统计知识考试题库附答案

统计知识考试题库附答案1.单选题某市交通部门想估计早高峰时段平均车速，随机抽取100辆机动车，测得样本均值28.4km/h，样本标准差4.6km/h。若用t分布构造95%置信区间，则区间半宽最接近下列哪一项？A.0.46km/hB.0.92km/hC.1.15km/hD.1.84km/h答案：B解析：自由度df=n−1=99，查t分布表得t0.975(99)≈1.984。半宽=t×s/√n=1.984×4.6/10≈0.913km/h，四舍五入0.92km/h。2.单选题在简单随机抽样下，样本均值的标准误差与总体标准差σ及样本量n的关系是：A.σ/nB.σ/√nC.σ²/nD.σ²/√n答案：B解析：由中心极限定理，样本均值抽样分布标准差为σ/√n，即标准误差。3.单选题某质检员每天从生产线上随机抽取5件产品测重，连续20天共得100个数据。若欲建立X̄-R控制图，则R图的中心线应使用下列哪一项估计总体标准差？A.R̄/d2B.R̄/c4C.s̄/c4D.s̄/d2答案：A解析：R图用极差估计σ，公式σ̂=R̄/d2，其中d2为与样本量n=5有关的常数2.326。4.单选题对同一批数据做线性回归，若将自变量x的单位由“米”改为“厘米”，则决定系数R²会：A.增大100倍B.减小100倍C.不变D.变为原来的1/10000答案：C解析：R²是比例，与变量量纲无关，仅取决于变异解释比例。5.单选题在假设检验中，若显著性水平α由0.05调整为0.01，则犯第一类错误的概率：A.增大B.减小C.不变D.可能增大也可能减小答案：B解析：第一类错误概率就是α，调小α直接降低拒真概率。6.单选题设X~N(μ,σ²)，则P(|X−μ|≤1.96σ)约等于：A.90%B.95%C.97.5%D.99%答案：B解析：标准正态分布双侧95%临界值为±1.96。7.单选题在列联表χ²检验中，若期望频数小于5的单元格比例超过20%，合理的处理方式是：A.直接计算χ²值B.合并相邻行或列C.改用t检验D.增加α水平答案：B解析：χ²检验要求期望频数不宜过小，合并可提高期望频数。8.单选题对0-1变量Y建立Logistic回归，若某自变量系数估计为0.8，则其优势比OR为：A.0.8B.1.8C.2.23D.0.45答案：C解析：OR=e^β=e^0.8≈2.23。9.单选题在单因素方差分析中，若组间均方MSB显著大于组内均方MSE，可认为：A.各组样本量不等B.各组总体方差不等C.各组总体均值不全相等D.数据非正态答案：C解析：ANOVA原假设H0：μ1=μ2=…=μk，拒绝即意味着至少一对均值不等。10.单选题若随机变量X服从参数λ=3的泊松分布，则E(X²)等于：A.3B.6C.9D.12答案：D解析：泊松分布E(X)=λ，Var(X)=λ，E(X²)=Var(X)+[E(X)]²=3+9=12。11.单选题对时间序列做一阶差分的主要目的是：A.消除趋势B.消除季节C.提高方差D.降低样本量答案：A解析：差分可将非平稳趋势序列转化为平稳序列。12.单选题在Bootstrap估计中，若原始样本量n=50，采用有放回重复抽样1000次，则每次Bootstrap样本量应为：A.50B.1000C.任意D.50×1000答案：A解析：Bootstrap原则：每次重抽样样本量与原始样本相同，即n。13.单选题若两变量Pearson相关系数r=0，则下列一定成立的是：A.两变量独立B.两变量无线性关系C.两变量无曲线关系D.两变量方差相等答案：B解析：r仅度量线性关系，r=0仅说明不存在线性相关，但可能有非线性关系。14.单选题在贝叶斯估计中，若先验分布为Beta(2,2)，似然为二项分布Bin(n=10,k=7)，则后验分布为：A.Beta(2,2)B.Beta(7,3)C.Beta(9,5)D.Beta(10,10)答案：C解析：Beta为二项共轭先验，后验参数α'=α+k=2+7=9，β'=β+n−k=2+3=5。15.单选题当多元线性回归出现多重共线性时，方差膨胀因子VIF会：A.接近0B.接近1C.远大于1D.