高中数学必修三函数复习资料集

高中数学必修三函数复习资料集同学们，函数是高中数学的核心内容，贯穿于整个高中数学的学习过程，也是后续学习高等数学的重要基础。必修三的函数部分，为我们打开了探索变量之间依赖关系的大门。这份复习资料集旨在帮助大家系统梳理这部分知识，巩固基础，提升能力，希望能为大家的复习之路提供一些助力。一、函数的基本概念与表示（一）函数的定义在一个变化过程中，我们关注两个变量，设为x和y。如果对于x的每一个确定的值，按照某个对应关系f，y都有唯一确定的值与之对应，那么就称y是x的函数，记作y=f(x)。其中，x称为自变量，y称为因变量。x的取值范围叫做函数的定义域，与x对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。理解要点：*核心：两个非空数集间的一种确定的对应关系，强调“每一个”自变量x都有“唯一”的函数值y与之对应。*三要素：定义域、对应关系、值域。其中，定义域和对应关系是决定因素，值域由定义域和对应关系共同确定。（二）函数的定义域定义域是函数的“灵魂”，研究函数必须首先考虑定义域。常见基本初等函数的定义域：*整式函数（如一次函数、二次函数等）：定义域为全体实数。*分式函数：分母不为零。*偶次根式函数：被开方数非负。*对数函数：真数大于零，底数大于零且不等于1。定义域的求解原则：1.若函数由解析式给出，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合。2.若函数涉及实际问题，其定义域还需考虑实际意义。3.若函数是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的自变量的取值集合（即各部分定义域的交集）。（三）函数的表示方法函数的表示方法主要有三种：解析法、列表法和图像法。*解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。优点是简洁、准确，便于进行理论分析和运算。*列表法：通过列出表格来表示两个变量之间的对应关系。优点是直观、明了，便于查找特定自变量对应的函数值。*图像法：用图像表示两个变量之间的对应关系。优点是形象、直观，能清晰地反映函数的变化趋势和某些性质。分段函数：在定义域的不同区间上，对应关系用不同解析式表示的函数称为分段函数。分段函数是一个函数，而非多个函数，其图像可能由几段不同的曲线或直线组成。处理分段函数问题时，要注意在不同定义域区间上分别进行讨论。二、函数的基本性质函数的性质是描述函数行为特征的重要方面，掌握这些性质有助于我们更深入地理解函数。（一）单调性定义：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x₁，x₂：*当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂)，那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数；*当x₁<x₂时，都有f(x₁)>f(x₂)，那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。判断方法：1.定义法：取值、作差（或作商）、变形、定号、下结论。2.图像法：观察函数图像在某区间上是上升的（增函数）还是下降的（减函数）。3.复合函数单调性：“同增异减”（此部分在必修三可能涉及较少，可作为拓展了解）。几何意义：函数的单调性反映在图像上，就是函数图像在单调递增区间上从左到右是上升的，在单调递减区间上从左到右是下降的。（二）奇偶性定义：设函数y=f(x)的定义域为D，如果对于定义域D内的任意一个x，都有-x∈D，且：*f(-x)=f(x)，那么函数y=f(x)就叫做偶函数；*f(-x)=-f(x)，那么函数y=f(x)就叫做奇函数。判断步骤：1.首先判断函数的定义域是否关于原点对称。若不对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数。2.若定义域对称，再判断f(-x)与f(x)的关系。图像特征：*偶函数的图像关于y轴对称。*奇函数的图像关于原点对称。重要结论：*既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式只能是f(x)=0，且定义域关于原点对称。*奇函数若在x=0处有定义，则f(0)=0。三、基本初等函数必修三涉及的基本初等函数主要包括指数函数、对数函数和幂函数。（一）指数函数定义：一般地，函数y=aˣ(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。图像与性质：*底数a的影响：*当a>1时，函数在R上是增函数；图像经过点(0,1)和(1,a)；当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1。*当0<a<1时，函数在R上是减函数；图像经过点(0,1)和(1,a)；当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1。*共性：定义域为R；值域为(0,+∞)；图像都过定点(0,1)；函数值恒大于0。