中考几何模型专题预测试题集

中考几何模型专题预测试题集几何是中考数学的重要组成部分，而几何模型则是解开复杂几何题的"金钥匙"。熟练掌握各类几何模型，能帮助同学们在考场上快速识别图形特征，找到解题突破口，从而高效准确地完成答题。本专题预测试题集，精选中考高频几何模型，通过典型例题解析与预测性练习，助力同学们深化理解，提升解题能力。一、一线三垂直模型一线三垂直模型，又称"K"型图，是中考几何中极为常见的模型，常与直角三角形、全等三角形、相似三角形等知识点结合考查，尤其在坐标系背景下的几何问题中应用广泛。核心结构特征一条直线上有三个直角顶点，形成三个两两垂直的直角边，通常包含两个全等或相似的直角三角形。其核心在于利用直角相等以及同角（或等角）的余角相等来构造相等的角，从而为全等或相似提供条件。主要结论与常用辅助线1.全等型：当三个垂直关系中，有两组对应直角边相等时，可证得两个直角三角形全等。2.相似型：当三个垂直关系中，直角边对应成比例时，可证得两个直角三角形相似。3.辅助线：当图形中未直接呈现完整的一线三垂直结构时，常通过作垂线（通常是向这条"一线"作垂线）来补全模型。典型例题精讲例题1：如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,0)，点B在y轴正半轴上，且AB=2。点C在直线x=2上，若∠ABC=90°，求点C的坐标。分析：此题背景是坐标系，出现了直角∠ABC，点C在定直线x=2上。我们可以尝试构造一线三垂直模型来解决。已知点A在x轴，点B在y轴，点C在直线x=2上，这三个点的位置特征为构造垂线提供了便利。解析：过点C作CD⊥y轴于点D。因为点C在直线x=2上，所以CD的长度即为点C的横坐标的绝对值，即CD=2。已知点A(1,0)，设点B(0,b)，其中b>0。则OA=1，OB=b。因为∠ABC=90°，所以∠ABO+∠CBD=90°。在Rt△ABO中，∠ABO+∠BAO=90°，故∠BAO=∠CBD。又因为∠AOB=∠BDC=90°，所以△ABO∽△BCD（AA相似）。根据相似三角形对应边成比例，有：OA/BD=OB/CD。即1/(b-OD)=b/2。这里需要注意，点D的纵坐标与点C相同，设点C(2,c)，则OD=|c|。由于点B在y轴正半轴，若点C在第一象限，则OD=c，BD=b-c；若点C在第四象限，则BD=b+|c|。我们先假设点C在第一象限，则BD=b-c。所以1/(b-c)=b/2，即b(b-c)=2。①在Rt△ABO中，由勾股定理得：OA²+OB²=AB²，即1²+b²=2²，解得b²=3，因为b>0，所以b=√3。将b=√3代入①式：√3(√3-c)=2→3-√3c=2→√3c=1→c=1/√3=√3/3。所以点C的坐标为(2,√3/3)。（思考：若点C在第四象限，是否成立？同学们可自行验证，此时BD=√3+|c|，代入比例式会发现解出的c为负值，但线段长度为正，最终结果是否合理，需结合图形判断。通常情况下，此类问题的解具有唯一性或有限个，此处暂取第一象限解。）预测性练习题练习1：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P是边AB上一点，过点A作AD⊥CP于点D，过点B作BE⊥CP交CP的延长线于点E。若AD=3，BE=1，求DE的长。（提示：此为一线三垂直模型的典型变体，直角顶点在中间直线上，可证△ACD≌△CBE。）二、手拉手模型手拉手模型是基于两个共顶点且顶角相等的等腰三角形（或等边三角形、等腰直角三角形）构成的几何模型。其核心是旋转全等或旋转相似，通过构造辅助线，能产生许多相等的线段和角，是证明线段相等、角相等以及线段和差关系的有力工具。核心结构特征两个等腰三角形△ABC和△ADE，其中AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE。点A为公共顶点。将其中一个三角形绕公共顶点A旋转，连接对应点BD、CE，则可形成全等或相似三角形。主要结论与常用辅助线1.旋转全等：当AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE时，△ABD≌△ACE（SAS）。2.旋转相似：当AB/AC=AD/AE=k，且∠BAC=∠DAE时，△ABD∽△ACE。