初中数学分式习题

初中数学分式习题同学们，分式这块内容，在初中数学的知识体系里，算是一个小小的“坎儿”。它不像整式那样直观，运算规则也多了几分讲究。但只要我们把基本概念吃透，掌握好运算的“火候”，再辅以适当的练习，就能轻松迈过这道坎，甚至从中找到解题的乐趣。今天，我们就一起来梳理分式习题的常见类型与解题思路，希望能帮大家巩固所学，提升解题能力。一、温故知新：分式的核心概念与性质点睛在动手做题之前，我们先来快速回顾一下分式的“灵魂”所在，这些是我们解题的“指南针”。1.分式的定义：形如`A/B`(A、B是整式，B中含有字母且B≠0)的式子叫做分式。这里，B≠0是分式有意义的前提，这点在解题中出镜率极高，务必牢记！2.分式的值为零：要使分式的值为零，需同时满足两个条件：分子A=0，且分母B≠0。两者缺一不可，千万别顾此失彼。3.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。这是分式化简、约分、通分的理论基础，如同我们做分数运算时的“等价变形”。二、分式的化简与求值：锤炼运算基本功分式的化简与求值是分式运算的核心题型，也是各类考试的常客。它主要考察我们对分式基本性质的运用以及因式分解能力。（一）分式的约分与通分约分是将分式化为最简分式的过程，通分则是异分母分式加减运算的前奏。两者都依赖于准确的因式分解。例题1：约分化简分式：`(x²-4)/(x²-4x+4)`分析与解答：首先，我们对分子分母分别进行因式分解。分子`x²-4`是平方差形式，可以分解为`(x+2)(x-2)`。分母`x²-4x+4`是完全平方形式，可以分解为`(x-2)²`。于是，原式变为`[(x+2)(x-2)]/[(x-2)²]`。接下来，我们约去分子分母的公因式`(x-2)`（注意，这里隐含着`x-2≠0`，即`x≠2`），得到最简分式`(x+2)/(x-2)`。例题2：通分对分式`1/(x²-1)`和`1/(x²+2x+1)`进行通分。分析与解答：通分的关键是找到最简公分母。先分解分母：`x²-1=(x+1)(x-1)``x²+2x+1=(x+1)²`最简公分母应取各分母所有因式的最高次幂的积，即`(x+1)²(x-1)`。然后，将两个分式分别化为以最简公分母为分母的分式：第一个分式：`1/[(x+1)(x-1)]=[(x+1)]/[(x+1)²(x-1)]`第二个分式：`1/(x+1)²=[(x-1)]/[(x+1)²(x-1)]`（二）分式的四则运算分式的四则运算与分数的四则运算类似，遵循“先乘除，后加减，有括号先算括号里”的顺序。例题3：分式的加减计算：`a/(a-b)+b/(b-a)`分析与解答：观察到两个分式的分母`(a-b)`与`(b-a)`是互为相反数的关系，即`b-a=-(a-b)`。因此，我们可以将第二个分式的分母化为`(a-b)`：`b/(b-a)=-b/(a-b)`。原式变为`a/(a-b)-b/(a-b)=(a-b)/(a-b)=1`（这里同样要求`a≠b`）。例题4：分式的乘除计算：`(x²-9)/(x²+6x+9)÷(x-3)/x`分析与解答：分式的除法可以转化为乘以除数的倒数。首先，分解因式：`x²-9=(x+3)(x-3)``x²+6x+9=(x+3)²`原式可转化为：`[(x+3)(x-3)]/(x+3)²*x/(x-3)`然后，进行约分：分子分母中的`(x+3)`、`(x-3)`可以约去，得到`x/(x+3)`。例题5：分式的混合运算计算：`[1/(x-1)-1/(x+1)]÷x/(x²-1)`分析与解答：这是一道包含括号和除法的混合运算题。第一步，先算括号内的减法：`1/(x-1)-1/(x+1)`。通分，最简公分母是`(x-1)(x+1)`，即`x²-1`。所以，`(x+1-(x-1))/[(x-1)(x+1)]=(x+1-x+1)/(x²-1)=2/(x²-1)`。第二步，将结果除以`x/(x²-1)`，即乘以它的倒数`(x²-1)/x`。于是，`2/(x²-1)*(x²-1)/x=2/x`。（三）分式的化简求值这类题目通常是先将分式进行化简，再代入给定的字母值（或字母间的关系）求出结果。例题6：先化简，再求值：`(1+1/(x-1))÷x/(x²-1)`，其中`x=2`。分析与解答：先化简原式。括号内`1+1/(x-1)=(x-1+1)/(x-1)=x/(x-1)`。然后，除以`x/(x²-1)`等于乘以`(x²-1)/x`，而`x²-1=(x-1)(x+1)`。所以，原式=`x/(x-1)*(x-1)(x+1)/x=x+1`（约分过程中，x≠0,1）。当`x=2`时，原式=`2+1=3`。解题小贴士：*化简求值时，一定要先化简再代入，这样可以大大减少计算量。*代入的数值必须使原分式（包括化简过程中所有出现过的分式）有意义，即分母不为零。三、分式方程的求解与应用：从数学式子到实际问题分式方程是分母中含有未知数的方程。解分式方程的基本思想是“转化”——通过去分母，将其转化为整式方程求解，但必须验根！