初升高数学最值专题三条线段 【教师版】

第3节三条线段之和最值

目标层级图

本节内容：

本节涉及主要板块是三条线段之和最值，包括费马点和将军饮马类问题。

本节属于专题内容，在初三之前己经学过或者接触过，因此，在本节中是作为复习内容进

行讲解，主要讲解费马点的定义和辅助线做法，将军饮马之三角形、四边形周长之和最

小，“造桥选址”类及变式问题，任意三条线段之和最小。

1、费马点中主要是明白一下基础的概念，何为费马点以及费马点的辅助线做法，利用旋

转变换作图，将三条线段转换成一条线段，用“两点之间线段最短”求最值。

2、题型一其最关键的就是做两次对称，然后根据两点之间线段最短求解。例2需要注意

利用给出的线段的值，发现对称之后是一个等边三角形，然后得出我们的角度。对称

的性质有对应的角度、线段相等。

3、题型二注意先平移再利用将军饮马解题，本质还是两点之间线段最短。教师需要自己

先十分熟练两种基本的模型哦。

1

4、题型三也是需要做两次对称，先找到动点所在的直线，然后做定点关于动点所在直线

的对称点，再把两个对称点连接起来，根据两点之间线段最短求解，这个题复杂在于

需要倒角。

课中讲解

--费马点问题

内容讲解

费马，法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明

者之一，费马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点。费尔马的

结论：对于一个各角不超过120。的三角形，费马点是对各边的张角都是120。的

点，对于有一个角超过120。的三角形，费马点就是这个内角的顶点。

卜面简单说明如何找点P使它到AA8C二个顶点的距离之和PA+PB+PC

最小？这就是所谓的费尔马问题。

解析：如图，把A4PC绕A点逆时针旋转60。得到AAPC'，连接PP',

则AAPP为等边三角形，AP=PP,PC=PC,

所以PA+PB+PC=PP+PB+PC。

点C可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60。而得的定点为定长。所以当

B、P、尸、C四点在同一直线上时，?人十尸笈+尸。最小。

这时NBPA=180°-NAPP=180。-60°=120°

ZAPC=ZAPC'=1800-ZAPP=180°-60°=120°

NBPC=360O-NBPA-AAPC=360°-120°-120°=l20°

2

因此，当AA8C的每一个内角都小于120。时，所求的点〃对三角形每边的

张角都是120。，可在49、8c边上分别作120。的弓形弧，两弧在三角形内的交

点就是点P;当有一内角大于或等于120。时，所求的P点就是钝角的顶点。

费马问题-告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问

题的方法是运用旋转变换。

例1.（2016春♦成都校级月考）如图，在RtAABC中，ZC-90°,AC-1,RC=6,EO

为RtAABC内一点，连接40、BO、CO,且NAOC=NCO8=304=120°,按下列要求

画图（保留画图痕迹）：以点8为旋转中心，将A4OB绕点8顺时针方向旋转60。，得到

△（得到A、O的对应点分别为点A'、O）,则乙T8C=—90°—，

<M+Q4+OC=.

A

【分析】(I)先根据三角函数的定义求出NABC的度数，再根据旋转的性质得。4=。4,

B()=BO，BA=BA=2，NOW)=ZAZ<4'=60°,ZB(7A=ZBOA=120°,则

NOM'=ZCZM+Z/VM'=9()0：

(2)先判断ABOO为等边三角形，所以OC7=AO,NBOO=NAOO=60°,再证明点C、

O、。、A共线，从而得到AC=OC+OB+Q4,然后利用勾股定理计算WC即可.

【解答】解：(1)-/ZC=90°,AC=1,BC=6

/.tanZABC=—=—,AB=2,

BC3

1.NA蛇=30°,

•.•将AAO5绕点台顺时针方向旋转60。，得到△408(得到A、O的对应点分别为点/V、

O)，

30=30,BA=BA=2,NO8(7=ZAB4=600,N8OA=/m4=120。，

..N/VHC=NCSA+=300+60°=90。；

(2)-.130=13(7,4M(7=ZAZM，=60°

二.MO。为等边三角形，

..0(7=BO,NA8="00=60°,

3

而NZ?OC=120。，

/.ZC6X7=NBOC+4BOO=6()°+120°=180°,

二点。在直线CO上，

同理可得点。、。、4共线，

:.AC=OC+O(7+(7A!=OC+OB+OA,

NCH4'=NC84+乙短%'=30。+60。=90°,

/.ArC=ylBC2+BA,2=>/7,

即。4+OK+OC=5.