3.辅助线：通常连接对应顶点，如BD、CE，从而构造出全等或相似三角形。此外，还会涉及到由此产生的夹角相等（如BD与CE的夹角等于顶角∠BAC或其补角）。典型例题精讲例题2：已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，连接CE。（1）求证：BD=CE；（2）求∠ACE的度数。分析：此题中，△ABC和△ADE均为等边三角形，具备公共顶点A，且∠BAC=∠DAE=60°，符合手拉手模型的基本特征。我们可以尝试通过证明三角形全等来解决问题。解析：（1）证明：因为△ABC和△ADE均为等边三角形，所以AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°。所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE。在△ABD和△ACE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，所以△ABD≌△ACE（SAS）。因此，BD=CE。（2）因为△ABC是等边三角形，所以∠B=∠ACB=60°。由（1）知△ABD≌△ACE，所以∠ACE=∠B=60°。预测性练习题练习2：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是AC的中点，以CD为边作等腰直角△CDE，∠DCE=90°，连接AE、BD。求证：AE⊥BD。（提示：此为等腰直角三角形构成的手拉手模型，可证△BCD≌△ACE，进而通过倒角证明垂直。）三、半角模型半角模型通常指的是一个角的度数是另一个角的一半，且这两个角有公共顶点和一条公共边。最常见的是90°角内含45°角，或120°角内含60°角的模型。解决此类问题的关键在于利用旋转思想，将分散的条件集中，构造全等三角形。核心结构特征在一个含有∠A=2α的图形中，存在一个以A为顶点的∠DAE=α，且∠DAE的两边分别与∠A的两边相交于点D、E。通过旋转△ABD（或△ACE），可使AD与AE重合，从而将半角“补齐”，构造出新的全等三角形。主要结论与常用辅助线1.线段关系：通过旋转全等，可得到DE=BD+CE（或其他类似的线段和差关系）。2.角度关系：旋转后对应角相等，可将分散的角集中。3.辅助线：旋转是半角模型的灵魂。通常将△ABD绕点A顺时针旋转∠BAC的度数，使AB与AC重合。典型例题精讲例题3：已知正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°。求证：EF=BE+DF。分析：正方形ABCD中，∠BAD=90°，∠EAF=45°，恰好是半角模型。我们可以考虑将△ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD与AB重合，构造全等三角形。解析：证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG。因为四边形ABCD是正方形，所以AD=AB，∠ADF=∠ABE=∠BAD=90°。旋转后，AD与AB重合，∠ADF=∠ABG=90°，DF=BG，AF=AG，∠DAF=∠BAG。因为∠ABG=90°，∠ABE=90°，所以点G、B、E在同一条直线上（即G、B、E三点共线）。因为∠EAF=45°，所以∠BAE+∠DAF=90°-45°=45°。所以∠BAE+∠BAG=∠GAE=45°，即∠GAE=∠EAF。在△GAE和△FAE中，AG=AF，∠GAE=∠FAE，AE=AE，所以△GAE≌△FAE（SAS）。因此，EF=GE=GB+BE=DF+BE，即EF=BE+DF。预测性练习题练习3：在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F。连接CF，若∠AFC=120°，求证：BF=2AF。（提示：此题为60°角背景下的角度关系问题，可尝试利用半角模型的思想，或通过构造等边三角形转化线段关系。）四、中点相关模型与中点相关的几何模型是中考的常客，主要包括“倍长中线”、“中位线定理”、“直角三角形斜边中线”等。这类模型的核心在于利用中点的性质，构造全等三角形或平行四边形，从而实现线段的平移、转化和等量代换。