2026年数学高考试题及解析

2026年数学高考试题及解析一、选择题（共12题，每题5分，共60分）（1）题已知集合A={x|x²-5x+6=0}，B={x|x³-2x+1=0}，则A∩B=？A.{1}B.{2}C.{3}D.{2,3}（2）题函数f(x)=2sin(2x+π/3)-1的图像关于y轴对称，则x=？A.π/6B.π/3C.π/2D.2π/3（3）题若复数z=1+i满足|z-k|=1，则实数k的取值范围是？A.[-√2,√2]B.(-√2,√2)C.{√2}D.{-√2}（4）题已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若a₃+a₅=10，则S₆=？A.30B.40C.50D.60（5）题函数f(x)=ln(x+1)在区间[0,1]上的最小值是？A.0B.ln2C.ln3D.1（6）题若向量a=(1,2)，b=(2,-1)，则向量a+b的模长是？A.√10B.√5C.3D.√3（7）题过点(1,1)且与直线3x-4y+5=0平行的直线方程是？A.3x-4y-1=0B.3x-4y+1=0C.4x-3y-1=0D.4x-3y+1=0（8）题若函数f(x)=x²-2ax+3在x=1处取得最小值，则a=？A.1B.2C.3D.4（9）题在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，且a=√3，则b=？A.1B.√2C.2D.√3（10）题某工厂生产的产品合格率为90%，现随机抽取3件，则至少有1件合格的概率是？A.0.27B.0.729C.0.972D.0.999（11）题将边长为2的正方形绕其一条边旋转一周，所得几何体的体积是？A.4πB.8πC.16πD.32π（12）题若直线y=kx+1与圆(x-1)²+(y-2)²=4相切，则k=？A.±1B.±2C.√3D.-√3二、填空题（共4题，每题5分，共20分）（13）题已知tanα=2，则sin(α+β)=2，且cosβ=1/√2，则β=______。（14）题在等比数列{bₙ}中，b₁=2，b₄=16，则b₃=______。（15）题若抛物线y²=2px的焦点到准线的距离为4，则p=______。（16）题从5名男生和4名女生中随机选出3人参加比赛，则恰好有2名男生的概率是______。三、解答题（共6题，共80分）（17）题（10分）已知函数f(x)=x³-3x²+2。（1）求f(x)的极值点；（2）若f(x)在区间[a,b]上的最大值为5，最小值为-1，求a+b的值。（18）题（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a²=b²+c²-bc。（1）求角B的大小；（2）若b=2，c=√3，求△ABC的面积。（19）题（12分）已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+1。（1）求通项公式aₙ；（2）若数列{bₙ}满足bₙ=∑(k=1ton)aₖ，求bₙ的表达式。（20）题（14分）过点P(1,0)的直线l与圆C:(x-2)²+y²=1相交于A、B两点，且|PA|=|PB|。（1）求直线l的方程；（2）求弦AB的长。（21）题（14分）某城市公交系统有A、B两条线路，据统计，乘客乘坐A线的概率为0.6，乘坐B线的概率为0.4，且两条线路的运行时间均服从正态分布。（1）若A线的平均运行时间为15分钟，标准差为3分钟，求运行时间不超过12分钟的概率；（2）若B线的平均运行时间为20分钟，标准差为4分钟，求两条线路运行时间之差的绝对值不超过5分钟的概率。（22）题（16分）已知函数f(x)=e^x-ax+1。（1）求f(x)的极值点；（2）若f(x)在区间[0,1]上恒成立f(x)≥0，求a的取值范围；（3）若f(x)在x=0处取得极值，求a的值并证明f(x)在(0,1)上单调递增。答案及解析一、选择题（1）B解：A={2,3}，B={1,2}，∴A∩B={2}。（2）C解：f(x)关于y轴对称需满足2x+π/3=π/2+kπ，解得x=π/6+kπ/2。（3）A解：|z-k|=1表示复数z在以(k,0)为圆心，半径为1的圆上，∴|k|=√2。（4）B解：a₃+a₅=2a₁+8d=10，∴a₁+4d=5，S₆=6a₁+15d=30。（5）A解：f'(x)=1/(x+1)>0，∴f(x)在[0,1]上单调递增，最小值为f(0)=0。（6）C解：a+b=(3,1)，|a+b|=√3²+1²=√10。（7）A解：斜率为3/4，方程为y-1=3/4(x-1)，化简得3x-4y-1=0。（8）B解：f'(x)=2x-2a，f(1)=1-2a+3取得最小值需x=1，∴a=2。（9）C解：由正弦定理a/sinA=b/sinB，∴√3/sin60°=b/sin45°，解得b=2。（10）C解：P(至少1件合格)=1-P(全不合格)=1-(0.1)³=0.972。（11）B解：旋转后为圆柱，体积V=πr²h=π(1)²(2)=8π。（12）B解：圆心(1,2)，半径2，直线y=kx+1代入圆方程得(k²+1)x²+2(k-2)x+3=0，判别式Δ=0，解得k=±2。二、填空题（13）π/4解：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)，由tanα=2，tan(α+β)=2，cosβ=1/√2，解得β=π/4。（14）8解：等比数列中b₄=b₁q³，∴q=2，b₃=2q²=8。（15）8解：焦点到准线距离为p/2=4，∴p=8。（16）5/12解：C(3,5)=C(5,4)，概率=5/12。三、解答题（17）（1）f'(x)=3x²-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(0)=2，f(2)=-2，∴极值点为x=0（极大），x=2（极小）。（2）f(x)在[0,2]上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，∴最小值为f(2)=-2，最大值为f(4)=10，需a+b=6。（18）（1）a²=b²+c²-bc等价于cosA=1/2，∴A=π/3，∴B=π/2。（2）S=1/2bcsinA=1/2×2×√3×√3/2=3/2。（19）（1）aₙ-aₙ₋₁=-1，∴aₙ=2aₙ₋₁+1，∴aₙ=2ⁿ-1。（2）bₙ=∑(k=1ton)(2^k-1)=2^(n+1)-2-n。（20）（1）圆心(2,0)，P(1,0)为弦中点，∴直线l垂直于PC，方程为x=1。（2）圆心到直线x=1距离为1，∴弦长=2√(1²-1²)=2。（21）（1）A线运行时间X~N(15,3²)，P(X≤12)=P(Z≤-1)=0.1587。（2）ΔX~N(5,8²)，P(|ΔX|≤5)=P(-5≤ΔX≤5)=P(Z≤0.625)-P(Z≤-0.625)=0.4778。（22）（1）f'(x)=