1.5 角平分线 第2课时（教学设计）-北师大版(2024)八下

第2课时三角形的三条角平分线教师备课素材示例●情景导入在足球比赛中，球员带球突破到前场(展示一张简化球场图)．球在点A处，球门可以看作线段BC.球员面临选择：是向左带球射门还是向右带球射门？提出问题：老师：“如果球员站在点A，他希望找到球门BC上的一点D，使得他看向两个门柱的视线AD恰好平分∠BAC(即左右视角相等)，这个点D在哪里？”动手探索：让学生在几何纸上画出球门BC和点A，尝试用尺规找出这个“左右视角相等”的点D，并观察点D的位置特点．【教学与建议】教学：利用足球射门导入新课，激发学生的学习兴趣．建议：自由操作后小组讨论方案．●类比导入1.三角形三边垂直平分线的本质是什么？2．三角形三个内角的平分线有什么特点．画一画，你发现了什么？能证明自己发现的结论一定正确吗？首先证明“三角形的三条角平分线交于一点”．用折纸证明、软件演示方式证明．【教学与建议】教学：类比线段垂直平分线和角平分线之间的相似性，学生初步感受到了数学中的和谐，提炼数学中的联系，建立认知结构．建议：让学生先观察三角形三个内角的平分线，然后对比三边的垂直平分线的特点，猜想出三角形三条角平分线的特点．命题角度1尺规作图题此类题目涉及利用尺规作角平分线，考查学生作图方法的熟练性及对作图原理的领悟．【例1】如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P.若点P的坐标为(a，b)，则a与b的数量关系为(A)A．a＋b＝0B．a＋b>0C．a－b＝0D．a－b>0【例2】如图，在直线CD上求作一点P，使点P到射线OA，OB的距离相等．解：如图，作∠AOB的平分线，交CD于点P，则P就是所求作的点．命题角度2利用角平分线的性质解决面积问题此类题目主要考查角平分线的性质，根据角平分线的性质定理，作出三角形某一边上的高是解答此类题目的关键．【例3】如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝__4∶5∶6__．eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例3题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例4题图）))【例4】如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，I为△ABC各内角平分线的交点，过点I作BC的垂线，垂足为点H.若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则IH的长为__2__．命题角度3三角形中角平分线的实际应用三角形内角平分线的交点到三角形三边距离相等，反过来，到三角形三边距离相等的点，除了三个内角平分线的一个交点，还有3个两外角平分线的交点．【例5】如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置在(C)A．△ABC三条中线的交点B．△ABC三边的中垂线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在的直线的交点eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例5题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例6题图）))【例6】如图，三条公路两两相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，加油站可选择的位置共有__4__处．命题角度4线段垂直平分线与角平分线性质的综合题此类题型主要考查的是线段垂直平分线与角平分线的基本性质理解及辅助线的作法，关键点是根据垂直平分线与角平分线的条件想到相关性质，并进行相应的辅助线添加，构建全等，最后进行证明．【例7】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，连接CE.(1)若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；(2)求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．(1)解：∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC，∴∠EAD＝eq\f(1,2)∠BAC＝25°.∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°.∴∠EDA＝90°－25°＝65°.(2)证明：∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°＝∠ACB.又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAC.∵AD＝AD，∴△AED≌△ACD(AAS).∴AE＝AC，ED＝CD.∴直线AD是线段CE的垂直平分线．【例8】如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB交AB的延长线于点N，PM⊥AC于点M.求证：CM＝BN.证明：连接PB，PC.∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，∴PM＝PN，∠PMC＝∠PNB＝90°.∵点P在BC的垂直平分线上，∴PC＝PB.在Rt△PMC和Rt△PNB中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PM＝PN，,PC＝PB，))∴Rt△PMC≌Rt△PNB(HL).∴CM＝BN.高效课堂教学设计1．会证明角平分线的性质定理和判定定理的相关结论．2．角平分线的性质定理和判定定理的综合运用．▲重点三角形三条内角平分线的性质．▲难点综合运用角平分线的判定定理和性质定理解决几何中的问题．◆活动1创设情境导入新课(课件)出示课件，填一填：(1)角平分线上的点到这个角的两边的距离__相等__；(2)在一个角的内部到角的两边距离__相等__的点在这个角的__平分线上__；(3)三角形三边的垂直平分线相交于__一__点，并且这一点到三个顶点的距离__相等__．你知道三角形的三个内角平分线的特点吗？这节课我们将学习三角形三条内角平分线的有关知识．◆活动2实践探究交流新知【探究1】三角形三条内角平分线性质每人都准备一张三角形的纸片，让学生把准备好的三角形拿出来，如图，分别折出三个角的平分线，然后观察三条角平分线有什么特点．发现：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．类比三角形三条边的垂直平分线交于一点的证法写出已知、求证，并尝试完成证明过程．求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别是D，E，F.求证：∠A的平分线经过点P，且PD＝PE＝PF.证明：∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，且PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为D，E，∴PD＝PE.同理，PE＝PF，∴PD＝PE＝PF.∴点P在∠A的平分线上，即∠A的平分线经过点P.【探究2】比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理．请填表：三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于__三角形内一点__交于__三角形内一点__钝角三角形交于__三角形外一点__直角三角形交于__斜边上的中点__交点性质到三角形的__三个顶点__的距离相等到三角形的__三边__的距离相等◆活动3开放训练应用举例【例1】如图，△ABC的边AB，BC，CA的长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于()A.1∶1∶1B．1∶2∶3C．2∶3∶4D．3∶4∶5【方法指导】利用三角形角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形的高相等，底边长分别是20，30，40，利用等高不同底的三角形的面积之比等于底边之比得出答案．答案：C【例2】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.(1)已知CD＝4cm，求AC的长；(2)求证：AB＝AC＋CD.【方法指导】(1)求AC的长，因为AC＝BC，BC＝CD＋DB，也就是求CD＋DB的和，根据角平分线的性质定理可知，CD＝DE＝4cm，可证Rt△DEB是等腰直角三角形，利用勾股定理求得BD的长度；(2)AB＝AE＋EB，因为AE与AC相等，DE与EB相等，可证得AB＝AC＋CD.(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD＝4cm.∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC.∵∠C＝90°，∴∠B＝eq\f(1,2)×90°＝45°，∴∠BDE＝90°－45°＝45°，∴BE＝DE＝4cm.在等腰直角三角形BDE中，由勾股定理，得BD＝4eq\r(2)cm，∴AC＝BC＝CD＋BD＝(4＋4eq\r(2))cm.(2)证明：易证△ACD≌△AED(AAS)，∴AC＝AE，CD＝ED.易得BE＝DE＝CD，∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD.◆活动4随堂练习1．到三角形三边距离相等的点是(C)A．三条高的交点B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点D．不能确定2．如图所示，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，作法的合理顺序是(C)①作射线OC；②在OA和OB上，分别截取OD，OE，使OD＝OE；③分别以D，E为圆心，大于eq\f(1,2)DE的长为半径作弧，在∠AOB内部，两弧交于点C.A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①3．课本P43随堂练习T1◆活动5课堂小结与作业【学生活动】1．你这节课的主要收获是什