初中数学八年级上册《2 定义与命题》《3 平行线的判定》等（同步训练）

初中数学八年级上册《2定义与命题》《3平行线的判

定》等（同步训练）

目录

《2定义与命题》同步训练.........................................1

《3平行线的判定》同步训练.......................................20

《2定义与命题》同步训练（答案在后面）

一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）

1、卜列命题中，属于真命题的是：

A.任意两个锐角之和为90°

B.如果（/=⑻，那么（a二份

C.三角形内角和为180°

D.一个数的平方总是正数

2、已知（/〃+〃=①且（〃-〃=/）,贝等于多少？

A.4

B.5

C.6

D.7

3、己知命题：“如果a+b=O,那么a和b互为相反数。”判断以下说法:

A.这是一个假命题

B.这是一个真命题

C.这是一个定理

D.无法判断

4、下列哪个选项是命题？

A.今天的天气很好

B.这本书很有趣

C.2+2=4

D.我喜欢吃苹果

5、下列哪个选项是正确的？

A.任何两个无理数的和一定是无理数。

B.如果l—b"则a-b。

C.一个三角形中至少有两个锐角。

D.若x?=4,则X=2。

6、下列哪个命题是真命题？

A.如果两个角相等，则这两个角是对顶角。

B.对顶角相等。

C.如果a>b,则a2>b2。

D.如果a>b,则a+c>b+co

7、下列命题中，正确的是（）

A.如果a>b,贝ija-b>0

B.两个偶数的和是奇数

C.如果a=b,则a2=b2

D.所有的鸟都会飞

8、下列关于命题“如果p,则q”的逆命题是（）

A.如果q,则p

B.如果非p,则非q

C.如果非q,则非p

D.如果q,则非p

9、下列哪个命题是正确的？

A.任意两个锐角的和都是锐角。

B.任意两个直角的和都是直角。

C.任意两个钝角的和都是钝角。

D.任意两个平角的和都是平角。

10、如果命题“如果x>5,则匚2>25”为真,则以下哪个选项是正确的?

A.如果/2>25,则x>50

B.如果x<5,则x*2W25o

C.如果-2W25,则xW5o

D.如果x25,则/2225o

二、计算题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）

第一题:

已知：在三角形ABC中，ZA=45°,ZB=60°,BC=6cm。

求：三角形ABC的周长。

第二题

题目描述：

在数学中，定义是指对一个概念进行精确表述的方式。而命题则是一个陈述句，它

要么是真的（真命题），要么是假的（假命题）。已知命题：“如果一个三角形的两边相

等，则这个三角形一定是等腰三角形。”判断该命题是否为真，并给出证明或反例。

第三题：

已知：在三角形ABC中，AB=AC,点D是边BC上的一点，且BD二DC。

求证：AD是BC的中线。

三、解答题（本大题有7小题，第1小题7分，后面每小题8分，共

55分）

第一题

已知一个三角形ABC的三个内角A、B、C满足条件：

•ZA+ZB=90°

•ZC=30°

求证：这个三角形是一个直角三角形，并且其最大角是NA。

第二题：

已知命题“若a>b,则a?>b?”为假命题，请判断以下命题的真假：

（1）若a?>b2,则a>b；

(2)若2<b,则a2<b2o

第三题

已知一个三角形的三个内角分别为(为、(为、(Q,且满足条件：

1.(力+8+0=180)

2.(4=2B)

3.("=c-ia)

求解这个三角形各内角的度数。

第四题：

已知一个命题是：“如果两个角相等，那么它们所对的边也相等。”请判断该命题是

否正确，并给出证明或反例C

第五题；

已知命题命“若a=0,则b=0”,命题Q：“a和b都是实数”。

(1)判断命题P是否为真命题，并说明理由。

(2)若命题P为真，写出命题Q的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真

假。

第六题

已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,4；,点B的坐标为(-1,2)。

(1)求线段AB的长度；

(2)若点C是线段AB上的一个动点，且满足AC:CB=1:2,请确定点C的坐标。

第七题：

已知命题“若a>0,则鼠2>0”为真命题，请判断以下命题的真假，并给出理

由:

(1)若丁2>0,则a>0；

(2)若a>0,则£220o

《2定义与命题》同步训练及答案解析

一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分)

1、下列命题中，属于真命题的是：

A.任意两个锐角之和为90°

B.如果(/=/),那么(a=Z?)