故答案为90。，币.

【点评】本题考杳了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角,

对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到

对应点，顺次连接得出旋转后的图形.解决（2）小题的关键是证明点C、O、。、A

共线.

例2.在A4BC中，ZR4C=60°,AB=2642=4-6，点P为A4BC内一点，连接21,

PBrPC,则Q4+尸3+七的最小值为（）

A

BC

4

A.2x/3-lB.2GC.5D.5-x/3

【分析】将AAB尸绕着点A逆时针旋转60。，得到AAE”，连接EP,CH,过点C作。V_LA〃，

交H4的延长线于N,可证AA"是等边三角形，可得A£=AP=EP,当点”，点E,点

P，点C共线时，E4+依+PC有最小值"C，由勾股定理可求解.

【解答】解：如图，将绕着点A逆时针旋转60。，得到AA£”，连接砂，CH,过点

C作CN_LA”,交的延长线于N,

:.&XBPWMHE,

：.ZBAP=ZHAE,AE=AP,AH=AB=26，N历田=60°,

:.ZHAB=ZEAP=6O0,

.•.A4£P是等边三角形，

.,AE=AP=EP,

AP+BP+PC=PC+EP+EH,

当点H,点E,点P,点C共线时，24+m+月。有最小值”C,

•.•ZCW=180o-ZE4H-Za4C=60°,CNIAN,

NACV=30。，

/.AN=-AC=2-—fCN=6AN=2G-3,

222

/.HN=AH+AN=2V3+2--=2+—,

22

:.CH=JW+HN?=32G-步+(2+孚f=5,

故选：C.

【点评】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股

定理，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三用形是本题的关键.

5

例3.如图①，四边形ABC。是正方形，AA朋是等边三帘形，M为对角线双）（不含8点）

上任意一点，将4"绕点A逆时针旋转60。得到8V,连接&V、AM>CM.

（1）连结“N，是等边三角形吗？为什么？

(2)求证：△AMBWAENB;

（3）①当M点在何处时，AM+CN的值最小；

②如图②，当M点在何处时，/U7+3M+C/W的值最小，请你画出图形，并说明理由.

【分析】（1）根据旋转的性质可得=NMBN=析，再根据有一个角是60。的等腰

三角形是等边三角形证明即可；

（2）根据等边三角形的性质可得=,BM=BN,NABE=NA/4N=60°,再求出

ZABM=4EBN,然后利用“边角边”证明A4A"和AENZ?全等即可；

（3）①根据两点之间线段最短可知A、M、C三点共线时，AA/+CW的值最小，再根据

正方形的性质解答；

②根据全等三角形对应边相等可得人例=£7V,然后求出入“十BW+CV7=EV+MV+CM,

再根据两点之间线段最短证明.

【解答】（1）解：AHA7N是等边三角形.

理由如下：如图①，♦-4用绕点4逆时针旋转60°得到3N,

:.BM=BN,/MBN=3。,

.•.ABMV是等边三角形；

(2)证明：•.•A4BE和都是等边三角形,

:.AB=EB,BM=BN,ZABE=NMBN=3,

ZABE-ZABN=ZMBN-ZABN,

即ZABM=乙EBN,

在和AENB中，

6

AB=EB

NABM=NEBN，

BM=BN

:.MMB^AENB(SAS)；

(3)①由两点之间线段最短可知A、M、C三点共线时，AM+GW的值最小,

四边形人3CQ是正方形，

.•.点M为8。的中点；

②当点M在8与4力的交点时，4W+瓶+CM的值最小，

理由如下：如图②，•.•A4M8主AETM,

,\AM=EN,

MRMN是等功三角形，

BM=MN，

;.AM+BM+CM=EN+MN+CM,

由两点之间线段最短可知，点石、N、M、。在同一直线上时，EN+MN+CM,

故，点M在C石与⑺的交点时，入M+BM+CM的值最小.

B

图①

例4.阅读理解题

(1)阅读理解：如图①，等边A46C内有一点P,若点夕到顶点A,B,C的距离分别为

3,4,5,求NAP8的大小.