变为负值答案：C解析：VIF>10通常视为严重共线，VIF越大说明共线性越严重。16.单选题对同一数据分别用K-Means与层次聚类，若样本量高达10万，则一般更高效的算法是：A.K-MeansB.层次聚类C.两者一样D.无法比较答案：A解析：K-Means时间复杂度约O(nkt)，层次聚类O(n²)或更高，大数据下K-Means更快。17.单选题若某检验的p值为0.03，则当α=0.05时：A.拒绝原假设B.接受原假设C.无法判断D.需增大样本量答案：A解析：p<α拒绝H0。18.单选题在正态总体方差未知且小样本下，关于均值μ的检验应采用：A.Z检验B.χ²检验C.t检验D.F检验答案：C解析：σ未知且n小，用t检验。19.单选题若某模型AIC=310，BIC=350，另一模型AIC=315，BIC=330，则依据“越小越好”原则，综合选择：A.第一模型B.第二模型C.两模型一样好D.需交叉验证答案：B解析：AIC略逊但BIC显著更优，BIC惩罚更大，应选第二模型。20.单选题对二分类问题，若模型预测概率阈值为0.5，现将阈值提高到0.8，则召回率Recall一般会：A.上升B.下降C.不变D.先升后降答案：B解析：阈值提高，预测正例减少，漏检增多，召回率下降。21.多选题下列哪些统计量可用于检验正态性？A.Shapiro-Wilk统计量B.Anderson-Darling统计量C.Kolmogorov-Smirnov统计量D.Durbin-Watson统计量答案：A、B、C解析：Durbin-Watson用于检验残差自相关，与正态性无关。22.多选题关于置信区间，下列说法正确的是：A.95%置信区间指参数有95%概率落入该区间B.区间越宽，置信水平越高C.增大样本量可缩小区间宽度D.置信区间不包含点估计值的情况不可能出现答案：B、C解析：A错误，频率学派认为参数固定，区间随机；D错误，区间必含点估计。23.多选题下列哪些方法可用于处理缺失数据？A.多重插补B.删除含缺失行C.均值插补D.期望最大化算法答案：A、B、C、D解析：四种皆为常用缺失处理技术。24.多选题在回归诊断中，哪些图可用于检验同方差性？A.残差vs拟合值图B.Q-Q图C.尺度-位置图D.偏残差图答案：A、C解析：Q-Q图检验正态性，偏残差图检验非线性。25.多选题下列哪些属于非参数检验？A.Mann-WhitneyU检验B.Kruskal-Wallis检验C.Wilcoxon符号秩检验D.单样本t检验答案：A、B、C解析：t检验属参数检验，要求正态或样本大。26.多选题若随机变量X服从几何分布，参数p=0.2，则：A.E(X)=5B.Var(X)=20C.P(X=3)=0.8²×0.2D.无记忆性成立答案：A、C、D解析：几何分布E(X)=1/p=5，Var(X)=(1−p)/p²=20，C为pmf正确表达式，D为几何分布性质。27.多选题下列哪些技术可用于降低模型过拟合？A.L2正则化B.早停C.DropoutD.增加特征多项式答案：A、B、C解析：增加特征会加剧过拟合。28.多选题在实验设计中，区组化目的包括：A.降低实验误差方差B.提高处理比较精度C.增加处理数D.控制已知干扰变量答案：A、B、D解析：区组化不直接增加处理数。29.多选题下列哪些统计图形适合展示两连续变量关系？A.散点图B.箱线图C.热力图D.六边形分箱图答案：A、C、D解析：箱线图用于展示单变量分布或多组比较。30.多选题若两独立样本均来自正态总体，方差未知但假定相等，检验均值差可用：A.合并方差t检验B.Welcht检验C.配对t检验D.方差分析答案：A、B解析：配对t检验用于相关样本，ANOVA用于多组。31.填空题若X~N(10,4)，则P(X>12)=________。（用标准正态累积分布函数Φ表示）答案：1−Φ(1)解析：Z=(12−10)/√4=1，故P(X>12)=P(Z>1)=1−Φ(1)。32.填空题在简单线性回归中，若SST=100，SSE=25，则R²=________。答案：0.75解析：R²=1−SSE/SST=1−25/100=0.75。33.填空题设随机变量T服从自由度为15的t分布，则其方差为________。