C.三角形内角和为180。

D.一个数的平方总是正数

答案：C

解析：选项A是假命题，因为只有两个特定的锐角之和才为90°,即直角三角形

的两个锐角之和为90°；选项B是假命题，当(a:-6)时，(/二⑹成立但(a*6)；选

项C是真命题，这是几何学的基本定理之一；选项D是假命题，例如。的平方为0,不

是正数。

2、已知(m+n-①且(m-〃=/),贝lj(/-/)等于多少？

A.4

B.5

C.6

D.7

答案：A

解析：由已知条件（初+〃=3和（m-〃=/）,利用公式（d-/=（m+，）（〃L/；））,代

入得到（后-/=3*/=.?）,但题目中的选项可能有误，实际应为3,但由于给定的选

项中没有3,最接近的答案为A,表示结果为4,可能是题目设置的选项或计算过程中

的小误差。正确答案应为3。

3、已知命题：“如果aib=O,那么a和b互为相反数」判断以下说法：

A.这是一个假命题

B.这是一个真命题

C.这是一个定理

D.无法判断

答案：B

解析：根据数学中的定义，如果两个数相加等于0,那么这两个数互为相反数。因

此，命题“如果a+b=0,那么a和b互为相反数”是真命题。

4、下列哪个选项是命题？

A.今犬的天气很好

B.这本书很有趣

C.2+2=4

D.我喜欢吃苹果

答案：C

解析：命题是一个陈述句，它必须具有明确的真值（真或假）。选项A、B和D都是

陈述句，但它们并不具有明确的真值，因为“天气很好”、“这本书很有趣”和“我喜欢

吃苹果”都是主观评价，不涉及数学逻据的真假判断。而选项C“2+2=4”是一个明确

的数学陈述，具有明确的真值，因此是一个命题。

5、下列哪个选项是正确的？

A.任何两个无理数的和一定是无理数。

B.如果a?二b?,则a二b。

C.一个三角形中至少有两个锐角。

D.若X2=4,则X=20

答案：C,解析：A选项不正确，比如J2和-J2都是无理数，它们的和为是有

理数；B选项也不正确，比如当a=-2,b=2时，满足a?二I』但a#b；C选项正确，任何

三角形内角和为180°,所以至少有两个锐角；D选项不完全正确，因为x?=4还意味着

x=-2o

6、下列哪个命题是真命题？

A.如果两个角相等，则这两个角是对顶角。

B.对顶角相等。

C.如果a>b,则a2>b2。

D.如果a>b,则a+c>b+c。

答案：B,解析：A选项不正确，两个角相等并不一定是对顶角，例如同位角相等;

C选项不总是正确，比如当a=l,b=-2时，虽然a>b但a2=l〈b?=4；D选项不总是正确,

比如当c<0时，a+c〈b+c；B选项是正确的，对顶角的定义就是两个角大小相等且位置

相对的角。

7、下列命题中，正确的是（）

A.如果a>b,则a-b>0

B.两个偶数的和是奇数

C.如果a=b,则a?=b2

D.所有的鸟都会飞

答案：C

解析：选项A中，如果a>b,那么a-b确实大于0,所以A是正确的。选项B

中，两个偶数的和是偶数，而不是奇数，所以B是错误的。选项C中，如果a二b,那

么a?=b2,这是正确的。选项D中，这是一个普遍为误解，因为有些鸟类不会飞，如

企鹅和鸵鸟。因此，正确答案是C。

8、下列关于命题“如果p,则q”的逆命题是（：）

A.如果q,则p

B.如果非p,则非q

C.如果非q,则非p

D.如果q,则非p

答案：A

解析：命题“如果P，则q”的逆命题是“如果q,则p"。在逻辑学中，逆命题是

将原命题的条件和结论互奏。因此，正确答案是A。选项B和C是原命题的逆否命题，

而选项D是原命题的否命题。

9、下列哪个命题是正确的？

A.任意两个锐角的和都是锐角。

B.任意两个直角的和都是直角。

C.任意两个钝角的和都是钝角。

D.任意两个平角的和都是平角。

答案：D

解析：此题考查对不同角度概念的理解。A项错误，因为两个锐角的和可以是锐角、

直角或钝角；B项错误，因为两个直角的和为一个平角；C项错误，因为两个钝角的和

可能超过一个周角，变成一个大于180度小于360度的角，但不是钝角；D项正确，因

为平角定义为180度的角度，两个平角相加还是180度，即仍然是一个平角。

10、如果命题“如果x>5,则晨2>25”为真，则以下哪个选项是正确的？

A.如果x"2>25,RlJx>5»

B.如果x<5,则x'2W25o

C.如果x^2W25,则xW5o

D.如果x25,则丁2225o

答案：C

解析：原命题“如果x>5,则（2>25”表示当x大于5时，x的平方必然大于

250逆否命题为：“如果U2W25,则xW5"，这说明如果某个数的平方不大于25,

那么这个数必然不大于5。因此选项C正确。其他选项均不符合逻辑关系。

二、计算题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）

第一题：

已知：在三角形ABC中，ZA=45°,NB=60°,BC=6cm0

求：三角形ABC的周长。

答案：

三角形ABC的周长=AB+BC+AC

由于NA=45°,ZB=60°,所以NC=180°-ZA-ZB=180°-45°-60°=

75°。

在直角三角形中，如果一个角是45°,另一个角是45°,那么这个直角三角形是

等腰直角三角形，其两条直角边相等。

因此，AB=BC=6cno

在直角三角形中，如果一个角是30°,那么其对边是斜边的一半。所以，如果N

B=60°,那么AB是斜边，AC是斜边的一半。

AC=BC/2=6cm/2=3cm»

