导数大题练习题答案

导教练习题(B)答案

1•(木题满分12分)

已知函数f(x)=ax'+bx2+(c-3a-2b)x+d的图象如图所示,

(I)求c,d的值；

(II)若函数/(x)在x=2久的切线方程为3x+y-11=()，求函数

f(x)的解析式；

(III)在(II)的条件下，函数y=f(x)与y=^-f,(x)+5x+m的图象有

三个不同的交点，求机的取值围•

解：函数/（X）的导函数为fM-3av2+2bx+c-3a-2b........（2分）

(I)由图可知函数八幻的图象过点(0，3)，且/⑴=0

d=3

(4分)

3。+2〃+c—32b=0c=O

（II）依题意/（2）=-3且/⑵=5

12a+4Z?-3。-2Z?=-3

8。+4b-6〃-4方+3=5

解得a=\,b=-6所以/（x）=l-6/+9x+3..................（8分）

（III）/r（A）=3A2-12A+9•可转化为：人3+9尢+3=（一一公+3）+5%+/〃有三个不等实根，

即：g（x）=V-7/+8龙-机与x轴有三个交点；

g'（£l=3x2_]4x+8=（3x_2Xx_4），

2

X（4,+co）

3加4

gQ）+0—0+

g（x）增极大值减极小值增

m,g⑷=T6_〃7・..................（10分）

当且仅当g(2=竺_〃2>0且8(4)=-16-"?<0时5有三个交点，

\3/27

故而，-6<〃苔为所求・(12分)

2・(本小题满分12分)

已知函数f(x)=a\nx-ax-3(。eR),

(I)求函数/3)的单调区间；

(II)函数/(x)的图象的在x=4处切线的斜率为;,若函数心)=。""G)+勺在区

间(1，3)上不是单调函数，求m的取值困♦

解：(I)/'(x)=-^^(x>0)(2分)

X

当〃〉w寸,/(%)的单调增区间为(0,11减区间为[”)

当〃<w寸,/*)的单调增区间为减区间为(0/

当a=l时，/(x)不是单调函数(5分)

(II)/'(4)=---=-^a=-2,f\x)=-2］nx+2x-3

42

/..g(x)=-x3+(—+2)x2-2X,:.g'(x)=x2+(w+4)x-2(6分)

3

g(x)在区间(1,3)上不是单调函数，且g<0)=-2

./八八"2<一3,

•.•一??(8分).•・19(10分)〃2£(-：,-3)(12分)

U(3)>O.zn>—,3

3♦(本小题满分14分)

已知函数/(］)=/+/+区+。的图象经过坐标原点，且在X=1处取得极大值♦

(I)数。的取值围;

(II)若方程/3=-坦F恰好有两个不同的根，求/(幻的解析式；

(III)对于(II)中的函数/(幻，对任意a、/7eR»求证：|/(2sina)-/(2sin尸)区81・

X

解：(I)/(O)=0=>c=O,/(x)=3/+2ax+byf(\)=0=>b=-2a-3

fr(x)=3x2+2ax-(2a+3)=(x-l)(3x+2a+3),

由『'(x)=()=>x=1或x=—2"；3»因为当x=1时取得极大值J

所以一包12>1=>〃<—3，所以a的取值范围是:(-oo-3)；

3

..............(4分)

(II)由下表：

2a+3(一早餐)

(-00,1)

X13

fM+0—0一

极大

极小值

f(x)递增值递减递增

等3+3)2

-a-2

2(2(/+3)

依题意得：—(2^+3)=-,解得：〃=-9

279

所以函数/(x)的解析式是：f(x)=-9x2+\5x

..............(10分)

(III)对任意的实数a］都有一2<2sinaW2,-2K2sinpW2,

在区间［-2，2］有：/(-2)=-8-36-30=-74./(I)=7./(2)=8-36+30=2

/(X)的最大值是/⑴=7,的最小值是f(-2)=-8-36-30=-74

函数/(应在区间［-2,2］上的最大值与最小值的差等于81，

所以|/(2sina)-/(2sin0区81,

................(14分)

4•(本小题满分12分)

