鹰潭市重点中学2026届数学高一上期末统考模拟试题含解析

鹰潭市重点中学2026届数学高一上期末统考模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2．在下列区间中，函数f（x）＝ex+2x﹣5的零点所在的区间为（）A.（﹣1，0） B.（0，1）C.（1，2） D.（2，3）3．若，，则等于（）A. B.C. D.4．已知向量，且，则A. B.C.2 D.-25．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是（）A. B.C. D.6．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（）A.1.012米 B.1.768米C.2.043米 D.2.945米7．已知向量，，，则A. B.C. D.8．已知函数，则下列区间中含有的零点的是（）A. B.C. D.9．若a，b都为正实数且，则的最大值是（）A. B.C. D.10．将的图象向右平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到的图象，则A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，g(x)=x+t，设，若当x为正整数时，恒有h(5)≤h(x)，则实数t的取值范围是_____________.12．，，则_________13．如果在实数运算中定义新运算“”：当时，；当时，．那么函数的零点个数为______14．将函数y=sin2x+π4的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的15．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为________.16．设为三个随机事件，若与互斥，与对立，且，，则_____________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知二次函数满足，且.（1）求函数在区间上的值域；（2）当时，函数与的图像没有公共点，求实数的取值范围.18．已知的顶点、、，试求：（1）求边的中线所在直线方程；（2）求边上的高所在直线的方程.19．在等腰梯形中，已知，，，，动点和分别在线段和上（含端点），且，且（、为常数），设，.（Ⅰ）试用、表示和；（Ⅱ）若，求的最小值.20．已知函数，若函数的图象过点，（1）求的值；（2）若，求实数的取值范围；（3）若函数有两个零点，求实数的取值范围.21．(1)试证明差角的余弦公式：；(2)利用公式推导：①和角的余弦公式，正弦公式，正切公式；②倍角公式，，.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解二次不等式可得：或，据此可知：是的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.2、C【解析】由零点存在性定理即可得出选项.【详解】由函数为连续函数，且，，所以，所以零点所在的区间为，故选：C【点睛】本题主要考查零点存在性定理，在运用零点存在性定理时，函数为连续函数，属于基础题.3、D【解析】根据三角函数的诱导公式即可化简求值.【详解】∵，，，，，.故选：D.4、A【解析】由于两个向量垂直，故有.故选：A5、D【解析】根据三角形函数图像变换和解析式的关系即可求出变换后函数解析式，从而根据余弦函数图像的性质可求其对称轴.【详解】将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则函数解析式变为；向左平移个单位得，由余弦函数的性质可知，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，故对称轴为：，k∈Z，k＝1时，.故选：D.6、B【解析】由题分析出这段弓所在弧长，结合弧长公式求出其所对圆心角，双手之间的距离为其所对弦长【详解】解：由题得：弓所在的弧长为：；所以其所对的圆心角；两手之间的距离故选：B7、D【解析】A项：利用向量的坐标运算以及向量共线的等价条件即可判断.B项：利用向量模的公式即可判断.C项：利用向量的坐标运算求出数量积即可比较大小.D项：利用向量加法的坐标运算即可判断.【详解】A选项：因为，，所以与不共线.B选项：，，显然，不正确.C选项：因为，所以，不正确；D选项：因为，所以，正确；答案为D.【点睛】主要考查向量加、减、数乘、数量积的坐标运算，还有向量模的公式以及向量共线的等价条件的运用.属于基础题.8、C【解析】分析函数的单调性，利用零点存在定理可得出结论.【详解】由于函数为增函数，函数在和上均为增函数，所以，函数在和上均为增函数.