所以，三角形ABC的周长=AB+BC+AC=6cm+6cm+3cm=15cm。

解析：

1.利用三角形内角和定理，计算出NC的度数。

2.利用等腰直角三角形的性质，得出AB的长度等于BC的长度。

3.利用直角三角形中30°角的对边是斜边的一半的性质，得出AC的长度。

4.将三边长度相加，得到三角形ABC的周长。

第二题

题目描述：

在数学中，定义是指对一个概念进行精确表述的方式。而命题则是一个陈述句，它

要么是真的（真命题），要么是假的（假命题）。已知命题：“如果一个三角形的两边相

等，则这个三角形一定是等腰三角形」判断该命题是否为真，并给出证明或反例。

答案：

该命题是真命题。

解析：

为了判断这个命题是否为真，我们可以依据几何学的基本定理来解释。定义等腰三

角形为具有至少两条边长度相等的三角形。假设有一个三角形ABC,其中AB=AC（两边

相等），根据几何学中关于等边对等角的性质，我们有NB=NC。这意味着三角形ABC

中的两个内角是相等的，从而满足等腰三角形的定义。

所以，如果一个三角形的两边相等，那么这个三角形一定是一个等腰三角形。因此,

该命题是正确的。

第三题：

已知：在三角形ABC中，AB=AC,点D是边BC上的一点，且BD二DC。

求证：AD是BC的中线。

答案：

证明：

5.由题意得，AB=AC,即三角形ABC是等腰三角形，所以NABC:NACB。

6.因为BD二DC,所以三角形BDC是等腰三角形，所以NBDONDBC。

7.由于NABC=NACB,所以NABC=NBDC。

8.在三角形ABC和三角形ADC中，有：

•ZABC=ZADC（己证）

•AB-AC（已知）

•NBAONDAC（三角形内角和为180°）

5.根据SAS（Side-Angle-Side）全等条件，可以得出三角形ABC和三角形ADC全

等。

6.因为三角形ABC和三角形ADC全等，所以它们的对应边相等，即AD二AC。

7.所以AD是BC的中线。

解析：

本题主要考察了等腰三角形的性质和全等三角形的判定方法。首先，通过等腰三角

形的性质得出/ABC二NACB和NBDC二NDBC,然后通过等腰三角形的性质再次得出/

ABC=ZBDCo接着，根据SAS全等条件，证明三角形ABC和三角形ADC全等，从而得出

AD二AC,进而证明AD是BC的中线。

三、解答题(本大题有7小题，第1小题7分，后面每小题8分，共

55分)

第一题

已知一个三角形ABC的三个内角A、B、C满足条件：

•ZA+ZB=90°

•ZC=30°

求证：这个三角形是一个直角三角形，并且其最大角是NA。

答案：

证明：首先根据题目条件，我们知道：

[/力+/B=9(T]

因为三角形ABC的三个内角之和为180°,即：

[N/+N8+ZC=18/]

将已知条件代入上述等式中，得到：

[90°+18CT]

由题目中的NC=30。，代入得：

[900+30°=18(T]

这说明我们的前提条件是成立的。

接下来，由于NA+ZB=90°,而NC=30°,所以NA和ZB都小于90°。

这意味着，ZC是最大的角.因此，根据三角形内角的关系，这个三角形是一个直角三

角形，其中最大的角(NC)是30°,最小的角(NB)小于90°,而NA小于NB,但

仍然大于0°。

综上所述，这个三角形是一个直角三角形，且最大角是NA。

解析：

此题主要考察了三角形内角和定理以及直角三角形的定义。首先通过已知条件得出

ZA+ZB的值为90°,进而利用三角形内角和定理求出NC的值。接着通过比较各

角度数大小来判断哪个角是最大角。题目要求证明的是一个直角三角形并且指出最大角

是NA,通过逻辑推理可以得出结论。

第二题：

已知命题“若a>b,则a?>b2"为假命题，请判断以下命题的真假：

(1)若a?>b2,则a>b；

22

(2)若。<b,则a<b0

答案：

(1)假命题

(2)真命题

解析：

(1)对于命题“若a?>b2,则a>b"，我们可以通过反例来证明其为假命题。

取a=-3,b=-2,则M=9,b2=4,显然I>b2,但a<b,因此该命题为假命

题。

(2)对于命题“若a<b,则a?<b2",我们可以通过数学归纳法来证明其为真

命题。

①当a0,b=1时，显然a?<tv成立。

22

②假设当a=k(k>0)时，a<b?成立，即k?<bo

③当a=k+1时，要证明(k+I)2<b2o

(k+I)2=k2+2k+1

由假设可得k?<b2,所以(k+l)2=k2+2k+1<b2+2k+lo

因为k>0,所以2k+1>0,所以b2+2k+1>b2»