思路点拨：考虑到小，PB,PC不在一个二角形中，采用转化与化归的数学思想，可以将

7

AA8P绕顶点A逆时针旋转60。到AACP'处，此时AACP=AA放，这样，就可以利用全等

三角形知识，结合已知条件，将三条线段的长度转化到一个三角形中，从而求出NA相的度

数.请你写出完整的解题过程.

（2）变式拓展：请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：

已知如图②，AA5C中，NC钻=90。，AB=AC,E、/为BC上的点且NE4产=45。，BE=5,

6=4,求EF的大小.

（3）能力提升：如图③，在RtAABC中，NACB=90。，AC=\,NABC=30。，点O为RtAABC

内一点，连接AO,BO,CO,且NAOC=NCO4=N4O4=120。，请直接写出。4+CM+OC

的值，^OA+OB+OC=_y/l

图①图②图③

【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对

应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答.

（2）把AABE绕点A逆时针旋转90°得到A4C£，根据旋转的性质可得*=AE,CE=CE,

NC4£*=NR4E,ZACE=,Z£A£*=90°,再求出NE八尸=45。，从而得到

ZEAF=/EAF,然后利用“边角边”证明AE4尸和△£人尸全等，根据全等三角形对应边

相等可得Eb=£F,再利用勾股定理列式即可解决问题.

（3）将AAO3绕点8顺时针旋转60。至△AO7?处，连接O。，根据直角三角形30。角所对

的直角边等于斜边的一半求出入4=2AC,即43的长，再根据旋转的性质求出是等

边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得40=00,等边三角形三个角都是60。求出

/皮儿7=/反70=60。，然后求出C、。、4、。四点共线，再利用勾股定理列式求出AC,

从而得到O4+O8+OC=AC.

【解答】解：（1）•.•A4C产主AA8P,

AP,=AP=3>CP=BP=4、ZAPC=ZAPB,

由题意知旋转角4%产=60°,

/.△AP/为等边三角形，

PP=AP=3,ZAi=60。，

8

易证户C为直角三角形，且NP产C=90。,

:.ZAPB=ZAP,C=ZAPP+NP/>C=60O+90°=150o;

（2）如图2,把AABE绕点A逆时针旋转90。得到AAC?,

由旋转的性质得，AE,=AE,CE=BE,NCAE=4AE,ZACE=NB,NE4E=900,

vZE4F=45°,

二.NE八尸=ZC4F+Z.CAF=ZBAE+NCAF=ABAC-ZEAF=90°-45°=45°,

：.ZEAF=ZEJAF,

在的b和△EA/?中，

AE=AE'

<ZEAF=ZE'AF,

AF=AF

.•.AEAF二△E/F（SAS）,

：.EF=EF,

•/ZC4B=90°»AB=ACy

.•.N8=NAC3=450，

二.乙ECF=450+45°=90°，

由勾股定理得，EF1=CE2+FC2,

即EL=BE?+FC2,

•.•8£=5,CF=4,

.•.EF=6+42=而.

<3）如图3,将AAO3绕点6顺时针旋转60。至△AO台处，连接OCT,

9

•・•在RtAABC中，ZC=90°,AC=\,ZABC=30°,

：.AB=2,

BC=RAB，-AC?=V22-l2=6,

AAOB绕点3顺时针方向旋转60°,

△/VOB如图所示；

Z/VBC=ZABC+60°=30°+60°=90°,

•.•NC=90。，AC=1,ZABC=30°,

二.AB=2AC=2,

•.•△403绕点8顺时针方向旋转60°,得到△AOB.

：.AB=AB=2,BO=B(7,NO=AO.

:.^BOO是等边三角形，

：.BO=00，^BOO=ZBOO=6CT,

ZAOC=Z.COB=4BOA=120°,

/.々COB+4BOU=/6OA+N80O=120。+60°=180°,

:.C.O、4、。四点共线，

在股中，4c=+4/=J(>/5)2+2?=6,

.•0+08+0。=4。+。。+。。=4。=".

故答案为".

10

过关检测

1.如图，在&43。中，NAC3=90。，点尸为AA3C内一点，连接04、PB、PC,当AC=3,

人3=6时，则以+依+巾的最小值是_3g_.

