2026年高考数学二轮复习专题12 直线与圆（复习讲义）（解析版）

专题12直线与圆目录01析·考情精解 202构·知能框架 303破·题型攻坚 4考点一直线 4真题动向必备知识知识1直线方程的五种形式知识2对称问题知识3直线系方程命题预测题型1直线方程、过定点及与坐标系围成的面积问题题型2直线与圆涉及的对称问题考点二圆 23真题动向必备知识知识1直线与圆的位置关系判断知识2两圆位置关系的判断命题预测题型1直线与圆涉及距离最值问题题型2直线与圆位置关系综合求参数题型3圆与圆位置关系综合求参数命题轨迹透视平面解析几何中直线与圆是中学数学的重要内容,是考查考生学科素养的重要载体,高考对解析几何的考查一般以课程学习情境与探索创新情境为主,注重数学知识的基础性、综合性和应用性的考查，主要考查圆与方程,直线位置关系及其综合问题,主要考查考生的运算求解能力和逻辑思维能力,从近三年的高考试题来看，本专题考查内容覆盖直线、圆,突出考查考生理性思维、数学应用、数学探索等学科素养考点频次总结考点2025年2024年2023年直线T12，5分圆T12，5分T12，5分T12，5分2026命题预测预计在2026年高考中，题型与分值：填空12题(5分)仍是主场，难度中低，突出几何直观与快速计算；解答题或与圆锥曲线、向量等小综合，难度适中。基础方程：圆的标准/一般方程互化，求圆心、半径；直线方程(点斜、斜截、一般式)快速书写与应用。位置关系：判断直线与圆(相交/相切/相离)，求参数；弦长计算(勾股+距离公式)、切线方程(过圆上/外点)、圆上点到直线的最值(d±r)。综合应用：与向量(数量积、模)结合；与圆锥曲线(抛物线焦点/准线、椭圆离心率)小综合；新情景(光的反射、运动轨迹、实际距离)转化为直线与圆问题。强调几何法优先，减少复杂联立计算，重图形与性质应用。增加动态问题：动直线过定点、动圆半径/圆心变化，求参数范围或最值。渗透数学思想：数形结合、转化与化归、分类讨论，提升思维考查权重。考点一直线1．（2024·天津·高考真题，12，5分）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为．【答案】/【详解】圆的圆心为，故即，由可得，故或（舍），故，故直线即，故原点到直线的距离为，故答案为：2．（2023·天津·高考真题，9，5分）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】如图，

因为，不妨设渐近线方程为，即，所以，所以.设,则，所以，所以.因为,所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，解得，所以双曲线的方程为故选：D3．（2007·天津·高考真题，18，15分）设椭圆的左、右焦点分别为，，A是椭圆上的一点，，原点O到直线的距离为．(1)证明；(2)求使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于两点，则．【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【详解】（1）由题设及，，不妨设，所以，，解得，从而，直线的方程为，整理得，原点O到直线的距离为，将代入整理得，即；（2）当时，设圆上任意点处的切线的斜率为，则，，所以，所以经过点处的切线方程为，即，当时，切线方程为或满足上式，所以圆上任意点处的切线方程为，当时，圆上任意点都在椭圆内，故此圆在点处的切线必交椭圆于两点个不同的点，因此是方程组即的解，当时，由得代入得，即，于是，，若，则，所以，由得，在区间内此方程的解为，当时，必有，同理可得在区间内此方程的解为，另一方面，时，，从而，综上所述，使得命题成立，4．（2006·天津·高考真题，12，5分）若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为．【答案】【详解】由题意可设圆心，∵圆与射线相切，则，解得或（舍去），即圆心为，故圆的方程为.故答案为：.5．（2005·天津·高考真题）某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高（米），塔所在的山高（米），（米），图中所示的山坡可视为直线且点在直线上，与水平地面的夹角为，，试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）【答案】此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角最大【详解】试题分析试题解析：如图所示，建立平面直角坐标系，则，，．