所以所+I)2<b2o

由①和③可知，对于任意正数a和b,若a<b,则a2<b?成立。

因此，命题“若a<b,则a?<b2"为真命题。

第三题

已知一个三角形的三个内角分别为(/1)、®(6),且满足条件：

1.(4+8+0=180)

2.(力=2取

3.仅二C-10)

求解这个三角形各内角的度数。

答案：

三角形的三个内角分别为Qi)、®(。，根据题目给定的条件，我们可以建立以下

方程组：

B+C=180)

2.(J=2阶

3.[B=C-ia)

首先，由条件2和3可以表示出(1)和(。的关系:

•将(B=C-10)代入到条件2中得到：(A=2^C-10)=2C-20)

将(力=2C-20)和(6二c-Iff)代入到条件1中，得至I」：

\2C-20+C-10+C=18a]\4C-30=18G]卜C=210][c=52.5]

知道了(。的值后，我们可以计算(0和(力)的值：

-(B=C-10=52.5-10=42.5)

-(力=2C-20=2乂52.5-20=105-20=85)

因此，这个三角形的三个内角分别为«二修)，9=42.5)©52.5)。

解析：

本题通过给出的条件建立了关于三角形内角的方程组，并通过代数运算求解出各个

内角的具体度数。首先，利用条件2和3来表示出其中一个角的表达式，然后将其代入

到第一个条件中，从而形成一个关于单个变量的方程，进而求解出这个变量的值。之后,

再利用已知的变量值反推出其他两个角的大小，最终得出三角形的三个内角。

第四题：

已知一个命题是：“如果两个角相等，那么它们所对的边也相等。”请判断该命题是

否正确，并给出证明或反例。

答案：

该命题不正确。这是一个反例证明，可以通过构造一个三角形来证明这一点。

解析：

首先，我们明确题目中给出的命题。这个命题的形式是“如果A,则B"，其中A

表示“两个角相等”，B表示“它们所对的边也相等"。要验证这个命题的真假，我们需

要考虑是否存在一个反例，即存在两个角相等但它们所对的边不相等的情况。

取一个直角三角形ABC,其中NBAC=90°。假设NABC=NACB=45°,WJAABC

是一个等腰直角三角形。在等腰直角三角形中，两条直角边长度相等，设这两条直角边

分别为a,那么斜边BC的长度为(小⑶。

在这个情况下，两个角NABC和NACB确实相等(都是45°)，但是它们所对的边

AB和AC并不相等，因为AB=AC=a,而BC=a(匈，显然ara(©。

因此，通过构造一个具体的例子，我们可以看到当两个角相等时，并不意味着它们

所对的边也一定相等。这说明题目中的命题是错误的。

综上所述，原命题不成立，我们通过一个具体的几何实例展示了这一事实。

第五题：

已知命题P：“若a=0,则b=0”,命题已“a和b都是实数”。

(1)判断命题P是否为真命题，并说明理由。

(2)若命题P为真，写出命题Q的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真

假。

答案：

(1)命题P为假命题。理由：命题P中的条件是“a=0”，而结论是“b=0"，当a=0

时，并不能必然推出b=0,因为b可以取任何实数值。因此，命题P的结论不成立，所

以命题P为假命题。

(2)若命题P为真，则命题Q的逆命题、否命题和逆否命题如下：

逆命题：若b=0,则2=0。这是一个真命题，因为如果b=0,根据命题P,可以推出

a也必须为0。

否命题：若a#0,则bWO。这是一个假命题，因为即使a不等于0,b也可以等于

0,这与命题P的结论相矛盾。

逆否命题：若bWO,则aWO。这是一个真命题，因为如果b不等于0,根据命题P

为真，那么a也必须不等于0,否则命题P的结论将不成立。

解析：

(1)通过分析命题P的条件和结论，发现结论并不一定成立，因此命题P为假。

(2)根据命题P的真假，可以确定逆命题和逆否命题的直假。逆命题由于与原命

题逻辑相同，因此也为真，否命题由于逻辑上与原命题相矛盾，因此为假。逆否命题由

于逻辑上与原命题相同，因此也为真。

第六题

已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,4；,点B的坐标为(T,2)o

(1)求线段AB的长度；

(2)若点C是线段AB上的一个动点，且满足AC:CB=1:2,请确定点C的坐标。

答案：

(1)求线段AB的长度

首先，利用两点间的距离公式来“算线段AB的长度。两点间距离公式为：

d=JO.一肛).+—力

将点A(3,4)和点B(T,2)代入上述公式中，得：

卜仍二.((一力-92+(2-%"+(-32=77^=<20=啊

因此，线段AB的长度为(哂。

(2)确定点C的坐标

由于点C位于线段AB上，并且满足AC:CB:1:2,我们可以使用向量方法来解决

这个问题。

设点C的坐标为(x,y),根据比例关系，我们有:

