小学奥数极值问题专项训练

小学奥数极值问题专项训练在小学奥数的世界里，极值问题犹如一颗璀璨的明珠，它不仅考验孩子们的计算能力，更重要的是培养其逻辑思维、分析问题和解决问题的能力。所谓“极值”，就是寻求某个量在一定条件下的最大值或最小值。这类问题贴近生活，趣味性强，往往没有固定的解题模式，需要孩子们跳出常规思维的框架，灵活运用所学知识，才能找到巧妙的解法。本文将带你深入探索小学奥数中极值问题的常见类型与解题策略，希望能为孩子们的奥数学习提供一些有益的启发。一、从“最不利”到“最有利”：极端化思想的妙用在解决极值问题时，一种非常有效的思路就是从极端情况出发去考虑问题。这种思想方法能帮助我们快速抓住问题的本质，找到突破口。1.1“最不利原则”——求解“至少”型问题的利器当题目中出现“至少……才能保证……”这样的表述时，我们往往需要运用“最不利原则”。它的核心思想是：为了保证某个目标的实现，我们要先考虑在最糟糕、最不利于目标实现的情况下，需要付出多少努力，然后在此基础上再增加一点点，就能确保目标一定实现。比如，我们常遇到的摸球问题：一个不透明的袋子里装有多种颜色的球，问至少要摸出几个球，才能保证一定有两个颜色相同的球？这时，我们就要考虑最不利的情况——先把每种颜色的球都摸出了1个，那么再摸出1个，无论是什么颜色，都能保证有两个颜色相同的球了。举例说明：一个袋子里有红色、黄色、蓝色的小球各若干个，现在要从袋子里摸球，每次只能摸一个。问：至少要摸出多少个球，才能保证其中一定有两个球的颜色是相同的？分析与解答：这里有红、黄、蓝三种颜色。最不利的情况是什么呢？就是我们摸出的球，每种颜色都只摸到了1个。那么，摸出1个红色、1个黄色、1个蓝色，一共是3个球。接下来，我们再摸出第4个球，不管这个球是什么颜色（红色、黄色或者蓝色），它都会和前面3个球中的某一个颜色相同。所以，至少要摸出4个球，才能保证其中一定有两个球的颜色是相同的。掌握了最不利原则，就能轻松应对许多“至少”型的极值问题。关键在于准确判断“最不利”的情形究竟是什么，把所有可能阻碍目标实现的情况都考虑到。1.2“极端取值”——探索变量变化的边界有些问题中，涉及到多个变量，我们需要通过分析变量的变化范围，取其极端值（最大值或最小值）来找到问题的最优解。这种方法常常需要结合生活常识或简单的数学推理。比如，用一根固定长度的绳子围成一个长方形，怎样围才能使长方形的面积最大？我们知道长方形的周长等于（长+宽）×2，当周长固定时，长和宽的和也就固定了。这时，我们可以尝试取不同的长和宽进行计算，会发现当长和宽相等（即围成正方形）时，面积是最大的。这就是通过极端取值和尝试发现的规律。二、“和定积最大”与“积定和最小”——经典的最值模型在小学奥数中，有两个非常重要的结论，它们在解决与周长、面积相关的极值问题时非常有用，那就是“和定积最大”与“积定和最小”。2.1和定积最大当几个数的和是一个固定不变的常数（即“和定”）时，这几个数越接近（如果要求是整数，则越接近越好；如果可以是小数，则相等时），它们的乘积就越大。最常见的例子就是前面提到的，周长一定的长方形，长和宽相等时（正方形）面积最大。举例说明：用一根长20厘米的铁丝围成一个长方形（长和宽都是整厘米数），怎样围才能使长方形的面积最大？最大面积是多少？分析与解答：长方形的周长是20厘米，那么长与宽的和就是20÷2=10厘米。我们需要找出长和宽都是整数，且和为10厘米的情况下，哪一组的乘积（面积）最大。可能的组合有：1厘米和9厘米，面积是1×9=9平方厘米；2厘米和8厘米，面积是2×8=16平方厘米；3厘米和7厘米，面积是3×7=21平方厘米；4厘米和6厘米，面积是4×6=24平方厘米；5厘米和5厘米，面积是5×5=25平方厘米。可以看出，当长和宽都是5厘米（即正方形）时，面积最大，为25平方厘米。这正是“和定积最大”规律的体现，当两个数的和一定时，它们相等时乘积最大。2.2积定和最小与“和定积最大”相对应的是“积定和最小”。当几个数的乘积是一个固定不变的常数（即“积定”）时，这几个数越接近（如果要求是整数，则越接近越好；如果可以是小数，则相等时），它们的和就越小。例如，面积相等的长方形中，正方形的周长最小。举例说明：一个长方形的面积是16平方厘米，且长和宽都是整厘米数。这个长方形的周长最小是多少厘米？分析与解答：长方形的面积是16平方厘米，我们需要找出长和宽都是整数，且乘积为16平方厘米的情况下，哪一组的和（长+宽）最小，从而周长（2×(长+宽)）也最小。可能的组合有：1厘米和16厘米，长+宽=17厘米，周长=34厘米；2厘米和8厘米，长+宽=10厘米，周长=20厘米；4厘米和4厘米，长+宽=8厘米，周长=16厘米。