【初中数学】三角形内角和定理第1课时课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章三角形的证明及其应用1三角形内角和定理第1课时

三角形内角和定理学习目标1．通过操作与探究，发现并理解三角形内角和等于180°.2．掌握至少两种证明三角形内角和定理的方法(拼接法与平行线法)．3．能运用定理解决简单的角度计算问题．4．利用相关的基本事实和已经学过的定理证明“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，并掌握全等三角形的性质．学习目标▲重点探索三角形的内角和．▲难点三角形内角和定理及“AAS”定理的推导和论证．导入新课问题:在八年级上册“证明”一章中,给出了八条基本事实,并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论.七年级时,是如何探索三角形三个内角的和的?通过撕角拼图导入新课如图,如果只把∠A移动到∠1的位置,那么你能说明三角形三个内角的和等于180°吗?根据两直线平行,同旁内角互补能说明三角形三个内角的和等于180°.导入新课如果不移动∠A,那么还有什么方法可以达到同样的效果?导入新课通过撕角拼图活动,我们得出了三角形三个内角的和等于180°的直观结论,但尚未进行严谨的逻辑证明.今天我们就运用已学的基本事实、定义和定理来证明三角形内角和定理及其应用.新知探究环节一:证明三角形内角和定理问题:我们知道,三角形三个内角的和等于180°.你能证明这个结论吗?已知:如图,△ABC.求证:∠A+∠B+∠C=180°.从上面的操作过程中,你能发现证明的思路吗?新知探究已知:如图,△ABC.求证:∠A+∠B+∠C=180°.证明:如图,延长BC至点D,过点C作射线CE,使CE∥BA,则∠1=∠A,∠2=∠B.∵点B,C,D在同一条直线上,∴∠1+∠2+∠ACB=180°.∴∠A+∠B+∠ACB=180°.在这里,为了证明的需要,在原来的图形上添画的线叫作辅助线.在平面几何里,辅助线通常画成虚线.新知探究三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.对于三角形内角和定理,还有其他证明方法吗?证明:(方法一)如图,过点A作PQ∥BC.∵PQ∥BC,∴∠PAB=∠B,∠QAC=∠C(两直线平行,内错角相等).∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°,∴∠B+∠BAC+∠C=180°.新知探究三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.证明:(方法二)如图,过点A作AD∥BC.∴∠C=∠1(两直线平行,内错角相等),∠B+∠BAD=180°(两直线平行,同旁内角互补).∴∠B+∠BAC+∠1=180°.∴∠B+∠BAC+∠C=180°.ABC对于三角形内角和定理，你还有其他证明方法吗？与同伴进行交流。123DEF证法三证明：如图，过点D作DE//

AC交AB于点E，DF//

AB交AC于点F，则∠1=∠C，∠3=∠B，∠A+∠AED=180°，∠AED+∠2=180°。∴∠A=∠2。∵点B，D，C在同一条直线上，∴∠1+∠2+∠3=180°。∴∠A+∠B+∠C=180°。除了在三角形顶点或边上构造平角外，还可以在三角形内部或外部构造平角。思考：除了构造平角得到180°外，还有其他方式吗？两直线平行，同旁内角互补讨论：如何构造平行线得到同旁内角呢？ABCABC根据给出的辅助线提示，请同学们课后完成这两种证明方法。lDEFABCEDABClABCDEFABClABCDEF思考：多种方法证明三角形内角和定理的核心是什么？转化思想添加辅助线（平行线）利用平行线的性质，转移角转化为平角或同旁内角新知探究多种方法证明三角形内角和定理的核心是什么?为了证明三角形三个内角的和等于180°,可将其转化为一个平角或一组互补的同旁内角,这种转化思想是数学中常用的方法.例1如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.BCAD

环节二:运用三角形内角和定理解决问题

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新知探究环节三:尝试·思考——推导全等三角形定理“AAS”我们学过的三角形全等的判定定理有哪些?SSS,SAS,ASA,AAS.我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)”这个结论,你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗?新知探究已知:如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.求证:△ABC≌△DEF.分析:①由三角形内角和定理,得∠C=∠F;②结合BC=EF,用“ASA”证明两个三角形全等.证明：在△ABC和△DEF中,∠A+∠B+∠C=180°,∠D+∠E+∠F=180°.因为∠A=∠D,∠B=∠E,所以∠C=∠F.又BC=EF,所以△ABC≌△DEF（ASA）.根据全等三角形的定义,我们可以得到,全等三角形的对应边相等、对应角相等.根据全等三角形的定义，我们可以得到定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.(AAS)

全等三角形的对应边相等、对应角相等.变式练习

如图，AB∥CD，E为BD上一点，AB＝ED，连接CE，且∠1＝∠C.(1)求证：△ABD≌△EDC；【方法指导】(1)根据AB∥CD，得出∠B＝∠BDC，结合已知条件，根据AAS即可证明．(1)证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠BDC.又∵AB＝ED，∠1＝∠C，∴△ABD≌△EDC(AAS).(2)若∠B＝35°，∠1＝22°，求∠BEC的度数．(2)解：∵△ABD≌△EDC，(2)根据△ABD≌△EDC，得出∠BDC＝∠B＝35°，∠C＝∠1＝22°，根据三角形内角和定理即可求解．∴∠BDC＝∠B＝35°，∠C＝∠1＝22°，∴∠DEC＝180°－∠BDC－∠C＝123°，∴∠BEC＝180°－∠DEC＝57°.

B

课堂练习

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D

A

C

6.

如图，在△AEC和△BED中，∠A＝∠B，点D在边AC

上，AE和BD相交于点O.

（1）若∠2＝42°，求∠AEB的度数；解：（1）∵∠AOD＝∠BOE，∠A＝∠B，∴∠AEB＝∠2＝42°.（2）若∠1＝∠2，AE＝BE，求证：△AEC≌△BED.

6.

如图，在△AEC和△BED中，∠A＝∠B，点D在边AC

上，AE和BD相交于点O.

课堂总结1.通过本节课的学习,你有哪些收获?2