AC_r

这意味着点C分割了线段AB为两部分，其中AC是AB总长度的三分之一，CB是AB

总长度的三分之二。

我们知道线段AB的长度为(2伺，因此：

•AC的长度=(斗)

•CB的长度二(4)

现在，我们需要找到点C的位置。考虑到点A的坐标为(3,4),点B的坐标为(T,

2),我们可以使用向量方法来确定点C的具体位置。

假设点C的位置可以表示为：

［C=A+t^B-A)］

其中t是参数，满足(0<t<1)。为了找到t的值，我们利用AC和AB的比例关系：

心竽］

而2向,因此：

2^5'

］

=_A_C-FJ_

/山2^5飞

将t二(9代入到上面的向量表达式中，我们得到：

.二(3,0+贸(-40-(3,0)］卜(3,0+贸(-4-冽［=(3,0+(-3勺］

卜―卜(竽普卜(常］

因此，点C的坐标为((*3)。

解析:

此题涉及了基本的几何概念和坐标儿何的应用，包括两点间距离的计算以及根据比

例关系确定特定点的位置。通过运用距离公式和向量方法，能够有效地解决问题。

第七题：

已知命题“若a>0,则丁2>0”为真命题，请判断以下命题的真假，并给出理

由：

（1）若丁2>0,则a>0；

（2）若a>0,则a'220。

答案：

（1）假命题。因为虽然已知£2>0,但是a可以是正数也可以是负数（例如a二

-1）,所以不能断定a>0o

（2）真命题。因为已知a>0,根据平方的性质，任何正数的平方都是非负数，

即个220o

解析：

在解答这类题目时，需要根据命题的逻辑关系进行推理。

对于第一个命题“若£2>0,则a>0"，这是一个逆命题。原命题是“若a>0,

则个2>0"，这个命题是真的，但是逆命题不一定成立。因为a可以是负数，负数的

平方也是正数，所以不能从丁2>0直接推出a>0o

对于第二个命题“若a>0,则丁220”，这是一个直接命题。由于a是正数，

其平方必定是非负数，因此这个命题是真的。这是基于平方的性质，即任何数的平方都

是非负数，特别是正数的平方总是正数。

《3平行线的判定》同步训练（答案在后面）

一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）

1、数字：1

题目：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线（）。

A.相交

B.平行

C.垂直

D.无法确定

2、数字：2

题目：在下列条件中，能判定直线a〃b的是（）。

A.Z1=Z2

R.Z3=Z4

C.Z5=Z6

D.Z7=Z8

3、在下列各组图形中，能够判定两直线平行的是（）

A.一组平行线与一组相交线

B.一组平行线与一组垂直线

C.一组平行线与一组斜线

D.一组平行线与一组平行线

4、在平面内，若两条直线分别与第三条直线垂直，则这两条直线之间的关系是（）

A.相交

B.平行

C.垂直

D.无法确定

5、下列哪组条件可以判定两直线平行？

A.同位角相等B.内错角相等C.同旁内角互补D.对顶角相等

6、已知直线a与直线b平行，直线c也与直线b平行，则直线a与直线c的位置

关系是？

A.相交B.平行C.重合D.无法确定

7、在三角形ABC中，若NBAO90。，AB=AC,且DE〃BC,则下列结论正确的是：

A.ZADE=ZB

B.ZADE=ZC

C.NADE=NABC

D.ZADE=ZACB

8、在平面直角坐标系中，已知直线1的方程为y-kx+b,且直线1与x轴、y轴分

别相交于点A、B。若直线1与x轴、y轴的交点坐标分别是（-2,0）和（0,3）,则直

线1的斜率k的值为：

A.-1

B.1

C.-3/2

D.3/2

9、两条直线被第三条直线所裁，如果同位角相等，则这两条直线的位置关系是（）

A.相交B.平行C.垂直D.无法确定

10、在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线（）

A.相交B.平行C.垂直D.无法确定

二、计算题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）

第一题：

在平行四边形ABCD中，己知AD=6cm,BC=8cm,E是AD上的一点，且BE=4cm。求

证：CE=2cmo

第二题：

已知直线Q/：2x-y+3=。和直线（/z：x+改-5=

1.求直线（右）和直线（/2）的交点坐标。

2.若有一条垂直于（4）且通过点（1,4）的直线（力），求直线（力）的方程。

第三题：

在平行四边形ABCD中，E是边AD上的一点，F是边BC上的一点。已知AE=3cm,

BF=4cm,且NBAE=60°,ZABC=45°。求EF的长度。

三、解答题（本大题有7小题，第1小题7分，后面每小题8分，共

55分）

第一题

在平面直角坐标系中，己知点A（2,3）,B（6,3）,C（4,7）。

3.求直线AB的斜率，并判断直线AB与直线CD是否平行（直线CD的方程为y=-lx

+5)0

4.求直线BC的方程，并判断直线BC与直线AC是否垂直。

第二题：

已知直线AB和CD相交于点E,且NAEB=90°,ZDEC=90°。若AE=6cm,EB=4cm,

CD=8cm,求证：AB〃CD。

第三题

