2025 年大学数学（高等数学基础）下学期期末评估卷

2025年大学数学（高等数学基础）下学期期末评估卷

（考试时间：90分钟满分100分）班级______姓名______一、单项选择题（总共10题，每题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在题后的括号内）1.函数\(y=\frac{1}{\ln(x-1)}\)的定义域是（）A.\((1,+\infty)\)B.\((1,2)\cup(2,+\infty)\)C.\((2,+\infty)\)D.\((-\infty,2)\)2.当\(x\to0\)时，与\(x\)等价的无穷小是（）A.\(\sinx-x\)B.\(e^x-1\)C.\(\ln(1+x)\)D.\(1-\cosx\)3.已知\(f(x)\)在\(x=a\)处可导，则\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{h}\)等于（）A.\(f^\prime(a)\)B.\(2f^\prime(a)\)C.\(0\)D.\(f^\prime(2a)\)4.曲线\(y=x^3-3x^2+1\)的拐点是（）A.\((0,1)\)B.\((1,-1)\)C.\((2,-3)\)D.\((3,1)\)5.设\(f(x)\)的一个原函数是\(e^{-x}\)，则\(f^\prime(x)\)等于（）A.\(e^{-x}\)B.\(-e^{-x}\)C.\(e^{-x}(1+x)\)D.\(-e^{-x}(1+x)\)6.若\(\intf(x)dx=F(x)+C\)，则\(\inte^{-x}f(e^{-x})dx\)等于（）A.\(F(e^{-x})+C\)B.\(-F(e^{-x})+C\)C.\(F(e^{x})+C\)D.\(-F(e^{x})+C\)7.设\(D\)是由\(x=0\)，\(y=0\)，\(x+y=1\)所围成的区域，则\(\iint_Dxdxdy\)等于（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{6}\)C.\(\frac{1}{12}\)D.\(\frac{1}{24}\)8.级数\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}\)是（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性不确定9.微分方程\(y^\prime+y=e^{-x}\)的通解是（）A.\(y=Ce^{-x}+e^{-x}\)B.\(y=Ce^{-x}-e^{-x}\)C.\(y=e^{-x}(C+x)\)D.\(y=e^{-x}(C-x)\)10.已知向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)，\(\vec{b}=(3,2,1)\)，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)等于（）A.10B.12C.14D.16二、多项选择题（总共5题，每题6分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在题后的括号内，少选得3分，选错不得分）1.下列函数中，在\(x=0\)处连续的有（）A.\(y=\begin{cases}x\sin\frac{1}{x},&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}\)B.\(y=\begin{cases}\frac{\sinx}{x},&x\neq0\\1,&x=0\end{cases}\)C.\(y=\begin{cases}e^x,&x\lt0\\1,&x=0\\x+1,&x\gt0\end{cases}\)D.\(y=\begin{cases}\ln(1+x),&x\gt0\\0,&x=0\\-x,&x\lt0\end{cases}\)2.下列函数中，在给定区间上满足罗尔定理条件的有（）A.\(y=x^3-3x+1\)，\([0,1]\)B.\(y=\frac{1}{x^2}\)，\([-1,1]\)C.\(y=x^2-1\)，\([-1,1]\)D.\(y=e^{x^2-1}\)，\([-1,1]\)3.下列积分中，计算正确的有（）A.\(\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}\big|_{-1}^{1}=-2\)B.\(\int_{0}^{1}e^xdx=e^x\big|_{0}^{1}=e-1\)C.\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sinxdx=-\cosx\big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=1\)D.\(\int_{-1}^{1}x^3dx=\frac{1}{4}x^4\big|_{-1}^{1}=0\)4.下列级数中，收敛的有（）A.\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)B.\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\)C.\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}\)D.\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1}\)5.下列微分方程中，是一阶线性微分方程的有（）A.\(y^\prime+y^2=x\)B.\(y^\prime+\frac{y}{x}=\sinx\)C.\(y^\prime-y=e^x\)D.\(y^{\prime\prime}+y=0\)三、填空题（总共5题，每题4分，请把正确答案填在题中横线上）1.已知\(f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\leq0\\2x,&x\gt0\end{cases}\)，则\(f(f(-1))=\)______。2.设\(y=x^x\)，则\(y^\prime=\)______。3.\(\int\frac{1}{x^2+4x+5}dx=\)______。4.幂级数\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}\)的收敛半径\(R=\)______。5.已知向量\(\vec{a}=(1,2,-1)\)，\(\vec{b}=(2,-1,1)\)，则\(\vec{a}\times\vec{b}=\)______。四、解答题（总共3题，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.求函数\(y=x^3-3x^2-9x+5\)的单调区间和极值。2.计算\(\int_{0}^{1}x\ln(1+x)dx\)。3.求微分方程\(y^{\prime\prime}-2y^\prime+y=e^x\)的通解。五、证明题（总共1题，每题10分，证明应写出文字说明、证明过程或演算步骤）设\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，且\(f(a)=f(b)=0\)，证明：在\((a,b)\)内至少存在一点\(\xi\)，使得\(f^\prime(\xi)-f(\xi)=0\)。答案：一、单项选择题1.B2.C3.B4.B5.B6.B7.C8.B9.C10.A二、多项选择题1.AC2.AC3.BC4.AC5.BC三、填空题1.52.\(x^x(1+\lnx)\)3.\(\arctan(x+2)+C\)4.15.\((-1,-3,-5)\)四、解答题1.\(y^\prime=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)\)。令\(y^\prime=0\)，得\(x=-1\)或\(x=3\)。当\(x\lt-1\)时，\(y^\prime\gt0\)，函数单调递增；当\(-1\ltx\lt3\)时，\(y^\prime\lt0\)，函数单调递减；当\(x\gt3\)时，\(y^\prime\gt0\)，函数单调递增。极大值为\(y(-1)=10\)，极小值为\(y(3)=-22\)。2.利用分部积分法，\(\int_{0}^{1}x\ln(1+x)dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\ln(1+x)dx^2=\frac{1}{2}[x^2\ln(1+x)\big|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{x^2}{1+x}dx]=\frac{1}{2}\ln2-\frac{1}{4}\)。3.对应的齐次方程为\(y^{\prime\prime}-2y^\prime+y=0\)，特征方程为\(r^2-2r+1=0\)，解得\(r=1\)（二重根），齐次方程通解为\(Y=(C_1+C_2x)e^x\)。设特解\(y^=Ax^2e^x\)，代入原方程得\(A=\frac{1}{2}\)，通解为\(y=(C_1+C_2x)e^x+\frac{1}{2}x^2e^x\)。五、证明题令\(F(x)=e^{-x}f(x)\)，则\(F(x)\)在\([a,b