统计师考试试题及答案

统计师考试试题及答案1.单选题（每题2分，共30分）1.1某省调查总队对120家规模以上工业企业进行月度产值抽样，采用与规模成比例的不放回PPS抽样。若第i企业的产值为X_i，入样概率为π_i，则下列关于Horvitz-Thompson估计量Ŷ_HT=Σ_{i∈s}Y_i/π_i的方差估计量v(Ŷ_HT)的说法，正确的是A.必须已知所有π_ij才能构造无偏估计B.只要样本量n≥2，即可用Yates-Grundy形式构造无偏估计C.若采用Brewer抽样方案，π_ij解析式不存在，故无法估计方差D.若采用Rao-Sampford抽样方案，π_ij无解析式，但可用“去一”刀切法估计方差答案：B解析：Horvitz-Thompson估计量的方差可写成V(Ŷ_HT)=ΣΣΔ_ijY_iY_j，其中Δ_ij=π_ij−π_iπ_j。Yates-Grundy形式v_YG=−½ΣΣΔ_ij(Y_i/π_i−Y_j/π_j)^2仅需样本内π_ij即可计算，且对任意固定样本量n≥2均给出无偏估计。Brewer与Rao-Sampford方案虽π_ij复杂，但仍可用刀切或bootstrap获得一致方差估计，故A、C错；D虽可刀切，却非“无法”解析，表述绝对化，故最优选项为B。1.2对一组右偏的失业持续时间数据（单位：周），下列变换中，最能降低偏度且保持单调性的是A.ln(x)B.√xC.1/xD.x^2答案：A解析：右偏分布常用对数变换压缩大值尾部，偏度下降最显著且保持单调递增。平方根变换效果次之，倒数与平方均破坏单调或加剧偏度。1.3在双侧检验H0:μ=μ0vsH1:μ≠μ0中，若总体标准差σ已知，样本量n=100，显著性水平α=0.05，当真实均值μ1=μ0+0.3σ时，检验功效约为A.0.50B.0.65C.0.80D.0.95答案：C解析：Z检验功效函数Φ(−z_{α/2}+√nδ/σ)+Φ(−z_{α/2}−√nδ/σ)，其中δ=0.3σ，√nδ/σ=3。z_{0.025}=1.96，故功效≈Φ(1.04)+Φ(−4.96)=0.8508+0≈0.85，最接近0.80。1.4对5×4列联表进行独立性卡方检验，若最小期望频数为3.2，则下列说法正确的是A.必须合并行或列才能使用χ²近似B.可用χ²近似，但需做连续性校正C.可直接使用Pearsonχ²，无需校正D.应改用Fisher精确检验答案：C解析：Cochran规则要求所有期望频数≥1且<5的单元格比例不超过20%。本表最小期望3.2>1，且5×4=20个单元格中若仅少数<5，可直接使用Pearsonχ²。连续性校正仅用于2×2表，Fisher精确在期望频数极低时采用，故选C。1.5在简单随机抽样中，若总体大小N=500，样本量n=50，样本均值ȳ=12.4，样本标准差s=3.2，则有限总体修正后的均值标准误为A.3.2/√50B.3.2/√50×√(450/499)C.3.2/√50×√(499/450)D.3.2/√50×√(1−50/500)答案：B解析：有限总体修正fpc=√((N−n)/(N−1))，标准误SE=s/√n×fpc=3.2/√50×√(450/499)。1.6对多元线性模型Y=Xβ+ε，ε~N(0,σ²I)，若X含p=8列，n=120，RSS=360，则σ²的无偏估计为A.360/112B.360/119C.360/120D.360/8答案：B解析：σ²的无偏估计为RSS/(n−p)=360/(120−8)=360/112≈3.214。1.7在指数平滑中，若平滑参数α=0.15，则对无限历史数据，系数衰减至0.5^(k)所需的滞后阶数k约为A.3B.5C.7D.9答案：B解析：指数平滑权重w_k=α(1−α)^{k−1}，令α(1−α)^{k−1}=0.5^k，取对数解得k≈ln(α)/ln(0.5(1−α))≈4.6，取整5。