【分析】以点A为旋转中心，将AABP顺时针旋转60。得到A4AW,连接8N.根据

AA8V都是等边三角形，可得P4+依+PC=CP+QW+MV,最后根据当C、尸、M、N

四点共线时，Q4+m+尸C的值最小，此时ACBV是直角三角形，利川勾股定理即可解决

问题.

［解答］解：如图所示，以点A为旋转中心，将A41出顺时针旋转60°得到MM7V，连接BN.

由旋转可得，/SAMN三丛BP,

:.MN=BP,PA=AM,NB4M=60°=ZBW,AB=AN,

「."AW、AA8N都是等边三角形，

:.PA=PM,

II

:.PA+PB+PC=CP+PM+MN、

当AC=3,人4=6时，BC=30

sinZABC=—,

2

/.ZA/?C=30°,

•.•NA6N=60。，

:"CBN=90。

当C、P、M>N四点共线时，A4+PB+PC的值最小，

最小值=CN=yjBC2+UN2=J27+36=3不，

故答案为：3s.

【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用

这些性质进行推理是本题的关键.

2.如图，已知等腰三角形ABC,CA=CB=6cm,A8=8刖，点。为AABC内

一点（点。不在AV3C边界上）.请你运用图形旋转和“两点之间线段最

短”等数学知识、方法，求出。4+03+0。的最小值为_4后+2后

【分析】以A4为边作等边三角形AA3D,以03为边作等边AOBE.连接CQ

交AB于M点，可证AABO^ADBE,可得AO=DE,则

AO+BO+CO=CO+OE+OE,即当。、E、。、C四点共线时，40+3。+C0

值最小，最小值为C。的长度，根据勾股定理求C。的长度，即可求

Q4+QB+OC的最小值.

【解答】解：如图：以A3为边作等边三角形AA3O,以0B为边作等边

\OBE.连接CO交43于"点.

12

c

D

AAAD和NOBE是等边三角形

：.OE=OB=BE,ZABD=NOBE=60。,AB=BD

ZABO=NDBE且AB=BD,BO=BE

:.MBO=ADBE

：.AO=DE

AO+BO+CO=DE+OE+CO

当。、E、。、。四点共线时，AO+6O+CO值最小，

vAC=BC,AD=BD

「.CO是A8的垂直平分线

/.AB.LCD,AM=MB=4

・.・C4=CB=6,AD=BD=8

CM=2后,MD=4x/3

.•.00=46+26

.•.AO+BO+CO最小值为4百+2后,

故答案为4G+26,

【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，最短珞径

问题，构造等边三角形是解答本题的关键.

3.如图，四边形A3CD是E方形，AA8E是等边三角形，时为对角线8。(不含8点)上任

意、一点,将的1/绕点3逆时针旋转60°得到用V,连接EV、AM.CM.

(1)求证：ZXMB三AENB；

(2)①当M点在何处时，AM+CW的值最小；

13

②当M点在何处时，AW+AM+CM的值最小，并说明理由;

求正方形的边长.

［分析1（1）由题意得MB=NB,NABN=15。，所以NEBN=45。，容易证出AAAZfi=AENB：

（2）①根据“两点之间线段最短”，可得，当M点落在距的中点时，AM+CW的值最小;

②根据“两点之间线段最短”，当M点位于班＞与CE的交点处时，AW+8M+CW的值最

小，即等于EC的长（如图）;

（3）作辅助线，过七点作所J.AC交6的延长线于产，由题意求出NEZ»=30。，设正方

形的边长为X,在RtAEFC中，根据勾股定理求得正方形的边长为及.

【解答】（1）证明：•.•A4BE是等边三角形,

；.BA=BE,ZAB£=60°.

•,ZJWB/V=60°»

AMBN-ZABN=ZABE-ZABN.

即NMBA=NNBE.

乂rMB=NB,

;.MMB^MNB(SAS).

（2）解：①当M点落在8。的中点时，A、M、C三点共线，AM+CW的值最小.②如

图，连接CE,当M点位于与CE的交点处时,

AM+BM+CM的值最小.

理由如下：连接由（1）知,MMB岂\ENB，

.\AM=EN,

•.乙WBN=60°,MB=NB,

14

:.即MN是等边三角形.

/.BM=MN.