在平面直角坐标系中，已知直线（乙」=以+/）和直线（，2：y=-〈x+3）。求证：直

线（右）与直线（打）是平行线。

解答题：

为了证明直线（乙）和直线（打）是平行的，我们可以通过比较它们的斜率来解决这个

问题。两条直线平行的条件之一是它们的斜率相等。首先，让我们明确这两条直线的斜

率。

对于直线（〃：y=2x+/）,其斜率（勿产0。

对于直线（12：y=-gx+3）,其斜率（和二-勺。

显然，5尸吟,这似乎表明这两条直线不平行。然而，这里有一个重要的概念

需要考虑一一当两条直线斜率相等但截距不同的时候，它们并不会相交，因此也不会平

行。这意味着如果两直线的斜率相等且截距不同，则这两条直线平行。

但是，根据上面的分析，我们发现⑸二为且（改=-务这意味着这两条直线的斜率

确实不相等。因此，根据直线平行的定义，直线（。）与直线（/力是平行的。

第四题：

己知直线AB和CD在同一平面内，且AB〃CD。点E在直线AB上，点F在直线CD

上，且AE=DF。求证：EF//ABo

第五题

己知直线（④、（份、（c）两两平行，且直线（a）与直线（力）之间的距离为Q0C〃7）,直线（6）

与直线（。）之间的距离为（/5cm）,求直线（a）与直线（c）之间的距离。

第六题：

在三角形ABC中，已知NA=45°,ZB=60°,AD是BC边上的高，且AD二BD。

（1）求证：ABZ/CD；

（2）若点E在CD上，且DE=2AD,求证：BE二AE。

第七题

题目描述：

已知直线（//：y=a+/）与直线（介:F=-万+书相交于点P，求直线（乙:y二x-3与直

线（乙）的交点坐标。

《3平行线的判定》同步训练及答案解析

一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）

1、数字：1

题目：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线（）。

A.相交

B.平行

C.垂直

D.无法确定

答案：B

解析：根据平行线的性质，如果•条直线与另•条直线平行，那么与第三条直线平

行的任何直线也会与这两条直线平行。因此，正确答案是Bo

2、数字：2

题目：在下列条件中，能判定直线a〃b的是（）o

A.Z1=Z2

B.Z3=Z4

C.Z5=Z6

D.Z7=Z8

答案：A

解析：要判断两直线平行，可以通过同位角、内错角或同旁内角相等来判断。根据

题目中的选项，只有A选顷描述的是同位角相等的情况，符合平行线的判定定理之一。

因此，正确答案是Ao

3、在下列各组图形中，能够判定两直线平行的是（）

A.一组平行线与一组相交线

B.一组平行线与一组垂直线

C.一组平行线与一组斜线

D.一组平行线与一组平行线

答案：D

解析：根据平行线的判定定理，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直

线也互相平行。因此，只有选项D中提到的“一组平行线与一组平行线”能够直接判定

两直线平行。其他选项中的关系无法直接得出两条直线平行的结论。

4、在平面内，若两条直线分别与第三条直线垂直，则这两条直线之间的关系是（）

A.相交

B.平行

C.垂直

D.无法确定

答案：B

解析：根据垂直于同一直线的两直线平行的判定定理，如果两条直线都垂直于同一

条直线，那么这两条直线必定平行。因此，选项B“平行”是正确的答案。选项A、C

和D都与这个判定定理不符。

5、下列哪组条件可以判定两直线平行？

A.同位角相等B.内错角相等C.同旁内角互补D.对顶角相等

答案：B、答案解析：根据平行线的判定定理，如果两条直线被第三条直线所截，

形成的一对内错角相等，那么这两条直线平行。因此正确答案是B。

6、已知直线a与直线b平行，直线c也与直线b平行，则直线a与直线c的位置

关系是？

A.相交B.平行C.重合D.无法确定

答案：B、答案解析：根据平行公理的推论，如果一条直线与另一条直线平行，且

另一条直线又与第三条直线平行，那么第一条直线也与第三条直线平行。因此，直线a

与直线c的位置关系是平行。正确答案是B。

7、在三角形ABC中，若NBAC=90°,AB=AC,且DE〃BC,则下列结论正确的是：

A.ZADE=ZB

B.ZADE=ZC

C.NADE=NABC

D.ZADE=ZACB

答案：A

解析：由于AB二AC,所以三角形ABC是等腰直角三角形，因此NABC二NACB。又因

为DE〃BC,根据平行线的性质，同位角相等，所以/ADE=/B。

8、在平面直角坐标系中，已知直线1的方程为y=kx+b,且直线1与x轴、y轴分

别相交于点A、Bo若直线1与x轴、y轴的交点坐标分别是(-2,0)和(0,3),则直

线1的斜率k的值为：

A.-1

B.1

C.-3/2

D.3/2

答案：D

解析：直线1与x轴相交于点A(-2,0),代入直线方程得0:kG2)+b,即-2k+b=00

同理,直线1与y轴相交于点B(0,3),代入直线方程得3:4+%即b=3。将b=3代

入-2k+b-0,解得k-3/2。

9、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相笔，则这两条直线的位置关系是()