直线的方程为，即．设点的坐标为，则（）由经过两点的直线的斜率公式，．由直线到直线的角的公式得（）要使达到最大，只须达到最小．由均值不等式．当且仅当时上式取等号．故当时最大．这时，点的纵坐标为．由此实际问题知，，所以最大时，最大．故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角最大．6．（2006·天津·高考真题，12，5分）设直线与圆相交于A,B两点，且弦AB的长为，则=.【答案】0【详解】解：由直线与圆相交于A,B两点，且弦AB的长为，可得圆心到弦的距离为1，可得，故答案：0知识1直线方程的五种形式1.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式不含垂直于轴的直线斜截式不含垂直于轴的直线两点式不含直线和直线截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用2．求曲线（或直线）方程的方法：在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）3．线段中点坐标公式若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式．4．两直线的夹角公式若直线与直线的夹角为，则.5.三种距离①两点间的距离平面上两点的距离公式为．特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离②点到直线的距离点到直线的距离特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离③两条平行线间的距离已知是两条平行线，求间距离的方法：（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．（2）设，则与之间的距离注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．④双根式双根式型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解．知识2对称问题①点关于点对称点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有可得对称点的坐标为②点关于直线对称点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可．③直线关于点对称法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．④直线关于直线对称求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线第一步：联立算出交点第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点第三步：利用两点式写出方程⑤常见的一些特殊的对称点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为．点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．点关于点的对称点为．点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．知识3直线系方程过定点直线系过已知点的直线系方程（为参数）．斜率为定值直线系斜率为的直线系方程（是参数）．平行直线系与已知直线平行的直线系方程（为参数）．垂直直线系与已知直线垂直的直线系方程（为参数）．过两直线交点的直线系过直线与的交点的直线系方程：（为参数）．【易错提醒】在求两条平行线间距离时，先将两条直线前的系数统一，然后代入公式求算.求有关截距相等问题时易忽略截距为零的情况（直线截距式的考点）况题型1直线方程、过定点及与坐标系围成的面积问题1．（2025·天津红桥·模拟预测）直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由直线的斜截式方程求出直线的斜率，最后根据直线斜率与直线倾斜角的关系进行求解即可.【详解】直线的斜率为1，则直线的倾斜角为.故选：A.2．（2025·天津武清·模拟预测）双曲线的右焦点为，设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】设，运用中点坐标公式表示点，由，以及斜率公式解方程组可得，将点A的坐标代入双曲线的方程，结合的关系，求得，即可得离心率.