2025 年大学数学（线性代数）下学期期末测试卷

2025年大学数学（线性代数）下学期期末测试卷

（考试时间：90分钟满分100分）班级______姓名______一、选择题（总共10题，每题3分，每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案填在括号内）1.设矩阵\(A\)为\(n\)阶方阵，且\(\vertA\vert=0\)，则（）A.\(A\)中必有两行（列）的对应元素成比例B.\(A\)中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合C.\(A\)中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合D.\(A\)中至少有一行（列）的元素全为02.已知向量组\(\alpha_1=(1,2,3)^T\)，\(\alpha_2=(2,3,4)^T\)，\(\alpha_3=(3,4,5)^T\)，则向量组的秩为（）A.0B.1C.2D.33.设\(A\)为\(n\)阶方阵，\(A^\)是\(A\)的伴随矩阵，则\(\vertA^\vert\)等于（）A.\(\vertA\vert\)B.\(\vertA\vert^{n-1}\)C.\(\vertA\vert^n\)D.\(n\vertA\vert\)4.若\(n\)阶方阵\(A\)满足\(A^2=A\)，则\(A\)具有的特征值为（）A.0或1B.0C.1D.任意实数5.设\(A\)是\(m\timesn\)矩阵，\(Ax=0\)是非齐次线性方程组\(Ax=b\)对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（）A.若\(Ax=0\)仅有零解，则\(Ax=b\)有唯一解B.若\(Ax=0\)有非零解，则\(Ax=b\)有无穷多解C.若\(Ax=b\)有无穷多解，则\(Ax=0\)有非零解D.若\(Ax=b\)有无穷多解，则\(Ax=0\)仅有零解6.已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，则\(A\)的逆矩阵\(A^{-1}\)为（）A.\(\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}2&-1\\-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}2&-1\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)7.设\(A\)为\(n\)阶正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.\(\vertA\vert=\pm1\)B.\(A^{-1}=A^T\)C.\(A\)的列向量组是单位正交向量组D.\(A\)的行向量组线性相关8.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+2x_2x_3\)的矩阵为（）A.\(\begin{pmatrix}1&2&0\\2&2&1\\0&1&3\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&2&0\\2&4&1\\0&1&3\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&1\\0&1&3\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&2&1\\2&2&0\\1&0&3\end{pmatrix}\)9.已知向量\(\alpha=(1,-1,1)^T\)，则与\(\alpha\)正交的单位向量为（）A.\(\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)^T\)B.\(\frac{1}{\sqrt{3}}(-1,1,1)^T\)C.\(\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1)^T\)D.\(\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,-1)^T\)10.设\(A\)是\(n\)阶方阵，\(P\)是\(n\)阶可逆矩阵，若\(B=P^{-1}AP\)，则（）A.\(A\)与\(B\)相似B.\(A\)与\(B\)合同C.\(A\)与\(B\)等价D.以上都不对二、多项选择题（总共5题，每题4分，每题给出的五个选项中，有多个选项符合题目要求，请将正确答案填在括号内，少选、选错均不得分）(1)设\(A\)为\(n\)阶方阵，下列命题正确的是（）A.若\(A\)可逆，则\(A\)的特征值都不为0B.若\(A\)不可逆，则\(A\)的特征值都为0C.\(A\)的特征向量非零D.若\(\lambda\)是\(A\)的特征值，则\(\lambda^2\)是\(A^2\)的特征值E.\(A\)的不同特征值对应的特征向量线性无关(2)已知向量组\(\alpha_1=(1,1,0)^T\)，\(\alpha_2=(1,0,1)^T\)，\(\alpha_3=(0,1,1)^T\)，则（）A.向量组线性无关B.向量组线性相关C.向量组的秩为3D.向量组可由单位向量组线性表示E.向量组中任意两个向量线性无关(3)设\(A\)为\(n\)阶方阵，\(A^2=E\)，则（）A.\(A\)可逆B.\(A\)的特征值为\(\pm1\)C.\(A\)的秩为\(n\)D.\(A\)的行列式为\(\pm1\)E.\(A\)是对称矩阵(4)关于二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3\)，下列说法正确的是（）A.正定二次型B.负定二次型C.其矩阵的秩为3D.其矩阵的特征值都大于0E.其标准形为\(y_1^2+y_2^2+y_3^2\)(5)设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(AB=0\)，则（）A.\(A=0\)或\(B=0\)B.\(r(A)+r(B)\leqn\)C.若\(A\)可逆，则\(B=0\)D.若\(A\)不可逆，则\(B=0\)E.\(A\)的列向量组线性相关或\(B\)的行向量组线性相关三、填空题（总共5题，每题4分，请将答案填在横线上）1.已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\)，则\(AB=\)______。2.向量组\(\alpha_1=(1,2,3)^T\)，\(\alpha_2=(2,3,4)^T\)，\(\alpha_3=(3,4,5)^T\)的一个极大线性无关组为______。3.设\(A\)为\(n\)阶方阵，且\(\vertA\vert=3\)，则\(\vert2A\vert=\)______。4.若二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2ax_1x_2+2x_1x_3\)正定，则\(a\)的取值范围是______。5.已知\(A\)是\(3\)阶方阵，其特征值为\(1\)，\(2\)，\(3\)，则\(\vertA\vert=\)______。四、简答题（总共2题，每题10分）1.已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}\)，求\(A\)的秩，并求\(A\)的一个极大线性无关组。2.求向量组\(\alpha_1=(1,1,1,1)^T\)，\(\alpha_2=(1,-1,1,-1)^T\)，\(\alpha_3=(1,2,1,2)^T\)，\(\alpha_4=(1,-2,1,-2)^T\)的秩，并判断向量组的线性相关性。五、证明题（总共1题，每题10分）设\(A\)是\(n\)阶正交矩阵，证明\(A\)的伴随矩阵\(A^\)也是正交矩阵。答案：一、选择题1.C2.C3.B4.A5.C6.A7.D8.A9.D10.A二、多项选择题(1)ACDE(2)ADE(3)ABD(4)CD(5)BCE三、填空题1.\(\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}\)2.\(\alpha_1,\alpha_2\)（答案不唯一）3.\(2^n\times3\)4.\(-\frac{2}{\sqrt{5}}\lta\lt\frac{2}{\sqrt{5}}\)5.6四、简答题1.对矩阵\(A\)进行初等行变换：\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}\)\(\xrightarrow{R_2-2R_1}\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\3&6&9\end{pmatrix}\)\(\xrightarrow{R_3-3R_1}\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\)所以\(r(A)=1\)。极大线性无关组为\(\alpha_1=(1,2,3)^T\)（答案不唯一）。2.构造矩阵\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&-1&2&-2\\1&1&1&2\\1&-1&2&-2\end{pmatrix}\)对\(A\)进行初等行变换：\(\xrightarrow{R_2-R_1}\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&-2&-1&-3\\1&…&…&…\\1&…&…&…\end{pmatrix}\)\(\xrightarrow{R_3-R_1}\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&-2&-1&-3\\0&0&0&1\\0&-2&-1&-3\end{pmatrix}\)\(\xrightarrow{R_4-R_2}\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&-2&-1&-3\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}\)所以\(r(A)=3\)，向量组线性相关。五、证明题因为\(A\)是正交矩阵，所以\(A^TA=E\)，