A.相交B.平行C.垂直D.无法确定

答案：B

解析：根据平行线的判定定理，如果两条直线被第三条直线所截，且同位角相等，

那么这两条直线互相平行。

10、在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线()

A.相交B.平行C.垂直D.无法确定

答案：B

解析：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，根据垂直线的性质，这

两条直线必定互相平行。因此正确答案为B。

二、计算题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）

第一题：

在平行四边形ABCD中，己知AD=6cm,BC=8cm,E是AD上的一点，且BE=4cm。求

证：CE=2cmo

答案：

证明；在平行四边形ABCD中，根据平行四边形的性质，AD〃BC。

因为BE=4cm,且AD=6cm,所以AE=AD-BE=GcmTcmYcm。

在三角形ABE和三角形CDE中，有:

5.ZABE=ZCDE（同位角）

6.ZAEB=ZCED（对顶角）

7.AE=CE（题目所求）

根据SAS（Side-Angle-Side,边一角-边）全等条件,可以得出三角形ABE和三角

形CDE全等。

因此，CE=BE=4cm0

由于E是AD上的一点，且BE=4cm,所以AE=AL）-BE=6cm-4cm=2cm。

所以，CE=AE=2cm。

解析：

本题主要考查了平行四边形的性质和三角形全等的判定条件。通过证明三角形ABE

和三角形CDE全等，我们得到了CE的长度。注意，这里的关键是要正确应用平行四边

形的性质和三角形全等的条件。

第二题：

已知直线Q/：2x-y+3=。和直线帽z：x+Q-5=0）。

8.求直线（乙）和直线（。）的交点坐标。

9.若有一条垂直于（乙）且通过点（1,4）的直线（/$）,求直线（右）的方程。

答案与解析：

10.求直线u）和直线&）的交点坐标。

首先，我们需要找到这两条直线的交点。这意味着我们要解这个方程组：

[{2x-y+3=0x+2y_5;O\

我们可以通过消元法来解决这个问题。将第一个方程乘以2得到：

[4x-2y^6=0]

然后，将它与第二个方程相加，消去（力：

卜x-4+6+x+2y-5-05x+1=Ox--

将代入任一方程中求（y）。使用（x+2y-5=0）：

12613\

2y-5=02y=—y=—

ODO\

因此，直线（乙）和直线（"）的交点坐标是（（-（，9）。

2.若有一条垂直于（/1）且通过点（1,4）的直线/），求直线。3）的方程。

首先，找出直线（右）的斜率。对于直线（2x-y+3=4,可以重写为从

而得到斜率为2。由于（/»垂直于（乙），那么4）的斜率（为）应为（4）斜率的负倒数，即

NT）。

使用点斜式方程（y-为二成x-七）），其中（（盯,力）=（1,书）以及（加二-g）,我们可以

得到直线(%)的方程:

111v.91

y-4=-,(x-l)y-

所以，直线(打)的方程为(y=-=x+()。

第三题：

在平行四边形ABCD中，E是边AD上的一点，F是边BC上的一点。已知AE=3cm,

BF=4cm,且NBAE=60°,ZABC=45°。求EF的长度。

答案:EF的长度为5cm。

解析：

11.由于ABCD是平行四边形，所以AB〃CD,AD〃BC。

12.因为NBAE=60°,所以NBAE和NABE是三角形ABE的两个内角，它们的和为

180°,所以NABE=180°-60°=120°。

13.由于NABC=45°,且AB〃CD,根据同旁内角互补定理，ZBAC=180°-ZABC=180°

-45°=135°o

14.在三角形ABE中,/ABE和NBAC是两个内角，它们的和为120°+135°=255°,

这超过了180°,说明我们的假设ABE是一个三角形是错误的。因此，AB和BE

不是一条直线。

15.但是，由于ABCD是平行四边形，AB#CD,所以NABC和NADC是同位角，它们相

等，即NADC=45°o

16.由于/ADC=45°,且AD〃BC,根据同旁内角互补定理，NACD=1800-45°二135°。

17.在三角形ACD中,/ACD和NADC是两个内角,它们的和为135°+45°=180°,

符合三角形内角和定理。

18.现在我们知道三角形ACD是一个直角三角形，其中NACD是直角。

19.由于AE=3cm,且NBAE=60°,在直角三角形ABE中，BE是AE的J3倍，所以BE=3

V3cm。

20.同理，由于BF=4cm,且NABC=45°,在直角三角形ABF中，AF是BF的J2倍，

所以AF=4J2cmo

21.由于ABCD是平行四边形，AD二BC,且AD=AE+EF,BC=BF+EF0

22.将AE和BF的长度代入，得到AD=3+EF,BC=4+EF.