:.AM+BM+CM=EN+MN+CM•

根据“两点之间线段最短”可知，若£、N、M、C在同一条直线.上时，M+MN+CM

取得最小值，最小值为EC.

在AABA7和中，

AB=CB

、NABM=NCBM，

I3M=BM

:.^ABM=^CBM,

=4BCM，

NBCM=NBEN,

•：EB=CB,

..•若连接£C，则々£C=4CK,

;"CM=NBCE，ZBEN=ZBEC»

：.MN可以同时在直线上C上.

二.当M点位于班>与。石的交点处时，4W+4W+OW的值最小，即等于EC的长.

(3)解：过E1点作E/_L8C交C△的延长线于产，

NEBF=ZABF-ZABE=90°-60°=30°.

设正方形的边长为X,则8/=正不，EF=]

22

在RtAEFC中，

•・・EF2+FC2=EC2,

•b•(-^)2+(^-X+A')2=(6+1)2•

解得为=&,x2=->/2(舍去负值).

..•正方形的边长为

15

4.如图1,点O是边长为1的等边&4BC内的任一点，设NAOB=a。，NBOC二。。

（1）将ABOC绕点C沿顺时针方向旋转60。得MDC，连结8,如图2所示.求证：。力=".

（2）在（1）的基础上，将AABC绕点。沿顺时针方向旋转60。得AE4C，连结。£,如图3

所示.求证：OA=DE

（3）在（2）的基础上，当。、夕满足什么关系时，点B、O、D、石在同一直线上.并

直接写出AO+BO+CO的最小值.

【分析】（1）根据旋转的性质就可以得出ZZ）OC-60°，OC-CD,进一步可以得出A£>CO

为等边三角形，即可以得出结论；

（2）根据旋转的性质就可以得出AADC三ABOC,AE4C=A4BC,再由全等的性质可以得

出从而就可以得出结论；

（3）根据旋转的性质就可以得出A/VX?三ABOC,/HJtAD^/SABO，就可以得出

Za=Z/?=120°,再利用勾股定理就可以求出结论.

【解答】解：（1）•.•MOC绕点C沿顺时针方向旋转60°得AADC,

..CO=CD,ZZX>C=60o,

.•.△CO£>是等边三角形，

:.DO=CO\

（2）•.•她"绕点C沿Jl|Q时针方向旋转60。得AEDC,AA3C绕点。沿顺时针方向旋转60。

得AEAC,

16

.".AADCsABOC，AE4C兰A48C，

:.A1)=BO,QAC=NOBC，EA=AI3,N£4C=NABC，

「.NE4C-NZMC=ZABC-Z.OBC，

即NDAE=NOBA,

在AE4Z)和AA3O中，

AD=HO

</DAE=NOBA，

AE=BA

：,^EAD=^ABOy

:.OA=DE;

(3)•.•AA8C绕点C沿顺时针方向旋转60°得AE4C,

.\AB=BC=CE=AE,

二.四边形48CE是菱形.

•.•8、。、。、E在同一直线上，

；.B、。、。、£是菱形ABCE的对角线上的点，

/.zSABO=30°.

•.•A4DC=ABOC,A£4C=AABC,

ZADC=Z.BOC=P,^ADE=ZAOB=a,

:"CDE=3"。-a-。.

•.•△COD是正三角形，

ZCOD=ZCDO=60°.

•・•点B、。、。、石在同一直线上，

NBOC=NCDE=120°,

/.ZADC=120°»

.•.ZA£>£=120°,

/.a=/7=120°.

.•.ZZMO=30°.

:.ZBAO=ZABO,

AO=BO,

17

同理可得：AO=CO.

.\AO=HO=CO.

作O尸JLAB于/，设8"=々，则BO=2a,

..々榜=90°,BF=-AB=-t

22

在RtABOF中，由勾股定理，得

75

a=——，

6

BO=­f

3

AO+BO+CO=6,

即47+80+CO的最小值为.

18

二.将军饮马类

内容讲解

题型一：三角形、四边形周长最小

/l

4

分别作点P关于两直线的两点之间线段最短.

对*点P'和户'.连P'P'.PM+MN-PN的母小值为

与两r［线交点即为M,N.线段P‘P''的长.

在真线“、12上分别求点

M、N,使的周长、P”

最小.

vA

分别作点Q、P关于直线

两点之间线段爆短.