答案：15/13解析：t分布方差df/(df−2)，df>2。34.填空题若某泊松过程平均每分钟发生2次事件，则在3分钟内发生少于4次的概率为________。（保留三位小数）答案：0.151解析：λt=6，P(N<4)=P(N≤3)=e^(−6)(6^0/0!+…+6^3/3!)=0.1512。35.填空题对n=20的样本，若样本偏度为0，峰度为2，则Jarque-Bera统计量为________。答案：2.5解析：JB=(n/6)(S²+(K−3)²/4)=(20/6)(0+(2−3)²/4)=20/6×0.25=2.5。36.填空题若两变量秩相关系数ρ=0.6，样本量n=10，则检验H0:ρ=0的t统计量值为________。（保留两位小数）答案：2.12解析：t=ρ√(n−2)/√(1−ρ²)=0.6×√8/√0.64=0.6×2.828/0.8≈2.12。37.填空题在2×3列联表中，自由度为________。答案：2解析：(r−1)(c−1)=1×2=2。38.填空题若Lasso回归调参λ增大，则模型变量数将________。（填“增加”或“减少”）答案：减少解析：λ越大惩罚越强，系数更易被压缩至0。39.填空题若某AR(1)模型xt=0.3xt−1+εt，则其平稳方差为________。（设εt方差为1）答案：1/(1−0.3²)=1/0.91≈1.099解析：平稳方差σ²=σ_ε²/(1−φ²)。40.填空题在Bootstrap估计标准误时，重抽样次数B一般建议不小于________。答案：1000解析：经验上B≥1000可使标准误估计稳定。41.计算题某工厂生产钢丝，其断裂强度服从正态分布。随机抽取25段，测得平均强度1850MPa，标准差80MPa。(1)求μ的95%置信区间。(2)若要求估计误差不超过20MPa，置信水平95%，应至少抽取多少段？答案与解析：(1)df=24，t0.975(24)=2.064，半宽=2.064×80/5=33.02，区间1850±33.02→(1816.98,1883.02)MPa。(2)误差d=20，n≥(t×s/d)²，迭代初估用z=1.96，n0=(1.96×80/20)²=61.47，取62；再查t0.975(61)=2.00，n1=(2×80/20)²=64，收敛，故至少64段。42.计算题某电商对比两种推荐算法，随机分配200名用户，A组100人平均消费320元，标准差60元；B组100人平均350元，标准差70元。假定方差不等，检验两算法是否显著差异（α=0.05）。答案与解析：H0:μA=μB，H1:μA≠μB。Welch检验：t=(320−350)/√(60²/100+70²/100)=−30/√(36+49)=−30/√85≈−3.25，df=(36+49)²/(36²/99+49²/99)≈85，查t双侧临界±1.99，|t|>1.99，拒绝H0，两算法消费差异显著。43.计算题给出数据集{2,5,6,8,10,12,15}，求：(1)中位数；(2)四分位距IQR；(3)若从中随机取3个数不放回，求样本均值大于9的概率。答案与解析：(1)中位数=8。(2)Q1=位置2的值=5，Q3=位置6的值=12，IQR=12−5=7。(3)总体均值μ=8.57，欲样本均值>9，即三数和>27。枚举共C(7,3)=35种，满足和>27的有{6,10,12}{6,10,15}{6,12,15}{8,10,12}{8,10,15}{8,12,15}{10,12,15}共7种，概率7/35=0.2。44.计算题某药物有效率历史值60%。现试验120名患者，其中84人有效。(1)求新样本比历史提高的近似p值（单侧）。(2)若真实有效率已达70%，求该检验功效（1−β）近似值。（α=0.05单侧）答案与解析：(1)H0:p=0.6，H1:p>0.6，z=(0.7−0.6)/√(0.6×0.4/120)=0.1/0.0447≈2.236，p=1−Φ(2.236)≈0.0127。