（一）分式方程的解法例题7：解方程：`2/x=3/(x+1)`分析与解答：第一步，去分母。方程两边同时乘以最简公分母`x(x+1)`，得到：`2(x+1)=3x`。第二步，解这个整式方程：`2x+2=3x`，移项得`x=2`。第三步，验根。将`x=2`代入原方程的分母`x`和`x+1`，分别为2和3，均不为零。所以`x=2`是原方程的根。例题8：解方程：`(x)/(x-2)-1=8/(x²-4)`分析与解答：首先，注意到`x²-4=(x-2)(x+2)`，最简公分母是`(x-2)(x+2)`。方程两边同乘最简公分母：`x(x+2)-(x-2)(x+2)=8`。展开并化简：`x²+2x-(x²-4)=8`→`x²+2x-x²+4=8`→`2x+4=8`→`2x=4`→`x=2`。验根：当`x=2`时，原方程的分母`x-2=0`，`x²-4=0`，分式无意义。因此，`x=2`是原方程的增根，原方程无解。为什么会产生增根？因为在去分母的过程中，我们默认所乘的最简公分母不为零。但当解出的整式方程的根恰好使最简公分母为零时，这个根就不是原分式方程的根，称为增根。所以，验根是解分式方程必不可少的步骤！（二）分式方程的应用分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，关键在于找到等量关系，并用含未知数的分式表示出来。常见的类型有行程问题、工程问题、浓度问题等。例题9（工程问题）：一项工程，甲队单独做需要`a`天完成，乙队单独做需要`b`天完成。如果两队合作，需要多少天完成？若`a=10`，`b=15`，则两队合作需要多少天？分析与解答：设工作总量为单位“1”。甲队的工作效率为`1/a`（每天完成总量的1/a），乙队的工作效率为`1/b`。两队合作的工作效率为`1/a+1/b`。根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，合作需要的天数为`1÷(1/a+1/b)`。化简这个表达式：`1÷[(b+a)/(ab)]=ab/(a+b)`。当`a=10`，`b=15`时，代入得`(10*15)/(10+15)=150/25=6`（天）。答：两队合作需要`ab/(a+b)`天完成；当`a=10`，`b=15`时，需要6天。例题10（行程问题）：小明骑自行车从家到学校，平常速度为每小时`v`千米，需要`t`小时。某天他晚出发了几分钟，为了按时到校，他将速度提高到每小时`(v+2)`千米，结果提前了15分钟到达。求小明家到学校的距离。（用含`v`和`t`的代数式表示）分析与解答：首先，明确几个量：平常速度`v`千米/小时，平常时间`t`小时，所以家到学校的距离`s=v*t`千米。某天速度为`(v+2)`千米/小时，时间比平常少了15分钟，即`15/60=1/4`小时，所以用时为`(t-1/4)`小时。根据距离相等，可列出方程：`v*t=(v+2)(t-1/4)`。虽然题目只要求用含`v`和`t`的代数式表示距离，而距离本身就是`v*t`。但如果我们想通过这个方程找到另一种表达式，也可以尝试展开右边：`vt-v/4+2t-1/2`。左边`vt`等于右边，所以`0=-v/4+2t-1/2`，这个式子可以用来表示`v`和`t`的关系，但题目主要问距离，所以`s=vt`即可。答：小明家到学校的距离为`vt`千米。解应用题的一般步骤：1.审：审清题意，找出已知量、未知量和等量关系。2.设：设适当的未知数（注意单位）。3.列：根据等量关系列出分式方程。4.解：解这个分式方程。5.验：检验（既要检验是否为分式方程的根，也要检验是否符合实际意义）。6.答：写出答案（注意单位）。四、综合演练：挑战与提升分式的知识点常常与整式、因式分解等结合起来考察，形成一些综合性稍强的题目。例题11：已知`1/x-1/y=3`，求代数式`(2x+3xy-2y)/(x-2xy-y)`的值。分析与解答：直接求出`x`和`y`的值比较困难，但我们可以从已知条件`1/x-1/y=3`入手，对其进行变形，找到`x-y`与`xy`的关系。`1/x-1/y=(y-x)/xy=3`，所以`y-x=3xy`，即`x-y=-3xy`。接下来，将所求代数式`(2x+3xy-2y)/(x-2xy-y)`的分子分母进行变形，使其出现`x-y`的形式。分子：`2x-2y+3xy=2(x-y)+3xy`分母：`x-y-2xy`将`x-y=-3xy`代入：分子=`2*(-3xy)+3xy=-6xy+3xy=-3xy`分母=`-3xy-2xy=-5xy`所以，原式=`(-3xy)/(-5xy)=3/5`（这里`xy≠0`，否则已知条件无意义）。五、总结与寄语分式的学习，核心在于理解其概念本质，并熟练运用分式的基本性质进行恒等变形和运算。无论是化简求值还是解分式方程，细心和耐心都是必不可少的。*概念是根基：时刻牢记分式有意义的条件、值为零的条件。*性质是工具：