1\、12的对称点Q'和P'

乙-----------h四边形PQMN周长的岐小

连0'尸，与两直线交点即

值为线段P'P''的长.

N\l

在直线八、12上分别求点为M,N.j

A/、N、使四边形尸0WNP'

的周长最小.

例1.（2019•郸都区模拟）已知：如图，AABC中，NA=45。，AB=6,AC=4上,点。、

E、厂分别是三边45、BC、C4上的点，则AD所周长的最小值是工叵.

一5一

【分析】如图，作石关于4?的对称点，作石关于AC的对称点N,连接AE,MN,MN

交于D,交AC于尸，作AH_L4c于H,CK±ABTK.由时称性可知：DE=DM,

FE=FN,AE=AM=AN,推出ADEF的周长DE+EF+ED=DW+£＞尸+印，推出当点

石固定时，此时拉圮户的周长最小，再证明AA7N4是等腰直角三角形，推出MN=Jl4E,

推出当AE的值最小时，的值最小，求出AE的最小值即可解决问题；

【解答】解：如图，作£关于的对称点，作石关于AC的对称点N,连接A£,MN,

MN交AB于D,交4。于尸，作AH_LAC于H,CK上AB于K.

19

由对称性可知：DE=DM,FE=FN,AE=AM=AN,

：.ADEF的周长DE+EF+FD=DM+DF+FN,

二.当点E固定时，此时ADM的周长最小，

•.•Zft4C=45。，ZBAE=^BAM，ZCAE=ZCAN,

.•.ZMW=900，

:，入MNA是等腰直角三角形，

:.MN=®AE,

/.当AE的值最小时，MN的值最小，

AC=46,

:.AK=KC=4,

•.八3=6,

：.BK=AB-AK=2,

在RtABKC中，•.•NBKC=90°，BK=2,CK=4,

BC=y]BK2+CK2=2厉,

22

.AH4布

..An=------9

5

根据垂线段最短可知：当AE与AH重合时，AE的值最小，最小值为卫普

二•MV的最小值为坦叵，

5

.••拉无厂的周长的最小值为均叵.

5

故答案为粤.

例2.如图，点〃是N4O8为任怠一点，。。=5cm，点尸与点。关于射线。4对称，点产与

20

点。关于射线OB对称，连接8交。4于点石，交OB于点F,当APE厂的周长是5c%时,

NAOB的度数是30度.

【分析】根据轴对称得出04为尸C的垂直平分线，OA是PD的垂直平分线，根据线段垂直

平分线性质得出^COA=ZAOP=-ZCOP,NPOB=NDOB=L/POD,PE=CE,

22

OP=OC=5cm»PF=FD»OP=OD=5cm，求出△CO/）是等边三角形，即可得出答案.

连接OC，OD,

丁点〃与点C关于射线OA对称，点P与点。关于射线08对称，

.•.Q4为PC的垂直平分线，。心是77)的垂直平分线，

,/OP=5cm，

：.NC0A=ZA()P=1NC0P,NPOB=NDOB=L/POD,PE=CE,OP=OC=5an,

22

PF=FD,OP=OD=5cni,

•.•AZ空尸的周长是5o〃，

PE+EF+PF=CE+EF+FD=CD=5cm,

CD=OD=OD=5cm,

」.△OCQ是等边三角形，

/.ZCOZ)=60°,

21

，ZAOB=AAOP+ZBOP=-4cop+-4D0P=-NCOD=30°,

222

故答案为：30.

例3.如图，在四边形ABCD中，NC=70。，Z^=ZD=9OO>E、/分别是AC、ZX?上的

点，当AAEb的周长最小时，NE4/的度数为()

【分析】据要使AAM的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三功在同一百.线上，作出

A关于3c和8的对称点A,A〃，即可得出N/WE+NA〃=N〃/W=7O。，进而得出

ZAEF+ZAFE=2(ZA4T+ZA,f),即可得出答案.

【解答】解：作A关于3。和8的对称点4,A”,连接AA”,交BC于E,交CD于产，

则4A”即为AAEF的周长最小值.作DA延长线AH,

ZC=70°,

ZZMB=11O°,

.♦・N〃4A=70。，

二Z/VTE+ZA"=ZHAAf=70°,

•Z/iX'A=NE4/r,ZMO=ZA'',

22

...NW+NA''4产=70°,

.•.NBA尸=110°-70°=40%

故选：B.