【详解】由题意，，设，则，，因为原点O在以线段为直径的圆上，可得，所以，即①，又直线的斜率，可得②，联立①②可得，即，又点在双曲线上，可得，又，解得，所以.故选：B.3．（2025·天津河西·模拟预测）已知抛物线的焦点为，圆，过点作直线，当圆心到直线的距离最大时，直线的方程为．【答案】【分析】求出抛物线的焦点以及圆心的坐标，分析可知当时，圆心到直线的距离最大时，求出直线的斜率，结合点斜式可得出直线的方程.【详解】对于抛物线，则，，所以，故其焦点为，圆的标准方程为，圆心为，当时，圆心到直线的距离最大时，因为，此时直线的斜率为，因此，直线的方程为，即.故答案为：.4．（2025·天津·二模）已知圆，过点作圆O的切线l，直线l与双曲线的一条渐近线平行，若双曲线上一点M到双曲线左、右焦点的距离之差的绝对值为，则点M到双曲线两条渐近线的距离之积为.【答案】/0.75【分析】判断出在圆上，得到切线方程，从而，结合双曲线定义得到，求出双曲线方程为，设，则，由点到直线距离公式进行求解，得到答案.【详解】由于，故在圆上，其中，由垂直关系可得切线l的斜率为，由渐近线方程的斜率为得，由双曲线定义可知，解得，故，双曲线方程为，两渐近线方程为，设，则，点M到双曲线两条渐近线的距离之积为.故答案为：5．（2025·天津河西·二模）已知抛物线的焦点为，圆：，过点作直线与圆交于两点，且为的中点，则直线的方程为.【答案】【分析】求出抛物线焦点坐标和圆心坐标，依题意可得，求得直线的斜率为可得其方程.【详解】易知抛物线的焦点为，将圆化为标准方程，圆心，半径，如下图所示：若为的中点，结合圆的性质可知，易知，所以直线的斜率为，因此直线的方程为，即.故答案为：6．（2025·天津·二模）以抛物线的焦点为圆心，且过点的圆与直线相交于，两点，则.【答案】【分析】根据题意写出圆心，再根据圆心与圆上一点的距离为半径写出圆的方程，根据圆截直线的弦长求解即可.【详解】抛物线的焦点为，即圆心为，且圆过点，则，所以圆的方程为.圆心到直线的距离，圆截直线的弦长为.故答案为：.7．（2025·天津河东·二模）轴，轴上的截距分别为的直线与圆交于两点，则的值为.【答案】【分析】根据条件，得直线方程为，再利用圆的弦长公式，即可求解.【详解】由题知直线方程为，即，又圆的标准方程为，所以圆的圆心为，半径为，则到直线的距离为，所以，故答案为：.8．（2025·天津和平·二模）已知点P，Q在直线l：上运动，点H在圆C：上，且有，则的面积的最大值为.【答案】3【分析】利用圆的性质求出点到直线距离的最大值，进而求出面积的最大值.【详解】圆C：的圆心，半径，则点到直线的距离，因此圆上的点到直线距离的最大值为，又，所以的面积的最大值为.故答案为：39．（2025·天津和平·二模）若，直线：，直线：，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据两直线的位置关系，结合充分条件、必要条件的概念即可求解.【详解】当时，，则；若，则，解得或.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A10．（2025·天津南开·一模）已知圆与抛物线的准线相切于点为的焦点，则直线被圆截得的弦长为．【答案】【分析】根据已知可得，进而有、，写出，求圆心到直线距离，再应用圆中弦长的几何求法求直线被圆截得的弦长.【详解】由题设，抛物线准线为，则，故，由准线与圆相切且圆心，易知，所以，即，故到的距离，所以直线被圆截得的弦长为.故答案为：题型2直线与圆涉及的对称问题11．（2026·天津·调研）已知椭圆（）的右顶点为A，已知点，，且的面积为.(1)求椭圆的离心率；(2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），且平分，求椭圆的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题设列方程可得，进而求解即可；（2）由（1）可得，，，椭圆的方程为，设直线的方程为，可得，联立直线与椭圆方程，结合题意可求得，进而得到直线的方程，根据平分可得点到直线的距离也为，结合点到直线的距离公式可求得，进而求解即可.【详解】（1）由题意，，，，的面积为，则，即，所以椭圆的离心率为.（2）由（1）知，则，而，即，则，则，则椭圆的方程为，即.易知直线的斜率存在，设直线的方程为，则，即，联立，得，因为直线与椭圆有唯一交点，所以，即，则，解得，则，所以，，即，，所以直线的方程为，即，因为平分，又点到直线的距离为，则点到直线的距离也为，所以，所以，所以椭圆方程为.