1.8对AR(1)过程X_t=φX_{t−1}+Z_t，Z_t~WN(0,σ²)，若样本自相关ρ̂1=0.68，n=200，则φ的Yule-Walker估计为A.0.68B.0.70C.0.72D.0.74答案：A解析：Yule-Walker方程直接给出φ̂=ρ̂1=0.68。1.9在贝叶斯框架下，若先验θ~N(0,1)，似然x|θ~N(θ,1)，观测x=2，则θ的后验均值为A.0B.0.5C.1D.2答案：C解析：共轭正态，后验均值=(1/(1+1))×0+(1/(1+1))×2=1。1.10对泊松计数数据y=12，使用Jeffreys先验，则θ的95%等尾可信区间为A.6.2–18.8B.6.8–19.4C.7.0–19.8D.7.4–20.2答案：B解析：Jeffreys先验θ^{-½}，后验为Gamma(12+½,1)，即χ²(25)的2θ分布。95%区间对应χ²分位数12.4–40.6，换算θ得6.2–20.3，最接近B。1.11在Bootstrap置信区间构造中，若采用BCa方法，其加速系数a的估计基于A.经验影响函数B.刀切伪值C.自助标准误D.偏差校正因子答案：B解析：BCa的a由刀切伪值的三阶矩估计获得。1.12对高维回归p>n，若使用Lasso，调节参数λ增大时，下列说法正确的是A.偏差减小，方差增大B.偏差增大，方差减小C.偏差与方差均增大D.偏差与方差均减小答案：B解析：λ增大，惩罚加强，模型更简单，偏差增大，方差减小。1.13在系统聚类中，若采用Ward法，合并两类后组内平方和的增加量等于A.两类的重心距离平方乘以合并样本量倒数之和B.两类间欧氏距离平方C.两类间马氏距离D.两类方差之和答案：A解析：Ward准则定义即为ΔESS=(n_An_B)/(n_A+n_B)‖x̄_A−x̄_B‖²。1.14对二分类逻辑回归，若某连续预测变量x的系数β̂=0.8，则x每增加1单位，优势比OR为A.0.8B.1.8C.2.2D.8.0答案：C解析：OR=e^β=e^{0.8}≈2.225。1.15在抽样调查中，若设计效应deff=2.3，则意味着A.复杂抽样方差是简单随机抽样的2.3倍B.样本量需增至2.3倍才能达到SRS精度C.有效样本量降至n/2.3D.以上均正确答案：D解析：设计效应定义即复杂抽样方差与SRS方差之比，故A、B、C均等价正确。2.多选题（每题3分，共30分，每题至少两个正确答案，多选少选均不得分）2.1下列关于非参数核密度估计f̂_h(x)=1/(nh)ΣK((x−X_i)/h)的叙述，正确的有A.当h→0时，估计方差趋于0B.当nh→∞时，估计偏差趋于0C.最优h~n^{−1/5}使AMISE最小D.高斯核的AMISE收敛速度与Epanechnikov核相同阶E.边界修正可采用反射法答案：BCDE解析：h→0时方差→∞，A错；其余均正确。2.2对随机区组设计，若区组数b=8，处理数t=5，每区组每处理1次观测，则下列正确的有A.误差自由度为28B.处理均方期望含σ²+5Στ_j²/(t−1)C.区组均方期望含σ²+tσ_b²D.若区组效应随机，处理检验分母为区组均方E.若区组效应固定，处理检验分母为误差均方答案：ACE解析：总自由度39，区组7，处理4，误差28，A对；处理期望含σ²+bΣτ_j²/(t−1)，B错；区组期望σ²+tσ_b²，C对；随机区组下处理检验仍用误差均方，D错；固定时用误差，E对。2.3下列属于广义线性模型GLM必备要素的有A.随机成分指定指数族分布B.系统成分指定线性预测器C.连接函数单调可微D.方差函数与均值无关E.偏差残差平方和服从χ²答案：ABC解析：GLM三要素为指数族、线性预测器、连接函数；方差函数可依赖均值，D错；偏差残差近似χ²但非“必备”，E错。2.4在生存分析中，关于Cox比例风险模型的假设，正确的有A.基线风险h0(t)可为任意非负函数B.协变量效应乘积于风险C.对时依协变量需构造偏似然D.若比例风险不成立，可引入分层CoxE.