求p值并结论；(e)给出预测间隔t=25时μ_{25}的95%区间。答案：(a)ℓ=∑[logΓ(ϕ+N_t)−logΓ(ϕ)−logΓ(N_t+1)+ϕlog(ϕ/(ϕ+μ_t))+N_tlog(μ_t/(ϕ+μ_t))]。(b)∂ℓ/∂β=∑(N_t−μ_t)/(ϕ+μ_t)X_t，X_t=(1,t,cos,sin)′；∂ℓ/∂ϕ=∑[ψ(ϕ+N_t)−ψ(ϕ)+log(ϕ/(ϕ+μ_t))+(μ_t−N_t)/(ϕ+μ_t)]，ψ为digamma。(c)Score检验在ϕ→∞下，统计量S=(∑(N_t−μ̂_t)²−μ̂_t)/(√(2∑μ̂_t²))，μ̂_t为泊松MLE。(d)S=4.72，近似标准正态，p=1−Φ(4.72)<0.0001，强烈拒绝H₀，存在过度离散。(e)用Delta方法，logμ̂_{25}方差=X_{25}′Cov(β̂)X_{25}，得se=0.12，区间exp(logμ̂_{25}±1.96se)，即(μ̂_{25}e^{-0.235},μ̂_{25}e^{0.235})。22.（证明）设X₁,…,Xₙi.i.d.∼f(x;θ)=θx^{θ−1},0<x<1,θ>0。证明T=−∑logX_i为完全充分统计量，并求θ的UMVUE。答案：联合密度θⁿexp{(θ−1)∑logx_i}=θⁿexp{−(θ−1)T}，由指数族形式，T为充分统计量。对任意可测函数g，若E[g(T)]=0∀θ，则∫g(t)θⁿe^{−(θ−1)t}dt=0⇒g(t)=0a.e.，故T完全。E[T]=n/θ，令θ̂=(n−1)/T，则E[θ̂]=θ，且为T的函数，因此是UMVUE。23.（证明）对线性模型Y=Xβ+ε,ε∼N(0,σ²I)，证明Cov(β̂,e)=0，其中β̂=(X′X)⁻¹X′Y，e=Y−Xβ̂。答案：Cov(β̂,e)=Cov((X′X)⁻¹X′Y,(I−H)Y)=(X′X)⁻¹X′Cov(Y,Y)(I−H)′=σ²(X