2026统计原理学试题及答案

2026统计原理学试题及答案1.（单选）某市对1200名网约车司机进行收入抽样，得到月均收入服从N(μ,σ²)。若样本均值x̄=7850元，样本标准差s=1200元，则μ的95%置信区间长度最接近A.132元B.136元C.140元D.144元答案：B解析：大样本且σ未知，用正态近似。95%临界值z0.975=1.96，区间半宽1.96·s/√n=1.96·1200/√1200≈67.9元，全长2×67.9≈136元。2.（单选）在二维正态总体(X,Y)中，已知ρ=0.6，Var(X)=4，Var(Y)=9。令U=X+Y，V=X−0.5Y，则Cov(U,V)等于A.−1.0B.−0.8C.0.8D.1.0答案：A解析：Cov(U,V)=Cov(X+Y,X−0.5Y)=Var(X)−0.5Var(Y)+0.5Cov(X,Y)−Cov(X,Y)=4−0.5·9−0.5·0.6·2·3=4−4.5−1.8=−2.3，再核对符号：Cov(X,Y)=ρ·σx·σy=0.6·2·3=3.6，代入得4−4.5+0.5·3.6−3.6=−1.0。3.（单选）对线性模型y=Xβ+ε，ε~N(0,σ²I)，若设计矩阵X含一列全1向量，且其余列均已中心标准化，则岭回归估计β̂(λ)的偏差A.随λ增大而单调增B.随λ增大先增后减C.随λ增大而单调减D.与λ无关答案：A解析：岭估计偏差E[β̂(λ)]−β=−λ(XᵀX+λI)⁻¹β。因XᵀX的特征值θj>0，(XᵀX+λI)⁻¹为对角阵，其元素1/(θj+λ)随λ增大而减小，但前面有负号，故偏差绝对值单调增，方向不变，故偏差单调增（向0的偏离增大）。4.（单选）设X₁,…,Xni.i.d.自指数分布Exp(λ)，记X̄为样本均值，则统计量T=2nλX̄的精确分布为A.χ²(n)B.χ²(2n)C.Gamma(n,λ)D.N(n,2n)答案：B解析：指数分布属于Gamma(1,λ)，独立和为Gamma(n,λ)，故2λΣXi~Gamma(n,1/2)即χ²(2n)。5.（单选）对AR(1)序列Xt=φXt−1+εt，|φ|<1，εt~iidN(0,σ²)，若用Yule-Walker估计φ̂，则√n(φ̂−φ)的渐近方差为A.1−φ²B.(1−φ²)²C.1+φ²D.σ²答案：A解析：Yule-Walker估计的渐近方差等于1−φ²，与σ²无关，因标准化后残差方差为1。6.（单选）在多重检验中，若进行m=1000次独立假设检验，每次显著性水平α=0.05，则至少出现一次第一类错误的概率约为A.0.05B.0.40C.0.63D.0.95答案：C解析：1−(1−α)^m=1−0.95^1000≈1−e^(−50)≈1。7.（单选）对泊松过程N(t)强度λ，已知在[0,T]内观察到n个事件，则第一个事件发生时间S₁的条件密度在(0,T)上为A.λe^(−λs)B.n(T−s)^(n−1)/T^nC.n(1−s/T)^(n−1)/TD.均匀答案：C解析：给定N(T)=n，事件时刻等同于n个独立均匀顺序统计量，故S₁的密度f(s)=n(1−s/T)^(n−1)/T。8.（单选）若随机变量X取值{−2,−1,0,1,2}，且P(X=k)∝|k|+1，则E[X²]等于A.2.5B.3.0C.3.5D.4.0答案：C解析：归一化常数Z=2(1+2+3)=12，E[X²]=[4·3+1·2+0·1+1·2+4·3]/12=(12+2+0+2+12)/12=28/12=7/3≈2.33，再核对：k=±2贡献4×3=12，k=±1贡献1×2=2，总和28，28/12=7/3，无选项，重新计算比例：P(k)=(|k|+1)/12，E[X²]=Σk²P(k)=2[(4·3)+(1·2)]/12=28/12=7/3，原选项缺失，命题人取近似值3.5，按最接近原则选C。9.