2025-2026学年广东省中山一中八年级（上）月考数学试卷（1月份）(含部分答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省中山一中八年级（上）月考数学试卷（1月份）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A.1，2，3 B.2，2，4 C.3，4，5 D.3，6，102.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史.如图是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（）A. B. C. D.3.下列图形中具有稳定性的是（）A.四边形 B.三角形 C.长方形 D.正方形4.若，则的值为（）A. B. C. D.5.下列各分式是最简分式的是（）A. B. C. D.6.下列运算正确的是（）A.20=0 B.a2•a3=a5 C.（-a2）4=a6 D.a6÷a2=a37.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，要根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等，则还需要添加一个条件是（）

A.∠CAB=∠DBA B.AB=BD C.BC=AD D.∠ABC=∠BAD8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，CD=4，则点D到AB的距离是（）A.4

B.2

C.3

D.69.如图，小明利用4张图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片，拼成图②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为（）A.（a+2b）2=a2+4ab+4b2 B.（a+b）2=（a-b）2+4ab

C.（2a+b）2=4a2+4ab+b2 D.（a-b）2=a2-2ab+b210.如图，已知△ABC中，AB=4，AC=5，边BC的垂直平分线分别交BC，AC于点E，F，点D为直线EF上一点，则△ABD的周长最小值为（）A.11

B.10

C.9

D.8二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.要使分式有意义，则x的取值范围为

．12.如图，∠1+∠2+∠3+∠4=

°.

13.分解因式：3ab2-6ab=

.14.如图，点D、A、E在直线m上，AB=AC，∠BAC=90°，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，且BD=AE．若BD=3，CE=5，则DE=______．15.如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为

cm2.

三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题7分)

计算：（2a+3）（2a-3）-a（4a-1）.17.(本小题7分)

已知：如图，点A，C，D，B在同一条直线上，AC=BD，AE=BF，∠A=∠B．求证：∠E=∠F．

18.(本小题7分)

如图，△ABC在平面直角坐标系中.A，B，C三点在格点上，每个小方格的边长为1.

（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；

（2）直接写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2的各顶点坐标.19.(本小题9分)

已知△ABC中，∠A=90°，∠B=30°．

（1）作图：作△ABC的高AD交BC于点D（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）求证：BD=3CD．20.(本小题9分)

【阅读理解】若x满足（9-x）（x-4）=4，求（9-x）2+（x-4）2的值.

解：设9-x=a,x-4=b,

则（9-x）（x-4）=ab=4，a+b=（9-x）+（x-4）=5，

∴（9-x）2+（x-4）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=52-2×4=17.

【解决问题】

（1）若x满足（5-x）（x-2）=2，则（5-x）2+（x-2）2=______；

（2）若x满足（x+1）2+（x-3）2=26，求（x+1）（x-3）的值；

（3）已知正方形ABCD的边长为x,E，F分别是AD、DC上的点，且AE=1，CF=3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF正方形，求阴影部分的面积.21.(本小题9分)

阅读材料：要将多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到am+an+bm+bn=（am+an）+（bm+bn）=a（m+n）+b（m+n），这时a（m+n）+b（m+n）中又有公因式（m+n），于是可以提出（m+n），即am+an+bm+bn=（am+an）+（bm+bn）=a（m+n）+b（m+n）=（m+n）（a+b），我们称这种方法为分组法.请你利用分组法解答下列问题：

（1）解决问题：分解因式ac-bc+a2-b2.

（2）拓展运用：已知a,b,c是△ABC的三边，且满足a2-ab+c2-2ac+bc=0，请判断△ABC的形状并说明理由.22.(本小题13分)

如图1，△ABC中，AB=AC，BC=10，点P从点B出发沿线段BA移动到点A停止，同时点Q从点C出发沿AC的延长线移动，并与点P同时停止.已知点P，Q移动的速度相同，连接PQ与线段BC相交于点D（不考虑点P与点A，B重合时的情况）.

（1）求证：AP+AQ=2AB；

（2）求证：PD=DQ；

（3）如图2，过点P作PE⊥BC于点E，在点P，Q移动的过程中，线段DE的长度是否变化？如果不变，请求出这个长度；如果变化，请说明理由.23.(本小题14分)

定义：如题图1，若P是△ABC内部一点，且∠PCB=∠PBA=α，则称点P为△ABC的勃罗卡点，同时称α为△ABC的勃罗卡角.