已知常数a>()，e为自然对数的底数，函数/(x)=e、-x»^(x)=x2-a\nx•

(I)写出/(幻的单调递增区间,并证明；

（II）讨论函数尸g（£）在区间（Id）上零点的个数・

解：（i）r（x）=^-i>o，得〃幻的单调递增区间是（。，-⑹............（2分）

.*«>()»/(a)>/(O)=l，、即...........(4分)

列表

g'（x）-0+

g（x）单调递减极小值单调递增

当行等时，函数尸鼠幻取极小值g（m）=“「呜），无极大值-

（6分）

由(I)—,,・•'7',\e2a>-,—

a>—22

2

g(|)=l>0，g(ea)=e2a-a2=(ea+a)(e"-a)>0.................(8分)

(i)当2/1，即OvaW2时，函数y=g(x)在区间(W)不存在零点

(ii)当叵>1，即a>2时

2

若豹-呜）>0，即2V时，函数）『（幻在区间（11）不存在零点

若*|（1-1吗）=0，即a=〃时»函数y=g（x）在区间（1,d）存在一个零点x=e；

若却-呜）<0»即〃>2e时»函数），=以处在区间（W）存在两个零点；

综上所述，），=4丫）在（1,目上，我们有结论：

当0<4<2e时，函数/（幻无零点；

当。=2e时，函数/⑴有一个零点；

当a>2e时，函数f（x）有两个零点，

.............（12分）

5•（本小题满分14分）

已次□函数/（x）=ln（x_l）-左（x-l）+l・

（I）当k=1时，求函数/（x）的最大值；

（11）若函数/（X）没有零点，数%的取值围；

解：（I）当左=1时，ra）=二

X-]

定义域为（1，+8），令八幻=0,得42，...........................（2分）

*.*当xe（l,2）吐/。）>0，当xe（2,+a））时,f（x）<0，

「・/a）在。,2）是增函数，在②+8）上是减函数

・•・当x=2时，/（幻取最大值/（2）=0...........................（4分）

（II）①当&4洞'函数y=ln（x-1）图象与函数）=小-1）-1图象有公共点，

设g(x)=2x2-4x+2-。

当〃〈OB寸,有△=16+4x2(2—a)=8a<0，

此时g(x)>0，所以r(x)>0，/(x)在陆上单调递增，

所以/a)min=/(«)=*-4«+2-。8分

当a>0时，△=16—4x2(2—o)=8a>0'

令r(x)>0，即2/-4工+2-。>0，解得+或尤<1一^^；

22

含〃4日1J2aJ2a

令/'")<()'即21—4R+2-"0'角羊付1———<x<\+—^―.

①若1+'郎2e?，即a，2(e?-1尸时，

f(x)在区间回/］单调递减,所以/(*)*=/(/)=64-4芝+4-2〃.

②若e<l+也，即2(e-1-<4<2(/一1)2时间，

2

/⑴在区间间+与］上单调递减，在区间［1+与,上单调递增，

所以f(x)min=/(I+)=~_V2^-3+(2-a)ln(l+.

③若1+也，即0<〃W2(e-l)2时，/(幻在区间［e,/］单调递增»

2

所以/(x),nin=f(e)=/_4e+2-。

42

综上所述，当《22(同-1/时，f(x)min=a-4e+4-2a；

当2(e—l)2〈”2(°2—1)2时，f(x)min=^-V2^-3+(2-a)ln(l+^-)；

2

当a〈2(e—l)2时，/(x)min=e-4e+2-«14分

8•(本小题满分12分)

已知函数f(x)=x(x-6)+aln工在xe(2,+oc)上不•具•有•单调性•

(I)数。的取值围；

(II)若八幻是/(幻的导函数，设以外=/")+6-2，试证明：对任意两个不相等正数

r

占、9,不等式3(司)-且。2)1>考1大-91恒成立,

解：([)/⑴=2]-6+四户-6』,............(2分)

xx

xe(2,+oo)xe(2,*o)/"(X)0,

丁/(工)在上不•具•有•单调性，「.在上有正也有负也有

即二次函数y=2./_6x+a在xe(2,+a5)上有零点.............(4分)

a

y=2/-6x+a是对称轴是x=2»开口向上的抛物线9y=2-22-6-2+a<0

的实数。的取值围(TO,4)...............(6分)

