【初中数学】第十九章二次根式本章综合 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第19章二次根式

计算:解：课前练习（1）

;（2）.（1）（2）计算时，有括号，一定要先去括号！计算：解：（1）;（2）.（1）（2）计算：解：（1）原式

（1）

计算：解：（1）;（2）.（1）（2）;如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p=，那么三角形的面积为a+b+c2abc一、海伦公式注：p也叫半周长例1，在△ABC，BC=4，AC=5，AB=6，用海伦公式求△ABC的面积.ABC如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，那么三角形的面积为abc一、秦九韶公式ABC例2，在△ABC，BC=，AC=，AB=，用秦九韶公式求△ABC的面积.问：可否用海伦公式计算本题？你能够总结出秦九韶公式和海伦公式的应用时如何选择？2．阅读下面的材料[1]△ABC的三边长BC＝a，CA＝b，AB＝c，记p＝，那么△ABC的面积为S△ABC＝．①古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202～约1261），曾提出利用三角形的三[1]：《数学》八年级下册，人民教育出版社，2013年10第1版．a+b+c2边求面积的秦九韶公式S△ABC＝．②根据材料或其他知识解决下列问题．（1）若a＝，b＝，c＝，则S△ABC＝

．（2）用长度为2，3，4，5，6的五根木棒围成一个三角形（允许连接，不允许折断），其最大面积是

．（3）证明：公式①和公式②实质上是同一个公式．abc三、海伦-秦九韶公式拓展如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，如果，那么三角形的面积为秦九韶公式：已知一个三角形的三边长a，b，c，那么这个三角形的面积为S＝已知一个三角形的三边长a，b，c，设p＝，那么这个三角形的面积为S＝．

a+b+c2【阅读】在小学我们就学习了求三角形面积的公式，三角形的面积＝×

底×高，学习了勾股定理和二次根式运算后，我们还有其他方法求三角形面积，这里介绍著名的海伦﹣秦九韶公式．分别是由古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式都可以已知三边求出三角形面积，两个公式分别为：海伦公式:【尝试公式应用】（1）问题：已知一个三角形的三边长分别4，5，6．请选择一个公式求这个三角形的面积．【尝试新方法】尝试用已学过的运算解决下面的问题：（用上面的公式不给分）（2）问题：已知一个△ABC中，AB=，BC=，AC=．求△ABC面积．（温馨提示，解决后在草纸上可以代入一个公式验证你的结论是否正确）CAB考点回顾1.什么是二次根式

一般地，我们把形如

的式子叫做二次根式.“

”称为二次根号.2.二次根式的特征两个必备特征①外貌特征：含有“”②内在特征：被开方数3.二次根式的双重非负性二次根式的双重非负性二次根式的被开方数______二次根式的值______非负非负考点回顾4.二次根式的性质＝a(a≥0).即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.a(a≥0)-a(a＜0)即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.5.二次根式的乘除法法则二次根式相乘，________不变，________相乘.根指数被开方数算术平方根的____等于被开方数______________商商的算术平方根考点回顾6.二次根式的加减法一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.7.二次根式的加减乘除混合运算

二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.考点1识别二次根式2.1、4、6考点2利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围1.当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?解：由x-2≥0，得x≥2.当x≥2时，在实数范围内有意义.2.

解：由题意得x-1＞0，∴x＞1.（2）.解：∵被开方数需大于或等于零，∴x+3≥0，∴x≥-3.∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.∴x≥-3且x≠1.考点3利用二次根式的双重非负性求字母的值若

，求2a-b+3c的值.解：由题意可知a+3=0,b-2=0,c-1=0,解得a=-3,b=2,c=1.所以2a-b+3c=-3×2-2+3×1=-5.已知|3x-y-1|和互为相反数，求x+4y的平方根．解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．解得x=1，y=2．∴x+4y=1+2×4=9，∴x+4y的平方根为±3.已知实数x、y满足等式，求x2-2xy+y2的值.解：由题意得解得：x=3.把x=3,代入得y=-5.所以x2-2xy+y2=(x-y)2=(3+5)2=64.计算：解：考点4利用

的性质进行计算（1）

；

（2）.（1）;（2）解：考点5利用

的性质分解因式在实数范围内分解因式：（1）4x2-5

;

(2)m4-6m2+9.（1）;（2）.解：考点6利用

的性质进行计算化简：（1）;（2）;（3）;（4）.(1);(2);(3);(4).解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，∴原式=|a|-|b|+|a-b|=-a-b-（a-b）=-2a.实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:ab考点7几何图形与

的性质相结合的题目

计算:解:考点8简单的二次根式的乘法运算（1）;（2）.(1);(2).

计算:解:考点9因数不是1二次根式的乘法运算（1）;（2）.(1)(2)

解：方法一：∵，，方法二：∵

，

，考点10二次根式的大小比较比较大小:

与;∴，∴，即.又∵20＜27，又∵20＜27，即.

计算：（1）

；（2）

；（3）

．考点11利用二次根式的乘法法则及逆用计算

解：（1）（2）（3）;;.计算：解:考点12利用二次根式的除法法则计算根号外因数是1的二次根式提示：像（2）中除式是分数或分式时，先要转化为乘法再进行运算.（1）;（2）.（1）（2）解:提示：类似(2)中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.考点13利用二次根式的除法法则计算根号外因数不是1的二次根式计算:（1）;（2）.（1）;（2）解:考点14商的算术平方根的性质的应用化简:（1）;（2）;（1）（2）解:考点15分母有理化总结：分母形如的式子，分子、分母同乘以可使分母不含根号.计算:(1);(2);(3).（2）

（3）

（1）

若最简二次根式与可以合并，求的值.解：由题意得即考点16利用二次根式可以合并的条件求字母的值解得

解：计算:考点17二次根式的加减计算（1）;（3）;（4）.（1）（2）;（2）（3）（4）小结梳理1.本节课的学习，你有哪些收获？2.你还可以利用二次根式解决什么问题？一、教材复习题；作业布置二、拓展题一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴

a＝m2+2n2，b＝2