(2)临界值p̂c=0.6+1.645×0.0447≈0.673，功效=P(p̂>0.673|p=0.7)，z=(0.673−0.7)/√(0.7×0.3/120)=−0.027/0.0416≈−0.65，功效=1−Φ(−0.65)=Φ(0.65)≈0.742。45.计算题设X,Y联合密度f(x,y)=2,0≤x≤y≤1，求Cov(X,Y)。答案与解析：先求边缘与期望：E(X)=∫₀¹∫x¹2xdydx=∫₀¹2x(1−x)dx=1/3，E(Y)=∫₀¹∫x¹2ydydx=∫₀¹(1−x²)dx=2/3，E(XY)=∫₀¹∫x¹2xydydx=∫₀¹x(1−x²)dx=1/2−1/4=1/4，Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)=1/4−(1/3)(2/3)=1/4−2/9=1/36。46.综合题某城市出租车公司想预测每日订单量Y（万单），收集连续60天数据，含自变量：X1：平均气温(℃)，X2：降雨量(mm)，X3：周末虚拟变量(0/1)，X4：大型活动虚拟变量(0/1)。经逐步回归得模型：Ŷ=2.1+0.03X1−0.05X2+0.8X3+1.2X4，R²=0.65，调整R²=0.62，RMSE=0.42。(1)解释X2系数含义。(2)若第61天预报：气温28℃，降雨5mm，周六，无大型活动，求点预测及95%近似预测区间。(3)诊断发现残差滞后1阶自相关系数0.28，应如何修正模型？答案与解析：(1)控制其他变量不变，降雨量每增加1mm，日订单量平均减少0.05万单。(2)Ŷ=2.1+0.03×28−0.05×5+0.8×1+1.2×0=2.1+0.84−0.25+0.8=3.49万单。近似区间：3.49±1.96×0.42→(2.67,4.31)万单。(3)存在轻度自相关，可引入AR(1)误差项或增加滞后因变量yt−1作为新自变量，亦可使用Cochrane-Orcutt迭代估计消除自相关。47.综合题某高校调研学生月生活费，假设总体标准差300元。(1)若希望99%置信水平下估计误差不超过50元，求最小样本量。(2)实际抽取200人，得平均1650元，求99%置信区间。(3)若总体实际右偏，样本量仍200，上述区间是否仍有效？说明理由。答案与解析：(1)n≥(z×σ/d)²，z0.995=2.576，n≥(2.576×300/50)²=2394.6，至少2395人。(2)1650±2.576×300/√200=1650±54.6→(1595.4,1704.6)元。(3)仍近似有效。n=200较大，中心极限定理保证样本均值近似正态，区间可靠性受偏度影响较小，但若偏态极强，可考虑对数变换或Bootstrap法。48.综合题某质量工程师记录连续30天产品缺陷数：总计120个缺陷，每天产量固定500件。(1)建立c图，求中心线及上下控制限。(2)若第31天发现7个缺陷，是否超出控制限？(3)若缺陷类型分A、B、C三类，计数分别为60,40,20，用χ²检验判断三类是否等比例（α=0.05）。答案与解析：(1)c̄=120/30=4，UCL=c̄+3√c̄=4+6=10，LCL=4−6=−2，取0。(2)7∈[0,10]，未超限。(3)H0：三类比例1:1:1，期望频数各40，χ²=(60−40)²/40+(40−40)²/40+(20−40)²/40=400/40+0+400/40=20，df=2，临界5.99，20>5.99，拒绝H0，缺陷类型不等比例。49.综合题某连锁超市对1000名会员随机发送优惠券（面额0元、5元、10元），记录两周内消费。得数据：面额0元组300人，平均消费180元，标准差60元；5元组350人，平均200元，标准差65元；10元组350人，平均220元，标准差70元。(1)用单因素ANOVA检验优惠券面额是否显著影响消费（α=0.05）。(2)若显著，进一步用Tukey法做多重比较，指出哪些组差异显著。答案与解析：(1)总均值x̄=(300×180+350×200+350×220)/1000=200.5，SSB=300(180−200.5)²+350(200−200.5)²+350(220−200.5)²=300×420.25+350×0.2