23.因为AD=BC,所以3+EFM+EF,从而EF=1cm。

24.由于NABC=45。，ZACD=135°,所以NDCF=180°-ZACD=45°,这意味着三角

形DCF是一个等腰直角三角形。

25.在等腰直角三角形DCF中，CD=DF,且CD=BC-BC=4cni。

26.因此，DF=2cm<>

27.由于AE=3cm,且三角形ACD是直角三角形，AC=AD+CD=3+4=7cmo

28.在直角三角形ACD中，EF是高，它将直角三角形ACD分成两个30°-60°-90°

的直角三角形。

29.在30°-60°-90°的直角三角形中，对边比是1:J3:2,所以EF是AC的一半，

即EF=AC/2=7/2=3.5cm。

30.因此，EF的长度是3.5cm,而不是5cm。

31.重新审视题目和解析，我们发现之前的计算有误。正确的方法是：

•由于ABCD是平行四边形，AB〃CD,AD〃BC,所以NABE=NCDE。

•在直角三角形ABE中，ZBAE=60°,所以AB二AE/J3=3/J3=J3cm。

•在直角三角形ABF中，ZABCM50,所以AB=BF/J2=4/J2=2J2cm。

•因为AB=CD,所以CD=2J2cm。

•在平行四边形ABCD中，对边相等，所以AD=CD=2J2cm。

•因为AD=AE+ED,所以ED=AD-AE=2J2-3cm。

•在直角三角形BEC中，ZBEC=ZABC+ZBAE=45°+60°=105°。

•因为NBEC=105°,所以NBCE=180°-105°=75°。

•在直角三角形BEC中，使用正弦定理计算EF的长度：EF=BEXsinZBEC=BEX

sin75°o

•使用正弦和余弦的和角公式,sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°

+cos45°sin30°=V2/2XV3/2+V2/2X1/2=(V6+V2)/4O

•BE=AB=2J2cm,所以EF=2J2X(J6+J2)/4=(J6+J2)/2cm。

•EF的长度是(J6+J2)/2cm,用小数表示约为1.63299cm。

综上所述，EF的长度约为1.63299cm。但是，这个答案与题目中的答案5cm不符,

可能是题目中的答案有误，或者题目中的信息不足。根据题目给出的信息和标准答案，

我们无法得出EF的长度为5cm的正确结论。

三、解答题(本大题有7小题，第1小题7分，后面每小题8分，共

55分)

第一题

在平面直角坐标系中，已知点A(2,3),B(6,3),C(4,7)。

32.求直线AB的斜率，并判断直线AB与直线CD是否平行(直线CD的方程为y二-lx

+5)0

33.求直线BC的方程，并判断直线BC与直线AC是否垂直。

答案

34.直线AB的斜率为0,因此直线AB是水平的。由于直线CD的斜率为-1,所以直

线AB与直线CD不平行。

35.直线BC的方程为（1）+1）,直线AC的方程为（y=“+根据两直线斜率的

乘积等于T的条件，可以判断直线BC与直线AC垂直。

解析

第一部分：直线AB的斜率与直线AB与直线CD是否平行

首先计算直线AB的斜率。直线AB经过点A（2,3）和点B（6,3）,其斜率（⑨面可以

通过公式（口）来计算：

3-30

〃“小转rr”

斜率为0意味着直线AB是一条水平线。而直线CD的斜率为-1,因为直线CD的方

程为O=x+习。两条直线的斜率相等或一条直线的斜率不存在（即垂直于x轴）时，

它们才可能平行。显然，水平线（斜率为0）与斜率为-1的直线不可能平行。因此，直

线AB与直线CD不平行。

第二部分：直线BC的方程与直线BC与直线AC是否垂直

为了求出直线BC的方程，我们首先利用两点式方程（y-力二〃Kx-3）），其中（/〃）

是斜率，（（勺，力））是直线上的一个点。对于直线BC,它通过点B（6,3）和点C（4,7）o

直线BC的斜率（的c）可以通过以下方式计算：

7-34

陶二三工=-4

使用点B（6,3）和斜行-2,直线BC的方程为：

[y-3=-2{x-6）][y-3=-12\[y--2x+15\

接下来，我们需要检查直线BC与直线AC是否垂直。直线AC的方程为=+

斜率为（3

两条直线垂直的条件是它们的斜率之积等于-1。因此，如果直线BC的斜率（-0

与直线AC的斜率（勺满足这个条件，则这两条直线垂直。

mBCX必C=©=一.

这表明直线BC与直线AC并不垂直。实际上，它们之间的夹角会是钝角而不是直角。

因此，直线BC与直线AC不垂直。

第二题：

己知直线AB和CD相交于点E,且NAEB=90°,ZDEC=90°。若AE=6cm,EB=4cm,

CD=8cm,求证：AB〃CD。

答案：

证明：

36.由于NAEB=90°,根据垂线的性质