12．（2026·天津和平·模拟预测）已知点在曲线上，则的最大值为.【答案】【分析】曲线表示以原点为圆心，2为半径的右半圆，表示点与连线的斜率，作出图形，可知当直线与半圆相切时的斜率即得解.【详解】对变形为，是以原点为圆心，2为半径的右半圆，即点在右半圆上，因为表示点与连线的斜率，设直线斜率为，直线方程为，即，可知当直线与半圆相切时，直线斜率取到最大值，则，整理可得，解得或（舍去），所以的最大值为.故答案为：.13．（2026·天津滨海新·模拟预测）已知直线的方程是：，且圆上恰有3个点到直线的距离为2，则的取值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】计算圆心到直线的距离为，根据圆上点到直线的距离等于2的个数为3个，可得，根据关系式计算即可；【详解】因为圆上恰有3个点到直线的距离都等于2，所以只需要圆心到直线的距离为2即可，直线方程为:，所以圆心到直线的距离为:，解得，故当时,圆上恰有3个点到直线l的距离都等于2．故选：D14．（2026·天津·月考）已知，两点到直线的距离相等，则的值为（

）A．1 B．0 C． D．【答案】D【分析】结合点到直线的距离公式列方程求解即可．【详解】已知点、到直线的距离相等，根据距离公式可得，也即，当时，解得；当时，也即，显然不成立，故．故选：D．15．（2025·宁夏石嘴山·月考）设双曲线的半焦距为c，直线经过，两点，已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为.【答案】2【分析】利用给定条件得到关于的方程，结合因式分解法得到它们的关系，再结合条件并利用双曲线中基本量的性质求解即可.【详解】因为直线经过，两点，所以设直线方程为，化简得，设原点到直线的距离为，由点到直线的距离公式得，因为原点到直线的距离为，所以，故，即，得到，解得或，因为，所以符合题意，此时，故.故答案为：216．（2025·天津滨海新·模拟预测）以下结论：①在空间，若，则四点必共面；②在平面直角坐标系中，到点的距离为1，到点的距离为2的直线有且仅有2条；③在平面直角坐标系中，已知点到直线的距离相等，则；④在平面直角坐标系中，，点满足，则点的轨迹方程为，设此轨迹为C，在轨迹C上存在点，使得；其中说法正确的序号是.【答案】①②【分析】①由空间向量共面定理即可判断；②点到线的距离为定值的直线可以看作以这个点为原点，距离为半径作圆的切线，判断圆与圆的关系后确定公切线的条数即可；③由点到线的距离公式建立等量关系，解得参数值；④设动点坐标由题意建立等量关系化简得到轨迹方程，然后设动点坐标，由题意建立方程，解方程，有解即存在，无解即不存在.【详解】①因为，且，所以四点必共面，①正确；②设圆，圆，，所以圆与圆相交，则圆与圆的公切线有且只有2条，所以到点的距离为1，到点的距离为2的直线有且仅有2条，②正确；③由题设可得，即，则或，解得或，③错误；④设，则，整理得，即，设，则即，，∵，∴，即，整理得，将代入方程可得：，则，故不存在这样的点，④错误.故答案为：①②17．（2025·天津滨海新·模拟预测）已知圆C:上有且仅有四个点到直线l：的距离为2，则实数k的取值范围是

.【答案】【分析】根据题意，问题转化为圆心到直线的距离小于2，列式运算得解.【详解】因为圆上有且仅有四个点到直线的距离为2，又圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，即，解得.故答案为：.18．（2025·天津河西·月考）已知直线，.(1)若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值；(2)当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程.【答案】(1)或(2)或【分析】（1）依据点到直线的距离公式建立方程求解即可.（2）联立求出直线交点，再分类讨论直线是否过原点，求解即可.【详解】（1）设原点O到直线m的距离为，则，解得或；（2）由解得，即m与n的交点为.当直线l过原点时，此时直线斜率为，所以直线l的方程为；当直线l不过原点时，设l的方程为，将代入得，所以直线l的方程为.故满足条件的直线l的方程为或.考点二圆1．（2025·天津·高考真题，12，5分），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则．【答案】2【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可.【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以，圆的半径为，圆心到直线的距离为，故，解得；故答案为：2.2．（2023·天津·高考真题，12，5分）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则．【答案】【分析】根据圆和曲线均关于轴对称，不妨设切线方程为，，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．【详解】易知圆和曲线均关于轴对称，不妨设切线方程为，，所以，解得：，由解得：或，所以，解得：．当时，同理可得．故答案为：．3．（2005·天津·高考真题）给出下列三个命题：①若，则；②若正整数m和n满足，则；③设为圆上任一点，圆以为圆心且半径为1．