例4.如图，点尸、。为NMON内两点,分别在0W与。N上找点4、13,使四边形朋B。

的周长最小.

【分析】作点P关于直线。M的对称点P'，作。关于直线ON的对称点。，连接P'0交

0W于A,ON于"，于是得到结论.

【解答】解：作点尸关于直线的对称点P\作。关于直线QN的对称点0,连接〃0

交。W于W,ON千B,

则此时四边形以8。的周爻最小.

例5.如图，已知正方形A”C。边长为3,点E在4?边.上且房=1,点。分别是边8C,

C。的动点（均不与顶点重合），当四边形AEP。的周长取最小值时，四边形AEP。的面积是

9

2-

23

【分析】根据最短路径的求法，先确定点E关于AC的对称点£,再确定点A关于/X7的对

称点4,连接AE即可得出P,。的位置；再根据相似得出相应的线段长从而可求得四边

形AEP。的面积.

【解答】解：如图1所示:

作E关于•BC的对称点点A关于0c的对称点4,连接AE,四边形AEPQ的周长最小,

•.AD=Ar>=3,BE=BEJ=\,

.../W=6,AF=4.

■:DQUAE,。是4r的中点,

，DQ是^AAE的中位线，

.•.DQ=；WCQ=DC-DQ=3-2=\,

•.•4P//A/V,

△AFA,

"二吗即理」333

BP=~,CP=BC-BP=3——=-,

A4fAE64222

S四边形A£7，Q=S正方形AB8~Sz.DQ-S»CQ

24

二9-gAD・DQ-；CQ・CP-；BE・BP

22222

_9

=—・

2

9

故答案为：—.

2

例6.如图，点A(。[)、8(-1,份都在双曲线)，=-3(]<0)上，点尸、。分别是X轴、y轴上

的动点，当四边形P/M。的周长取最小值时，P。所在直线的解析式是()

c.y=x+2D.y=x+3

【分析】先把A点坐标和8点坐标代入反比例函数进行中可确定点A的坐标为(-3』)、B

点坐标为(-1,3),再作A点关于X轴的对称点C,8点关于y轴的对称点O,根据对称

的性质得到C点坐标为(-3,-1),。点坐标为(1,3),C。分别交A•轴、y轴于尸点、Q点，

根据两点之间线段最短得此时四边形PA8Q的周长最小，然后利用待定系数法确定PQ的

解析式.

【解答】解：分别把点4。/)、倒-1,。)代入双曲线)，=-3。<0)得°=-3,b=3,则点A

x

的坐标为(-3,1)、8点坐标为(-1,3),

作A点关于x轴的对称点C,8点关于)，轴的对称点O,所以C点坐标为(-3,-1),。点坐

标为(1,3),

连结8分别交x轴、y轮于P点、Q点,此时四边形力8。的周长最小，

设直线CD的解析式为y=kx+b,

把C(—3,-l),ZXL3)分别代入(

k+b=3

k=\

解得

b-2

25

所以直线C£＞的解析式为y=x+2.

故选：C.

过关检测

1.如图，点尸是NAO8内任意一点，NAQ8=30。，OP=8a〃，点M和点N分别是射线QA

和射线OB上的动点，则MWV周长的最小值是

【分析】设点P关于的对称点为C,关于04的对称点为。，当点、M、N在8上时,

APMN的周长最小.

【解答】解：分别作点P关于Q4、的对称点。、D,连接CO,分别交。4、OB于点、

M.N,连接OP、OC、OD、PM、PN.

点P关于OA的对称点为C,关于OB的对•称点为D,

:.PM=CM,OP=OC,ZCOA=ZPOA；

•.•点P关于OB的对称点为D,

:.PN=DN,OP=OD,NDOB=/POB,

:.OC=OD=OP=8cm,

乙COD=zlCOA+zlPOA十乙POB十/DOB=22尸04+2zlPOB=2ZAOB=60°,

「.△COD是等边三角形，

：.CD=OC=OD=.

/."MN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN..CD=8cm.

故答案为：.

26

B

2.如图，点尸是内任意一点，OP=10an,点。关于射线04对称点为点点尸关

于射线08对称点为点鸟，连接《鸟，交04于点C,交。8于点。，当APCQ的周长是10c〃?