对于A选项，当时，，，此时，，所以，函数在上无零点；对于BCD选项，当时，，，由零点存在定理可知，函数的零点在区间内.故选：C.9、D【解析】由基本不等式，结合题中条件，直接求解，即可得出结果.【详解】因为，都为正实数，，所以，当且仅当，即时，取最大值.故选：D10、A【解析】由三角函数图象的平移变换及伸缩变换可得：将的图象所有点的横坐标缩短到原来的倍，再把所得图象向左平移个单位，即可得到的图象，得解【详解】解：将的图象所有点的横坐标缩短到原来的倍得到，再把所得图象向左平移个单位，得到，故选A【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换及伸缩变换，属于简单题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、[-5，-3]【解析】作出的图象，如图，设与的交点横坐标为，则在时，总有，所以当时，有，，由，得；当当时，有，，由，得，综上，，故答案为：.12、【解析】将平方，求出的值，再利用弦化切即可求解.【详解】，，，，，所以，所以.故答案为：13、【解析】化简函数的解析式，解方程，即可得解.【详解】当时，即当时，由，可得；当时，即当时，由，可得（舍）.综上所述，函数的零点个数为.故答案为：.14、f【解析】利用三角函数图象的平移和伸缩变换即可得正确答案.【详解】函数y=sin2x+π得到y=sin再向右平移π4个单位，得到y=故最终所得到的函数解析式为：fx故答案为：fx15、【解析】构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，,则长方体的对角线长等于三棱锥P-ABC外接球的直径，即可求出三棱锥P-ABC外接球的表面积【详解】∵三棱锥P−ABC中,PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=，∴构造长方体,使得面上的对角线长分别为4,5,，则长方体的对角线长等于三棱锥P−ABC外接球的直径.设长方体的棱长分别为x,y,z,则，∴三棱锥P−ABC外接球的直径为，∴三棱锥P−ABC外接球的表面积为.故答案为：26π.【点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.16、【解析】由与对立可求出，再由与互斥，可得求解.【详解】与对立，，与互斥，故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）通过已知得到方程组，解方程组即得二次函数的解析式，再利用二次函数的图象求函数的值域得解；（2）求出，等价于，求出二次函数最小值即得解.【小问1详解】解：设、∴，∴，∴，，又，∴，∴.∵对称轴为直线，，，，∴函数的值域.【小问2详解】解：由（1）可得：∵直线与函数的图像没有公共点∴，当时，∴，∴.18、（1）；（2）.【解析】（1）求出线段的中点坐标，利用两点式方程求出边上的中线所在的直线方程；（2）求出边所在直线的斜率，进而可以求出边上的高所在直线的斜率，利用点斜式求边上的高所在的直线方程【详解】解：（1）线段的中点坐标为所以边上的中线所在直线的方程是：，即；（2）由已知，则边上高的斜率是，边上的高所在直线方程是，即【点睛】本题考查直线的点斜式，两点式求直线的方程，属于基础题19、（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）过点作，交于点，证明出，从而得出，然后利用向量加法的三角形法则可将和用、表示；（Ⅱ）计算出、和的值，由得出，且有，然后利用向量数量积的运算律将表示为以为自变量的二次函数，利用二次函数的基本性质可求出的最小值.【详解】（Ⅰ）如下图所示，过点作，交于点，由于为等腰梯形，则，且，，即，又，所以，四边形为平行四边形，则，所以，为等边三角形，且，，，，；（Ⅱ），，，由题意可知，，由得出，所以，，，令，则函数在区间上单调递减，所以，，因此，的最小值为.【点睛】本题考查利用基底表示向量，同时也考查了平面向量数量积最值的计算，考查运算求解能力，属于中等题.20、(1).(2).(3).【解析】（1）由函数过点，代入函数即可得的值；（2）由可得的取值范围；（3）由函数的大致图象即可得的取值范围.试题解析：（1），，，.（2），，.（3）当时，是减函数，值域为.偶函数，时，是增函数，值域为，函数有两个零点时，.点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解．本题中在结合函数图象分析得基础上还用到了方程根的分布的有关知识21、（1）证明见解析；（2）①答案见解析；②答案见解析【解析】在单位圆里面证明，然后根据诱导公式即可证明和，利用正弦余弦和正切的关系即可证明；用