偏回归系数估计为偏似然得分方程解答案：ABDE解析：时依协变量仍可用标准偏似然，C表述“需构造”易误解，不选；其余正确。2.5对高维协方差矩阵估计，下列方法中具备稀疏性的有A.硬阈值法B.图形LassoC.Ledoit-Wolf收缩D.因子模型E.带状化估计答案：ABE解析：硬阈值、图形Lasso、带状化均直接引入稀疏；Ledoit-Wolf收缩整体降特征值但非稀疏；因子模型降秩非稀疏。3.计算题（共40分）3.1（10分）某市欲估计2023年第四季度居民线上消费总额。已知全市共有80万户，按简单随机抽样抽取1600户，调查得平均线上消费ȳ=4850元，样本标准差s=2100元。（1）给出总体总量Ŷ的估计并计算其95%置信区间。（2）若要求估计相对误差不超过5%，求所需样本量（假定s不变）。解：（1）总量估计Ŷ=Nȳ=800000×4850=3.88×10¹¹元。标准误SE=N·s/√n·√(1−n/N)=800000×2100/√1600×√(1−1600/800000)=800000×2100/40×√0.998≈4.2×10⁷×0.999≈4.196×10⁷。95%区间：Ŷ±1.96×SE=3.88×10¹¹±8.23×10⁷，即[3.8792×10¹¹,3.8808×10¹¹]元。（2）相对误差5%即绝对误差0.05×4850=242.5元/户。由d=z_{0.975}·s/√n·√(1−n/N)，解n≥(z²s²)/(d²+s²z²/N)=(1.96²×2100²)/(242.5²+1.96²×2100²/800000)≈(4×4.41×10⁶)/(5.88×10⁴+1.08×10²)≈300。故需约300户，原样本已远超，满足。3.2（10分）设X~Poisson(λ)，欲检验H0:λ=3vsH1:λ=5，取拒绝域{X≥c}。（1）求c使第一类错误概率α≈0.05。（2）求该检验在λ=5下的功效。（3）若观测x=8，求p值。解：（1）P(X≥c|λ=3)=1−P(X≤c−1)。查Poisson(3)表：c=7时1−F(6)=1−0.966=0.034；c=6时1−F(5)=0.084。取c=7，α=0.034<0.05，最接近。（2）功效P(X≥7|λ=5)=1−F(6;5)=1−0.762=0.238。（3）p=P(X≥8|λ=3)=1−F(7;3)=1−0.988=0.012。3.3（10分）对线性模型Y=Xβ+ε，ε~N(0,σ²I)，n=30，p=4，RSS=180。（1）给出σ²的无偏估计。（2）若新增一个预测变量，RSS降至160，求调整R²的变化方向与数值。（3）在(2)基础上，用F检验判断新增变量是否显著（α=0.05）。解：（1）σ̂²=RSS/(n−p)=180/26≈6.923。（2）原R²=1−180/SST，新R²=1−160/SST，SST不变，R²增大。调整R²_adj=1−(RSS/(n−p))/(SST/(n−1))。原R²_adj=1−(180/26)/(SST/29)，新R²_adj=1−(160/25)/(SST/29)。由于160/25=6.4<180/26≈6.923，故R²_adj增大。数值需SST，但方向明确向上。（3）F=((180−160)/1)/(160/25)=20/6.4=3.125，F_{0.95}(1,25)=4.24，3.125<4.24，不显著。3.4（10分）某电商对15款商品进行价格弹性实验，记录降价幅度x（%）与销量增长y（%）。数据如下：x:51015202530354045505560657075y:61218232832353840414243444445（1）拟合简单线性回归y=β0+β1x，给出估计方程与R²。（2）检验H0:β1=0.5vsH1:β1≠0.5（α=0.05）。（3）预测x=80时y的95%置信区间。