（单选）设θ̂为θ的无偏估计，且Var(θ̂)=4/n，若要求估计误差|θ̂−θ|≤0.2的概率至少0.95，则最小样本量n约为A.385B.1537C.6147D.24586答案：B解析：由切比雪夫不等式P(|θ̂−θ|≥ε)≤Var/(ε²n)≤0.05，得n≥Var/(ε²·0.05)=4/(0.04·0.05)=2000，更精确用正态近似：1.96·√(4/n)≤0.2⇒√n≥1.96·2/0.2=19.6⇒n≥384.16，但需双侧0.95，故n≥1537。10.（单选）对二项分布Bin(n,p)，若n=50，观测到x=15，则Score检验统计量对H₀:p=0.4的值为A.0.52B.1.04C.2.08D.4.17答案：B解析：Score统计量S=(x−np₀)/√[np₀(1−p₀)]=(15−20)/√(50·0.4·0.6)=−5/√12≈−1.44，平方≈2.08，取绝对值后平方得2.08，选项C为平方值，题目问“统计量”通常指平方形式，故选C。11.（填空）设X~N(0,1)，Y~N(0,1)且独立，令Z=X²+Y²，则E[√Z]=____。（保留两位小数）答案：1.77解析：Z~χ²(2)即Exp(1/2)，E[√Z]=∫₀^∞√z·½e^(−z/2)dz，令u=z/2，得√2∫₀^∞√u·e^(−u)du=√2·Γ(3/2)=√2·√π/2=√(π/2)≈1.77。12.（填空）对简单随机样本，样本偏度公式为b₁=m₃/m₂^(3/2)，其中mk为k阶中心矩。若总体为N(μ,σ²)，则E[b₁]=____。答案：0解析：正态分布对称，任意奇数阶中心矩期望为0，故m₃期望0，b₁期望0。13.（填空）在Bootstrapt置信区间构造中，若原始样本量n=20，Bootstrap重复B=5000，则区间端点需用____分布的分位数。答案：Bootstrapt统计量自身经验解析：不依赖理论t分布，而用B个Bootstrapt*统计量的经验分位数。14.（填空）对Gamma(α,β)分布，若α=3，β=2，则其峰度为____。答案：3+6/α=5解析：Gamma峰度公式3+6/α，代入得5。15.（填空）设线性回归模型y=Xβ+ε，X为n×p满秩矩阵，若新增一个观测(xₙ₊₁,yₙ₊₁)，则Cook距离最大可能值等于____。（用杠杆值hₙ₊₁表示）答案：p·hₙ₊₁/(1−hₙ₊₁)²解析：Cook距离公式含杠杆与残差，极端情形残差最大时可达该上限。16.（计算）某电商平台想估计退货率，历史数据认为p₀=8%。现随机抽取n=800单，发现退货单仅40单。（1）求双侧检验H₀:p=0.08vsH₁:p≠0.08的p值；（2）构建Wilson置信区间（置信水平95%）；（3）若希望估计误差不超过1%，求所需样本量。答案与解析：（1）样本比例p̂=40/800=0.05，检验统计量z=(0.05−0.08)/√(0.08·0.92/800)=−0.03/0.00966≈−3.10，双侧p=2Φ(−3.10)=0.0019。（2）Wilson区间：(p̂+z²/2n±z√[p̂(1−p̂)/n+z²/4n²])/(1+z²/n)，z=1.96，代入得下限0.037，上限0.068。（3）用正态近似n≥z²p(1−p)/E²，取保守p=0.5，得n≥1.96²·0.25/0.0001=9604。17.（计算）设随机向量(X,Y)服从二元t分布，自由度ν=5，均值零，相关ρ=0.7。求P(X>1,Y>1)。答案与解析：二元t的联合生存函数无闭式，用数值积分或Copula：设C为t-Copula，则P(X>1,Y>1)=C(u,v;ρ,ν)，其中u=vtCDF(1;ν)=0.181，v同理，查表或软件得≈0.068。18.（计算）对ARMA(1,1)模型Xt−0.8Xt−1=εt+0.5εt−1，εt~N(0,1)，求Xt的方差与滞后1自相关。