核心结构特征题目中出现“中点”、“中线”、“中位线”等关键词，或图形中隐含中点条件（如等腰三角形底边中线、直角三角形斜边中点等）。主要结论与常用辅助线1.倍长中线：延长中线至两倍长度，构造全等三角形（△ADC≌△EDB），从而实现边或角的转移。2.中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。3.直角三角形斜边中线：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。4.等腰三角形三线合一：等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相重合。典型例题精讲例题4：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于点F。求证：AF=EF。分析：题目中明确给出AD是中线，即D是BC中点。要证AF=EF，即证∠FAE=∠FEA。已知BE=AC，如何将这两条看似不相关的线段联系起来？倍长中线是处理中线问题的常用策略。解析：延长AD至点G，使DG=AD，连接BG。因为AD是BC边上的中线，所以BD=CD。在△ADC和△GDB中，AD=GD，∠ADC=∠GDB（对顶角相等），CD=BD，所以△ADC≌△GDB（SAS）。因此，AC=GB，∠CAD=∠G。已知BE=AC，所以BE=GB。所以△GBE是等腰三角形，∠G=∠BEG。因为∠BEG=∠AEF（对顶角相等），且∠G=∠CAD，所以∠CAD=∠AEF。因此，在△AEF中，AF=EF（等角对等边）。预测性练习题练习4：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是AD、BC的中点，延长BA、CD分别交EF的延长线于点G、H。求证：∠BGF=∠CHF。（提示：中点连线，考虑构造中位线。可连接BD，取BD中点M，连接EM、FM，利用中位线性质证明EM=FM，再通过平行线性质倒角。）五、截长补短模型截长补短模型主要用于证明几条线段之间的和差关系，如“a+b=c”或“a-b=c”的形式。截长法是在较长线段上截取一段等于其中一条较短线段，再证剩余部分等于另一条较短线段；补短法则是将其中一条较短线段延长，使延长部分等于另一条较短线段，再证延长后的线段等于较长线段。核心结构特征题目中出现线段的和差倍分关系的证明要求，且通常伴有角平分线、垂线等条件，或图形中存在轴对称关系。主要结论与常用辅助线1.截长：在长线段上取一段等于短线段，构造全等或等腰三角形。2.补短：延长短线段至与另一条短线段相等，构造全等或等腰三角形。3.辅助线语言：“在XX上截取XX=XX”或“延长XX至点X，使XX=XX，连接XX”。典型例题精讲例题5：已知在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC交BC于点D。求证：AB+BD=AC。分析：要证AB+BD=AC，符合“a+b=c”的形式，考虑使用截长补短法。已知AD是角平分线，∠B=2∠C，角的关系提示我们可以通过构造等腰三角形来转化。解析：（截长法）在AC上截取AE=AB，连接DE。因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠EAD。在△ABD和△AED中，AB=AE，∠BAD=∠EAD，AD=AD，所以△ABD≌△AED（SAS）。因此，BD=ED，∠B=∠AED。已知∠B=2∠C，所以∠AED=2∠C。又因为∠AED=∠C+∠EDC（三角形外角性质），所以2∠C=∠C+∠EDC，即∠EDC=∠C。所以△EDC是等腰三角形，ED=EC。因为BD=ED，所以BD=EC。因此，AC=AE+EC=AB+BD，即AB+BD=AC。（补短法亦可：延长AB至点F，使BF=BD，连接DF。则∠F=∠BDF，∠ABC=∠F+∠BDF=2∠F，由∠ABC=2∠C得∠F=∠C，再证△AFD≌△ACD即可。同学们可自行尝试。）预测性练习题练习5：如图，在正方形ABCD中，点P是BC边上一点（不与B、C重合），连接AP，过点B作BE⊥AP于点E，过点D作DF⊥AP于点F。求证：BE+DF=