(II)由(I)g(x)=2x+幺-2,

Xx~

方法1:g(x)=/'(x)-"4+6=2—+"--4(x>0)'

xxx"

・•4・,v_ci4_442V_4x4-4/o八、

・〃<4'•・g(zx)=2—7+―>2—-+—=........................................(8分)

XXXXX

\o44,8124(2x—3)

仪A(x)=2—r+-h{x}=——-=-----------

X'XXXX

万⑴在(0,3)是减函数,在(3,+00)增函数，当X=3时，3)取最小值处

22227

.二从而/"）＞羽，（g（x）-|^x），＞0，函数尸g（x）-萨x是增函数，

XpZ是两个不相等正数'不妨设，贝”g（W）-＞g（X）-

*/、/、38/.八•g（xj—g（w）38

.・8（/）-g（M）＞二（/一王），•9一%＞0'・・—!--------＞—

27A,-人227

式")，即lg*i)-g(w)l>净%-毛1.....................(12分)

%—x22727

方法2：Ma，g（%））、Mw,g®））是曲线y=g（x）上任意两相异点，

四*2=2+注厚2-旦，,W2斥，”4

Xj-x2X{x2Xrv2"

4

>2+（8分）

汇石—

设t=J——.r＞0'令{wv=，，«）=2+4t--4r'/（，）=4/（352）»

，52

92

由〃'（/）＞0'得，＞一.由〃'（/）＜0得（）＜/＜-,

33

.•.〃（/）在（0,令上是减函数，在（：,+8）上是增函数，

JJ

.•・〃什）在f=2处取极小值三，.-.«（/）＞2^,.・・所以以二）一8（占）＞西

32727x,-x227

艮臼&（不）一&（芍）1＞句IN一巧|.......（12分）

9•（本小题满分12分）

已当口函数/。）=g/-at+（〃-1）In尤。＞1.

（I）讨论函数的单调性；

（II）证明：若。＜5,则对任意项,工2£（。,+°°）,玉工工2,有"^—＞-L

内一工2

（1）f（©的定义域为（0,+8），八幻—―^^/"+"]=。1）（.+]—4）

XXX

2分

（i）若4-1=1,即4=2»贝|J/'（X）=———.故/（X）在（0,+8）单调增加•

X

（ii）若。-1vl,而。＞1,故1＜"2,则当xe（a-l,l）时,r（x）＜0.

当XW（0M-1）及xw（l,x）时,尸3＞0,故/＞3在3-1,1）单调减少，在（0，aT），

（1,+8）单调增加•

（iii）若即同理可得/"）在（La-1）单调减少，在（0,l）,S-l,+oo）

单调增加♦

(II)考虑函数g(x)=/(X)+X=-X2-+(«-1)InX+X.

由g'(x)=x-(67-l)+-~~->2.x--~~--(a-1)=\-(y/a-1-1)2,

xVx

由于。＜〃5,故g，(x)＞。，即g(x)在(0,+oo)单调增加，从而当X]＞々＞0时有

g(x})-g(x2)＞0,EP/CX])-/(x2)-vxl-x2＞0,

故/区)-/(/)＞_],当0＜玉＜々时'有/3)-/。2)

X]-X2X}-x2x2-X1

10•(木小题满分14分)

已关口函数/(x)=gf+alnx,g(x)=(a+l)x,。工一1•

(1)若函数/(。g(x)在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，数。的取值围；

(II)若。£(1,①(e=2.71828…)，设/(工)=/(幻-如)，求证：当.,/€[1同时，不等式

|尸(七)-尸(%2)1＜1成立,

解：(【)f(x)=x+-,g\x)=a+\'.........(2分)

X

二函数f(x).g(x)在区间u,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，

・•・当xw[1,3]时，/。)超'(幻=如型士^0恒成立,............(4分)

X

(a+l)(x2+r/)>0A»

ci>—1»,,,.fa<—1,,,,

.Y，在xe[l,3]时恒成立，或，在xw[l,3]E寸恒成立，

a>-x~<-x~

*.*-9<x<-l»,\a>-\^a<-9...........(6分)