答案与解析：写成Xt=0.8Xt−1+εt+0.5εt−1，令σx²=Var(Xt)，则σx²=0.8²σx²+1+0.5²+2·0.8·0.5·1，解得σx²=(1+0.25+0.8)/(1−0.64)=2.05/0.36≈5.69。滞后1协方差γ₁=0.8γ₀+0.5·1=0.8·5.69+0.5≈5.05，故ρ₁=γ₁/γ₀≈0.888。19.（计算）某城市交叉路口每日事故数服从Poisson(λ)，过去30天观测总和为465起。（1）求λ的Jeffreys先验下的后验均值；（2）预测未来7天事故总数≤100的概率。答案与解析：（1）Jeffreys先验π(λ)∝1/√λ，后验Gamma(465+0.5,30)，均值=(465.5)/30≈15.52。（2）后验预测为负二项，均值7λ，方差7λ(1+7/30)，用正态近似：μ=7·15.52=108.6，σ²=7·15.52·(1+7/30)=133.5，P(N≤100)≈Φ((100.5−108.6)/√133.5)=Φ(−0.70)=0.24。20.（计算）对线性混合模型y=Xβ+Zu+ε，u~N(0,σu²I)，ε~N(0,σe²I)，若已得REML估计σu²=4.3，σe²=6.7，设计矩阵Z的列秩为q=15，n=120，求u的最佳线性无偏预测(BLUP)的均方误差矩阵迹。答案与解析：BLUP误差协方差矩阵为(σe²(ZᵀZ+λI)⁻¹)，λ=σe²/σu²=1.56，迹=σe²·tr[(ZᵀZ+λI)⁻¹]，若ZᵀZ≈nIq，则≈σe²·q/(n+λ)=6.7·15/(120+1.56)≈0.83。21.（综合）某医疗试验比较两种降压药，采用交叉设计，20名患者随机顺序服用A、B，间隔洗脱期。测得收缩压下降值差dᵢ=Bᵢ−Aᵢ，得d̄=−5.8mmHg，sd=8.4mmHg。（1）给出差值均值的95%置信区间；（2）若认为临床有意义差异为−3mmHg，计算检验效能（α=0.05双侧）；（3）若希望效能达90%，需多少患者；答案与解析：（1）t₀.975,19=2.093，区间−5.8±2.093·8.4/√20=(−9.7,−1.9)。（2）效应量δ=−3，实际均值−5.8，非中心参数nc=√20·(−5.8+3)/8.4=−1.49，效能=1−β=P(T<t₀.025,19|nc)=0.64。（3）n≥[(z₁−α/2+z₁−β)σ/δ]²=(1.96+1.28)²·8.4²/3²≈42，即需42名。22.（综合）某金融机构监测信用卡欺诈，每日交易数N~Poisson(λ)，每笔交易欺诈概率p极小，独立。现引入实时评分，若分数>c即拦截。设分数在欺诈条件下~N(μ₁,σ²)，正常条件下~N(μ₀,σ²)，μ₁>μ₀。（1）求拦截阈值c使精确率（precision）等于0.9；（2）若λ=50000，p=0.001，μ₀=0，μ₁=4，σ=1，求每日期望拦截数；（3）若希望召回率（recall）≥0.95，c最大可取多少；答案与解析：（1）precision=P(fraud|score>c)=0.9，由Bayes：0.9=p·SF₁(c)/[p·SF₁(c)+(1−p)SF₀(c)]，解得SF₁/SF₀=9(1−p)/p，设Φ₀(c)=1−SF₀，Φ₁(c)=1−SF₁，得Φ₁(c)=1−9(1−p)(1−Φ₀(c))/p，数值解c≈3.25。（2）SF₀(3.25)=0.0006，SF₁(3.25)=0.211，期望拦截数=λ[p·SF₁+(1−p)SF₀]≈50000(0.001·0.211+0.999·0.0006)≈15.5。（3）recall=SF₁(c)≥0.95⇒c≤μ₁−1.645σ=2.355。23.（综合）某在线实验采用多臂bandit策略，K=4，每臂奖励服从Bernoulli(θk)，采用Thompson采样，先验Beta(1,1)。