可以看出，当长和宽都是4厘米（即正方形）时，长与宽的和最小，周长也最小，为16厘米。这体现了“积定和最小”的规律，当两个数的乘积一定时，它们相等时和最小。这两个经典模型在解决很多极值问题时都能派上用场，关键在于识别出题目中的“和定”或“积定”条件。三、枚举与比较——朴实有效的解题策略对于一些条件相对简单，可能的情况数量不多的极值问题，枚举法是一种非常直接且有效的方法。通过将所有可能的情况一一列举出来，然后进行比较，就能很容易地找到最大值或最小值。举例说明：一个两位数，十位数字与个位数字的和是8，这个两位数最大是多少？最小是多少？分析与解答：这个问题中，两位数的十位数字和个位数字之和固定为8。我们可以将所有满足条件的两位数都列举出来，然后比较大小。十位数字可以从1到8（因为十位数字不能为0，且和为8，十位数字最大为8）：当十位数字是1时，个位数字是7，这个数是17；当十位数字是2时，个位数字是6，这个数是26；当十位数字是3时，个位数字是5，这个数是35；当十位数字是4时，个位数字是4，这个数是44；当十位数字是5时，个位数字是3，这个数是53；当十位数字是6时，个位数字是2，这个数是62；当十位数字是7时，个位数字是1，这个数是71；当十位数字是8时，个位数字是0，这个数是80。将这些数进行比较：17<26<35<44<53<62<71<80。所以，这个两位数最大是80，最小是17。枚举法虽然看似朴实，但在很多时候却非常管用。不过，使用枚举法时要注意按照一定的顺序进行，避免重复或遗漏。同时，如果可能的情况太多，枚举法就会显得繁琐，这时就需要结合其他更巧妙的方法了。四、结合实际情境——极值问题的生活化应用很多极值问题都来源于生活，解决这类问题不仅能锻炼数学思维，还能提高运用数学知识解决实际问题的能力。举例说明：某商店准备用不多于300元的资金购买单价分别为20元、30元的两种商品A和B，且A商品至少买2件，B商品至少买1件。问：有多少种不同的购买方案？哪种方案购买的商品总数最多？分析与解答：设购买A商品x件，购买B商品y件。根据题意，我们可以列出以下不等式组：20x+30y≤300（总资金不多于300元）x≥2（A商品至少买2件）y≥1（B商品至少买1件）x、y均为正整数。我们可以先对第一个不等式进行化简：2x+3y≤30。然后，我们可以固定y的值（从1开始），求出x的可能取值范围。当y=1时，2x+3×1≤30→2x≤27→x≤13.5，因为x为整数且x≥2，所以x可以取2,3,...,13，共12种方案。此时商品总数为x+1，当x最大时总数最多，即x=13时，总数14。当y=2时，2x+3×2≤30→2x≤24→x≤12，x≥2，所以x可以取2,3,...,12，共11种方案。商品总数为x+2，x=12时总数14。当y=3时，2x+9≤30→2x≤21→x≤10.5，x≥2，x可取2,...,10，共9种方案。总数x+3，x=10时总数13。当y=4时，2x+12≤30→2x≤18→x≤9，x≥2，x可取2,...,9，共8种方案。总数x+4，x=9时总数13。当y=5时，2x+15≤30→2x≤15→x≤7.5，x≥2，x可取2,...,7，共6种方案。总数x+5，x=7时总数12。当y=6时，2x+18≤30→2x≤12→x≤6，x≥2，x可取2,...,6，共5种方案。总数x+6，x=6时总数12。当y=7时，2x+21≤30→2x≤9→x≤4.5，x≥2，x可取2,3,4，共3种方案。总数x+7，x=4时总数11。当y=8时，2x+24≤30→2x≤6→x≤3，x≥2，x可取2,3，共2种方案。总数x+8，x=3时总数11。当y=9时，2x+27≤30→2x≤3→x≤1.5，与x≥2矛盾，故无方案。综上，总方案数需要将各y值对应的方案数相加（这里略去具体求和，重点在极值）。而购买商品总数最多的方案是当y=1,x=13或y=2,x=12时，总数均为14件。通过这个例子可以看出，解决实际情境中的极值问题，需要先将文字信息转化为数学表达式（如不等式、方程），然后根据条件进行分析和求解，最后还要回到实际情境中去检验答案的合理性。五、专项训练建议要熟练掌握极值问题的解题技巧，仅仅理解方法是不够的，还需要进行大量的专项训练。在训练过程中，建议注意以下几点：1.夯实基础，理解概念：极值问题往往涉及到数的大小比较、四则运算等基础知识，要确保这些基础扎实。2.多思多想，总结规律：每做完一道题，不要仅仅满足于得到答案，还要思考是否有其他解法，哪种方法更优，从中总结出解题的规律和技巧。3.灵活运用，举一反三：极值问题的形式多样，要学会将学到的方法灵活运用到不同的题目中，做到举一反三。4.从生活中来，到生活中去：留意生活中的极值问题，尝试用所学知识去解决，感受数