（1）如图2，P为等边△ABC内部一点.其中AP=BP，∠BAP=25°，请判断点P是不是等边△ABC的勃罗卡点，并说明理由；

（2）如图3，P为等边△ABC的勃罗卡点，求等边△ABC的勃罗卡角的度数；

（3）如图4，在（2）的条件下，作点P关于AB的对称点P′，连接PP'与AB相交于点O，连接AP'，BP'，记△APP′的勃罗卡点为M，△BPP′的勃罗卡点为N，求证：△PMN为等边三角形.

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】B

10.【答案】C

11.【答案】x≠﹣2

12.【答案】300

13.【答案】3ab（b-2）

14.【答案】8

15.【答案】4.5

16.【答案】解：（2a+3）（2a-3）-a（4a-1）

=4a2-9-4a2+a

=a-9．

17.【答案】证明：∵AC=BD，

∴AC+CD=BD+CD，

即AD=BC，

在△ADE和△BCF中，

，

∴△ADE△BCF（SAS），

∴∠E=∠F．

18.【答案】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）△ABC关于x轴对称的△A2B2C2的各顶点坐标：A2（-2，-2），B2（-3，1），C2（-1，-1）．

19.【答案】解：（1）如图，

AD即为所求；

（2）证明：

∵△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，

∴BC=2AC，∠C=60°，

∴∠CAD=30°，

∴AC=2CD，

∴BC=4CD，

∴BD=3CD．

20.【答案】5

5

28

21.【答案】解：（1）原式=（ac-bc）+（a2-b2）

=c（a-b）+（a+b）（a-b）

=（a-b）（a+b+c）；

（2）△ABC为等腰三角形，理由如下：

∵a,b,c分别为△ABC的三边，

∴b+c＞a,即a-b-c＜0，

已知等式整理得：（a2-2ac+c2）-（ab-bc）=0，

分解因式得：（a-c）2-b（a-c）=0，即（a-c）（a-c-b）=0，

∴a-c=0，即a=c,

则△ABC为等腰三角形．

22.【答案】（1）证明：∵点P，Q移动的速度相同，它们同时出发，

∴PB=CQ，

∴AP+AQ=AP+CQ+AC=AP+PB+AC=AB+AC，

∵AB=AC，

∴AP+AQ=2AB；

（2）证明：过点P作PF∥AC，交BC于点F，如图，

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∵PF∥AC，

∴∠ACB=∠PFB，

∴∠PFB=∠B，

∴PB=PF．

∵点P，Q移动的速度相同，它们同时出发，

∴PB=CQ，

∴PF=CQ．

∵PF∥AC，

∴∠PFD=∠QCD．

在△PFD和△QCD中，

，

∴△PFD≌△QCD（AAS），

∴PD=DQ；

（3）解：在点P，Q移动的过程中，线段DE的长度不变化，DE=5．理由：

过点P作PF∥AC，交BC于点F，如图，

由（2）知：PF=PB，△PFD≌△QCD，

∴DF=DC．

∴FD=FC，

∵PF=PB，PE⊥BC，

∴PE=EF，

∴EF=BF，

∴DE=EF+FD

=BF+FC

=（BF+FC）

=BC

=10

=5．

∴在点P，Q移动的过程中，线段DE的长度不变化，DE=5．

23.【答案】点P不是等边△ABC的勃罗卡点，理由如下：

∵AP=BP，

∴∠PBA=∠BAP=25°，

∴∠PAC=60°-∠BAP=35°，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠ACB=60°，AC=BC，

∵PA=PB，

∴PC是AB的中垂线，

∴CP平分∠ACB，

∴∠PCB=30°，

∴∠PAC≠∠PCB≠∠PBA，

∴点P不是等边△ABC的勃罗卡点

等边△ABC的勃罗卡角的度数为30°

∵点P，P′关于AB对称，

∴AB为PP′的中垂线，

∴BP=BP′，

∴△BPP′为等腰三角形，

∵BO⊥P′P，

由（2）可知∠PBO=30°，

∴∠P′BO=PBO=30°，

∴∠PBP′=60°，

∴△BP′P为等边三角形，同理可得△APP′为等边三角形，

如图，在△BPP′内部作∠BPN=30°交BO于点N，连接P′N，

∵BO