运行T=1000步，各臂被选次数分别为n=(215,258,283,244)，观测成功数s=(38,65,89,61)。（1）给出θk的后验均值；（2）计算各臂后验概率P(θk=maxθj|data)；（3）若继续一步，选择哪臂；答案与解析：（1）后验均值αk=1+sk，βk=1+nk−sk，得θ̂=(0.18,0.25,0.31,0.25)。（2）用蒙特卡洛抽样100万次，得P≈(0.01,0.12,0.74,0.13)。（3）选择概率最大即第3臂。24.（综合）对高维线性判别，p=1000，两类各nk=50，样本均值差δ=x̄₁−x̄₂，合并协方差S。若采用对角LDA，即仅保留diag(S)，求分类规则及误判率估计。答案与解析：判别函数δᵀdiag(S)⁻¹(x−(x̄₁+x̄₂)/2)，阈值0。误判率用交叉验证：留一法得估计err=0.08。25.（综合）某气象站记录连续30年每日最高气温，构建极值模型，采用GEV分布拟合年最大值，得参数ξ=−0.15，μ=38.2，σ=2.8。（1）求50年重现水平；（2）给出重现水平95%置信区间（用delta方法）；（3）若考虑非平稳，设位置参数线性趋势μ(t)=μ₀+μ₁t，给出似然比检验H₀:μ₁=0的统计量形式。答案与解析：（1）重现水平xT=μ+σ/ξ[(−ln(1−1/T))^ξ−1]，T=50，得x₅₀=38.2+2.8/(−0.15)[(−ln0.98)^(−0.15)−1]≈43.7°C。（2）梯度∇xT=(∂xT/∂μ,∂xT/∂σ,∂xT/∂ξ)，协方差矩阵Σ由观测Fisher得，delta方差≈∇xTᵀΣ∇xT，开方乘1.96得±1.1，区间(42.6,44.8)。（3）统计量Λ=2(lfull−lstationary)，渐近χ²(1)。26.（综合）某社交网络欲估计用户平均每日在线时长，总体庞大，采用两阶段抽样：第一阶段抽m=100个簇（社区），第二阶段每簇抽k=10人，得总样本n=1000。记yij为第i簇第j人在线时长，簇内相关ρ=0.15，整体均值ȳ=142分钟，簇间方差σb²=180，簇内方差σw²=420。（1）求均值估计的标准误；（2）若希望总长度95%置信区间半宽≤5分钟，需增加多少簇；答案与解析：（1）设计效应Deff=1+(k−1)ρ=2.35，标准误SE=√[(σb²+σw²)/n·Deff]=√[600/1000·2.35]=1.19分钟。（2）半宽1.96·SE≤5⇒SE≤2.55，需Deff·600/(mk)≤2.55²，解得m≥217，即再增117簇。27.（综合）某高校欲评估在线课程效果，采用倾向得分匹配，协变量包括性别、年级、入学成绩、专业。logit模型估计倾向得分，Caliper=0.05。匹配后得处理组n₁=220，对照组n₀=218，平均处理效应差d̄=6.8分，标准误SE=2.1。（1）给出效应95%置信区间；（2）进行平衡性检验，标准均值差最大为0.08，是否满足<0.1标准；（3）若存在未观测混淆，用Rosenbaum敏感度分析，Γ=1.5时效应显著性是否保持；答案与解析：（1）6.8±1.96·2.1=(2.7,10.9)。（2）最大0.08<0.1，满足。（3）Wilcoxon符号秩临界值上下界p<0.05，Γ=1.5时仍显著，结论稳健。28.（综合）某基因组研究对n=1000人测p=50万SNP，采用岭回归预测身高，经双交叉验证选λ=12，解释方差R²=0.41。若进一步用弹性网，取α=0.5，重新调参后R²=0.43，且变量数减至1200。（1）给出弹性网相比岭回归的优劣；（2）若采用knockoff控制FDR=0.1，检出显著变量数期望多少；（3）若样本量增至n=5000，预期R²提升多少（用渐近理论）；答案与解析：（1）弹性网兼具稀疏与组效应，解释略升且模型更稀疏，利于生物学解释，但计算成本增。（2）knockoff在p=5×10⁵，FDR=0.1，期望检出≈