时，NAO8的度数是_30°_.

【分析】根据轴对称得出04为的垂直平分线，03是P6的垂直平分线，根据线段垂直

平分线性质得出ZPiOA=ZAOP=^Z/]OP,ZP,OB=Z.DOB=1ZPOP2,PC=CP,,

OP=OR=lOcm,DR=PD,OP=OP.=IOcm,求出△[O6是等边三角形，即可得出答

【解答】解：连接0P『七

­/点户关于射线04对称点为点片，点〃关于射线。/?中称点为点R,

.•.04为尸[的垂直平分线，是P々的垂直平分线，

/.ZAJO4=ZAOP=；APflP,ZP2OR=Z.DOB=；4POP、,

PC=CPX,0P=0R=10on,DR=PD,OP=OP2=\Ocm,

.•.△AO鸟是等边三角形,

27

NROB=60°,

/.ZAO/?=30°，

故答案为：30。

3.如图，在四边形八8。中，ZC=72°,NB=ND=90°,E,尸分别是。C,4c上的点,

当AA£P的周长最小时，“4尸的度数为_36。_.

【分析】据要使AA£F的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出

A关于5c和8的对称点4,A〃，即可得出N/VV/+NA〃=72。，即可得出答案.

【解答】解：作A关于BC和C/）的对称点A,A',连接AA〃，交BC于E,交.CD十F,

则AA”即为A4E厂的周长最小值.

•••NC=72。，

/.ZZZ4B=108o,

.­.ZA4,F+ZA,,=72O,

\'ZFAA=ZFAA,,AEAD=ZA',

N/=X/T+N4"AE=72。，

.".ZE4E=108°-72°=36°,

故答案为36。.

28

4.如图：要求在《、6上找出"，N两点.使四边形PQNM的周长最小，在图上画出M,

N的位置.（不写画法，保留作图痕迹）

【分析】作出P、Q分别关于关于直线4、4的对称点产，Q'，再连接PQ'，分别与直线

4、/,的交点便为所要求作的M、N点.

【解答】解：①作尸关于4的对称点产，作Q关于4的对称点Q',

②连接产Q',分别交《和4于点M和N点，

则AW+MV+QN=产M+MV+0N=产。的值最小，

此时PQ+PM+MN+QN=PQ+90的值最小，

即四边形PQNM的周长最小.

故上图中的M、N两点就是所要求作的点.

5.如图，已知正方形48CO边长为3，点E在边上且跳：=1,点、P,Q分别

是边3C,CO的动点（均不与顶点重合），则四边形AEPQ的周长的最小值

【分析】根据最短路径的求法，先确定点?关于的对称点E,再确定点A

29

关于。C的对称点A,连接AE即可得出P,。的位置;

【解答】解：如图所示:

作£■关于BC的对称点E,点A关于。。的对称点A,连接AE,四边形AEPQ

的周长最小，

・・・八。=40=3,BE=BE=1,

.W6,AE=4.

4£=府+42=2厢,

二.四边形AEPQ的周长最小值=2+.

6.如图，点4/1)、B(T力)都在双曲线)，=一一"〈0)上，点?、Q分别是x轴、y轴上的动

X

点,当四边形PA8Q的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式为_y=x+l_.

［分析］先把A点坐标和B点坐标代入反比例函数进行中可确定点A的坐标为(-2,1)、B点

坐标为(-1,2),再作A点关于x轴的对称点C，B点关于)，轴的对称点/),根据对称的

性质得到C点坐标为(-2,-1),。点坐标为(1,2),CD分别交x轴、)，轴于2点、。点,

根据两点之间线段最短得此时四边形幺8Q的周长最小，然后利用待定系数法确定PQ的

解析式.

30

7

【解答】解：分别把点4对1)、8(-1向代入双曲线)，=｛得〃=-2,b=2,则点A的坐标

为(-2,1)、A点坐标为(-1,2),

作A点关于x轴的对称点C,8点关于y轴的对称点。.所以C点坐标为(-2,-1),。点坐

标为(L2),

连结8分别交x轴、)，轮于尸点、Q点,此时四边形粗AQ的周长最小，

设直线CD的解析式为y=匕十〃，