解：（1）经计算：Σx=600,Σy=478,Σx²=28750,Σy²=18204,Σxy=22840,n=15。Sxx=28750−600²/15=28750−24000=4750，Sxy=22840−600×478/15=22840−19120=3720，β̂1=Sxy/Sxx=3720/4750≈0.783，β̂0=ȳ−β̂1x̄=478/15−0.783×40≈31.867−31.32=0.547。方程：ŷ=0.547+0.783x。SST=Σy²−nȳ²=18204−15×(31.867)²≈18204−15228=2976，SSR=β̂1Sxy=0.783×3720≈2913，R²=SSR/SST≈2913/2976≈0.979。（2）σ̂²=(SST−SSR)/(n−2)=(2976−2913)/13≈4.846，se(β̂1)=√(σ̂²/Sxx)=√(4.846/4750)≈0.032。t=(0.783−0.5)/0.032≈8.84，|t|>t_{0.975}(13)=2.160，拒绝H0。（3）x0=80，ŷ0=0.547+0.783×80≈63.19。se(ŷ0)=√σ̂²(1/n+(x0−x̄)²/Sxx)=√4.846(1/15+1600/4750)≈√4.846×0.403≈1.40。95%区间：63.19±2.160×1.40=[60.16,66.22]。4.综合应用题（共50分）4.1（25分）某健康研究院开展高血压干预试验，将8个社区随机分为两组（干预/对照），每社区随机抽取30名成人，记录6个月后收缩压下降值（mmHg）。数据：干预组：社区A–F平均下降8.2,9.1,7.5,8.8,9.5,7.9（每组n=30，组内s²=4.5）对照组：社区G–H平均下降3.4,2.9（n=30，s²=4.0）（1）将社区作为随机效应，拟合两水平模型y_ij=β0+β1trt_i+u_i+ε_ij，其中u_i~N(0,σ_u²)，ε_ij~N(0,σ²)，给出β1的估计与标准误。（2）检验H0:β1=0。（3）估计社区内相关系数ICC。（4）若忽略社区聚类，用两独立样本t检验，求p值并比较（1）之结论。（5）讨论设计效应。解：（1）综合干预组均值ȳ_T=(8.2+9.1+7.5+8.8+9.5+7.9)/6=8.48，对照组ȳ_C=(3.4+2.9)/2=3.15，β̂1=8.48−3.15=5.33。方差：干预组内均值方差Var(ȳ_T)=σ_u²/6+σ²/180，对照组Var(ȳ_C)=σ_u²/2+σ²/60。用组内s²估计σ²≈4.3（加权平均），则Var(β̂1)=Var(ȳ_T)+Var(ȳ_C)=σ_u²/6+4.3/180+σ_u²/2+4.3/60=(2/3)σ_u²+0.0956。需估计σ_u²：用社区间方差，干预组间样本方差s_bT²=0.566，对照组s_bC²=0.125，综合矩估计σ_u²≈0.45。故se(β̂1)=√(2/3×0.45+0.0956)=√0.3956≈0.629。（2）t=5.33/0.629≈8.47，df用Satterthwaite得≈6，p<0.001，显著。（3）ICC=σ_u²/(σ_u²+σ²)=0.45/(0.45+4.3)≈0.095。（4）忽略聚类：合并方差s_p²=4.3，se=√4.3(1/180+1/60)=0.302，t=5.33/0.302≈17.6，p<0.001，结论一致但标准误严重低估。（5）设计效应deff=1+(m−1)ICC≈1+(30−1)×0.095≈3.76，表明聚类使有效样本量降至1/3.76，需增加样本或采用多水平分析。4.2（25分）某银行构建信用卡违约预测模型，抽取10000条样本，其中违约400条。采用逻辑回归、随机森林、XGBoost三种算法，5折交叉验证结果如下：模型|AUC|召回率@0.2|F1@0.2|---|---|---逻辑回归|0.784|0.62|0.51随机森林|0.812