(II)F(x)=-x2+a\nx-(a+i)x'F\x)=x+--(«+1)=

2rr

丁尸⑴定义域是(0,+co)，tze(l,e]»即a＞l

・••尸(%)在(0,1)是增函数，在(1M)实际减函数，在(&欣)是增函数

当工=1时，尸(幻取极大值加=网1)=—〃—•!"，

2

当时'/(幻取极小值〃?二/3)=々111々——a2-a9...............(8分)

2

/e[l,o]».*.|F(^)-F(x2)|<|A/-m|=Af-/n...............(10分)

i殳G(4)=M_"z=，42_〃]n4_，'贝"6'(。)=。_,4_]，

22

=e]，.二[G(a)]'>0

a

••.G'm)=〃一lna-l在ae(l,0是增函数，/.Gm)〉。'⑴=()

G(〃)=g/-alna-g在。£(1,e]也是增函数.............(12分)

.\G(a)<G(e)，即G(〃)总/一^一品三12_一,,

工121（CT）2,（3-I）21I.〜、।

而一e~一«—=-------1<------------1=1，..G（a）=M—in<\

2222

・・・当5，1€[1M]时，不等式|F（X）-尸（5）1<1成立・.............（14分）

11•（本小题满分12分）

设曲线C:f（x）=lnx-ex（e=2.71828…），/'（x）表示/（x）导函数•

（I）求函数f（x）的极值；

（11）对于曲线C上的不同两点4%,y），8（%，%），求证：存在唯一的小€（内,与），

使直线AB的斜率等于r（%）・

解：（I）f'M=—~e=-——=0，得x='

Xxe

当x变化时，/'"）与/（X）变化情况如下表：

（（）」）J

(-,+<»)

Xeee

（。）+0—

fM单调递增极大值单调递减

当X4时，/(幻取得极大值/(1)=-2'没有极小值；........(4分)

ee

(11)(方法1)・・•/'(/)-砥8，，二^i-ln卫一0

X。x2—X[X()X]

^pxoln--(^-%1)=0'设g(x)=xln上一(工2-王)

内-凡

ga)=Mln迨-*,-X)，g(A)|=ln±-l>0，g(&)是*的增函数'

X,内

<X,'^(Xj)<^(x2)=x2ln^--(x2-X2)=0；

gM-x\n^--(x-X))，8(々)|：Tn±-1>O，8(々)是M的增函数'

2%2%%

•.•占<心'>二g(x,)>g(x)=X]In乜一(％一')=0'

X

.二函数8（幻=幻11±-（工2-内）在（%,毛）有零点/'..................（10分）

X'/—>1,/.ln^->0'函数g（x）=x如强在（%,占）是增函数'

.・.函数g（x）=三二五—In三存（和与）有唯一零点飞，命题成立........（12分）

x百

(方法2)•・•/'(%)=鼬，.一_八"[」6(.7,

%

1

即x0Inx2-x()In4-%]-x2=0»x0e(xpx2)且与唯一

j殳g(x)=工1。42-xlnxi+M_占，贝"g(xj=玉In/-X|In%+玉一/'

1r

再设〃(x)=xln%-xlnx+x—々0<x<x2»/.//(x)=lnx2-lnx>0

/./i(x)=xInx2-xInx+x-x20<x<x2是增函数

g(xi)=h(xi)<h(x2)=O»同理gCq)、。

二.方程xlnx2-xlnX]+X]—々=0在/€（王,三）有角翠........（10分）

一次函数在（%,出）SM=（Inx2-In%））x+x,-x2是增函数

「・方程xln/-xlnX]+X]-々=0在/€（5,与）有唯一解'命题成立......（12分）

注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线。不存在拐点，不给分­

12•（本小题满分14分）

定义「。,），）=（1+»,苍”（。,+00），

（I）令函数〃%）=至（3,现2（2>炉+4）），写出函数/（X）的定义域；

（II）令函数8。）=「（1/脸，+6+云+1））的图象为曲线C，若存在实数ZH吏得曲线C在

处有斜率为一8的切线，数。的取值围；

（III）当x,ywN*且xvy时，求证尸（乂），）>尸（丁,不）,

2

解：（I）Iog2（2x-x+4）>0，即2X-Y+4>1....................（2分）

得函数/5）的定义域是（-1,3），....................（4分）

:232

（II）^（x）=F