九年级数学上学期练习人教版kv专题1 一元二次方程的特殊解法

第二十一章一元二次方程专题1一元二次方程的特殊解法1温馨提示：点击进入讲评23456781．我们知道可以用公式x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)来分解因式，从而解一元二次方程．(1)方程x2＋6x＋8＝0可分解为____________＝0，方程x2－7x－30＝0可分解为______________＝0．(x＋2)(x＋4)(x－10)(x＋3)(2)爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1的一元二次方程也可以借助此方法求解．如：方程3x2－7x＋2＝0可分解为(x－2)·(3x－1)＝0(如图)，从而可以快速求出方程

的解．

利用此方法解下列方程：①x2－5x＋6＝0；②x2－2x－8＝0；【解】∵x2－5x＋6＝0，∴(x－2)(x－3)＝0.∴x－2＝0或x－3＝0，解得x1＝2，x2＝3.∵x2－2x－8＝0，∴(x＋2)(x－4)＝0.∴x＋2＝0或x－4＝0，解得x1＝－2，x2＝4.③4x2－8x－5＝0．【点方法】能用十字相乘法来分解因式的二次三项式的系数的特点：常数项能分解成两个数的积，二次项系数能分解成两个数的积，且交叉相乘再相加恰好等于一次项的系数．当常数项是正数时，分解的两个数必同号，即都为正或都为负，交叉相乘之和得一次项系数．当常数项是负数时，分解的两个数必异号，交叉相乘之和仍得一次项系数．因此因式分解时不但要注意首尾分解，而且需十分注意一次项的系数，才能保证因式分解的正确性．返回2．解方程：(x－1)2－5(x－1)＋4＝0．解：设x－1＝y，则原方程可化为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x－1＝1，解得x＝2；当y＝4时，x－1＝4，解得x＝5．∴原方程的解为x1＝2，x2＝5．上述解法称为“整体换元法”．请运用“整体换元法”解下列方程：(1)x4－3x2－4＝0；【解】设x2＝y，则原方程可化为y2－3y－4＝0，解得y＝4或y＝－1，当y＝4时，x2＝4，解得x＝±2；当y＝－1时，x2＝－1，此方程无实数解．∴原方程的解为x1＝2，x2＝－2.(2)(x2－2)2－11(x2－2)＋18＝0．返回【点方法】在已知条件或者待求问题中，某个代数式多次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元．返回4．阅读下面的例题：解方程：x2－|x|－2＝0．解：①当x≥0时，原方程可化为x2－x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－1(不符合题意，舍去)；②当x＜0时，原方程可化为x2＋x－2＝0，解得x3＝1(不符合题意，舍去)，x4＝－2．综上，原方程的解是x＝2或x＝－2．请参照例题解方程：x2－|x－3|－3＝0．返回【解】①当x≥3时，原方程可化为x2－(x－3)－3＝0，即

x2－x＝0，解得x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝1(不合题意，舍去)；②当x＜3时，原方程可化为x2＋x－3－3＝0，即x2＋x－6＝0，解得x3＝－3，x4＝2.综上，原方程的解是x＝－3或x＝2.2y2－3y＋1＝0返回6．我国古代数学家赵爽在《勾股圆方图注》中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的方法．例如，求方程x2＋2x＝35正根的方法：如图，构造出4个长为(x＋2)，宽为x的矩形，围成一个边长为(x＋2＋x)的大正方形，∴S1＝S2＝S3＝S4＝(x＋2)×x，S5＝22，得到大正方形的面积为4×x(x＋2)＋22＝4×35＋4＝144，∴大正方形的边长为12，即x＋2＋x＝12，∴x＝5．(1)请利用上面方法画出图形，求出方程x2＋4x－15＝0的

正根；返回((2)你能否用几何法求方程m2－2m－5＝0的正根，如果能，请直接画出图形，并标注相关信息；如果不能，请说明理由．【解】能．图形及标注如图②.7．阅读下面的内容，按要求回答问题：已知方程①x2－1＝0的两根是x1＝1，x2＝－1；方程②x2＋x－2＝0的两根是x1＝1，x2＝－2；方程③x2＋2x－3＝0的两根是x1＝1，x2＝－3；方程④x2＋3x－4＝0的两根是x1＝1，x2＝－4．(1)请用适当的方法求方程x2＋4x－5＝0的两根；【解】∵x2＋4x－5＝0，∴(x－1)(x＋5)＝0.∴x1＝1，x2＝－5.(2)观察上面几个方程的根的特点，直接写出方程x2＋

2024x－2025＝0的两根是x1＝________，x2＝________，并验证你的结果；1－2025【解】验证：∵当x＝1时，左边＝12＋2024×1－2025＝0＝右边，当x＝－2025时，左边＝(－2025)2＋2024×(－2025)－2025＝0＝右边，∴方程的根是x1＝1，x2＝－2025.返回(3)关于x的方程x2＋(n－1)x－n＝0的两根是x1＝________，x2＝________．1－n8．我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想我们还可以解一些新的方程．例如：一元三次方程x3＋x2－2x＝0，可以通过因式分解把