指数幂的运算性质：(此部分是学习指数函数的基础，需熟练掌握)*aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ*(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ*(ab)ⁿ=aⁿbⁿ(其中a>0,b>0,m,n∈R)（二）对数函数定义：一般地，函数y=logₐx(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0,+∞)。图像与性质：*底数a的影响：*当a>1时，函数在(0,+∞)上是增函数；图像经过点(1,0)和(a,1)；当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0。*当0<a<1时，函数在(0,+∞)上是减函数；图像经过点(1,0)和(a,1)；当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0。*共性：定义域为(0,+∞)；值域为R；图像都过定点(1,0)。对数的运算性质：(此部分是学习对数函数的基础，需熟练掌握)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：*logₐ(M·N)=logₐM+logₐN*logₐ(M/N)=logₐM-logₐN*logₐMⁿ=nlogₐM(n∈R)*换底公式：log_bN=logₐN/logₐb(a>0,a≠1,b>0,b≠1,N>0)常用推论：log_ba=1/logₐb，log_{aⁿ}bᵐ=(m/n)logₐb。指数函数与对数函数的关系：指数函数y=aˣ(a>0,a≠1)与对数函数y=logₐx(a>0,a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称。（三）幂函数定义：一般地，形如y=xᵃ(a为常数)的函数，叫做幂函数。其中x是自变量，a是常数。图像与性质（以常见幂函数为例）：我们主要研究a=1,2,3,-1,1/2等几种常见幂函数的图像和性质。*共性：所有幂函数都过点(1,1)。*个性（因a而异）：*定义域、值域：随a的不同而不同。例如，y=x²的定义域为R，值域为[0,+∞)；y=x⁻¹的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}；y=x^(1/2)的定义域为[0,+∞)，值域为[0,+∞)。*单调性：例如，y=x在R上单调递增；y=x²在(-∞,0]上单调递减，在[0,+∞)上单调递增；y=x⁻¹在(-∞,0)和(0,+∞)上分别单调递减。*奇偶性：例如，y=x,y=x³是奇函数；y=x²是偶函数；y=x^(1/2)既不是奇函数也不是偶函数。图像特征：幂函数的图像形状与其指数a密切相关，需要结合具体的a值来分析，重点掌握上述几种常见幂函数的图像。四、函数的应用函数的应用主要体现在利用函数知识解决实际问题，以及运用函数思想分析和解决数学问题。（一）函数模型的构建与应用在解决实际问题时，常常需要通过分析问题情境，抽象出变量之间的关系，建立函数模型，然后利用函数的性质求解，并对结果进行检验和解释。常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型和幂函数模型等。步骤：审题→设元→建立函数关系（模型）→求解函数模型→检验结果→作答。（二）函数与方程（初步）函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标。判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点，可以利用函数的单调性和零点存在性定理（如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点）。五、函数思想与方法总结1.数形结合思想：这是学习函数最重要的思想方法。函数的图像能够直观地反映函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质。在解题时，要养成画图、识图、用图的习惯，将抽象的代数问题与直观的几何图形结合起来。2.分类讨论思想：当问题中含有参数（如指数函数、对数函数的底数a），或在不同条件下函数有不同表达式（如分段函数），或函数性质随自变量取值范围变化时，需要进行分类讨论。3.转化与化归思想：将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转化为已知问题。例如，利用指数与对数的互化解决相关方程或不等式问题。4.配方法：在研究二次函数的最值、单调性等问题时，配方法是常用的手段。5.定义法：利用函数单调性、奇偶性等定义来判断、证明函数的性质，是最根本的方法。六、复习建议1.回归课本，夯实基础：认真回顾教材中的定义、定理、公式和例题，确保对基础知识的理解准确无误。2.梳理知识网络：将零散的知识点串联起来，形成系统的知识结构，如函数的定义、性质、图像、常见函数模型及其应用等。3.重视错题，查漏补缺：整理错题本，分析错误原因，及时弥补知识漏洞和思维缺陷。4.适度练习，注