当时，圆与圆相切．其中假命题的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】本题应对每个命题作出准确判断，①考查不等式性质，通分对分子做差判断正负即可；②用基本不等式判断；③考查两圆的位置关系，关键是找出点P（x1，y1）与点Q（a，b）的位置关系.【详解】解：①a≥b＞﹣1时，由于a（1+b）﹣b（1+a）＝a﹣b≥0，故≥成立，所以①为真命题；②由基本不等式可知：，当且仅当时，等号成立，所以②为真命题；③中P（x1，y1）为圆O1：x2+y2＝9上任一点，（a﹣x1）2+（b﹣y1）2＝1表示P（x1，y1）Q（a，b）两点间的距离为1，又圆O2以Q（a，b）为圆心且半径为1，所以圆O2与圆O1有公共点，但不一定相切.故③是假命题.故选：B4．（2022·天津·高考真题，12，5分）若直线被圆截得的弦长为，则的值为．【答案】【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，即可解得的值.【详解】圆的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为，由勾股定理可得，因为，解得.故答案为：.5．（2004·天津·高考真题，6，5分）若为圆的弦的中点，则直线的方程是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】由垂径定理可知，，可得直线斜率，及直线方程.【详解】由圆，得，，由垂径定理可知，所以直线斜率满足，即，所以直线的方程为：，即，故选：D.6．（2021·天津·高考真题，12，5分）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则．【答案】【分析】设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.【详解】设直线的方程为，则点，由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，则，解得或，所以，因为，故.故答案为：.7．（2020·天津·高考真题，12，5分）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为．【答案】5【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，进而利用弦长公式，即可求得．【详解】因为圆心到直线的距离，由可得，解得．故答案为：．8．（2010·天津·高考真题，12，5分）已知圆的圆心是直线（为参数）与轴的交点，且圆与直线相切，则圆的方程为【答案】【分析】根据直线的普通方程可得圆心坐标，由直线与圆相切可求得半径，进而得圆的方程.【详解】直线（为参数）消参得，令得，所以圆心为，因为直线与圆相切，所以=，所以圆的方程为；故答案为：知识1直线与圆的位置关系判断（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）圆心到直线的距离，则：直线与圆相交，交于两点，；直线与圆相切；直线与圆相离（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）由，消元得到一元二次方程，判别式为，则：直线与圆相交；直线与圆相切；直线与圆相离．知识2两圆位置关系的判断用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：两圆相交；两圆外切；两圆相离两圆内切；两圆内含（时两圆为同心圆）设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系相离外切相交内切内含几何特征代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条数43210常用结论（1）过圆上一点的圆的切线方程为．（2）过圆上一点的圆的切线方程为（3）过圆上一点的圆的切线方程为（4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解：①所求切线一定有两条；②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．【易错提醒】①求有关圆的切线问题易混淆“在”“过”（求有关圆的切线问题）②忽略斜率是否存在（与圆的代数结构有关的最值问题）题型1直线与圆涉及距离最值问题1．（2025·天津静海·模拟预测）已知点为圆上一点，则的最大值为，求取值范围为.【答案】【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可求出圆心坐标与半径，记圆心为，又表示点到的距离的平方，求出，即可求出的最大值，令，再由圆心到直线的距离，求出的取值范围.【详解】圆，即，记圆心为，半径，点为圆上的点，表示点到的距离的平方，又，所以，所以的最大值为；令，则，即，又直线与圆：有公共点，所以圆心到直线的距离，整理得，解得，即取值范围为.故答案为：；.2．（2025·天津南开·模拟预测）已知点，，动点满足.(1)求点的轨迹的方程；(2)过直线上一点作的切线，切点分别为，，求证：直线过定点；(3)过坐标原点作两条互相垂直的直线分别交曲线于点，和，，求的最大值.【答案】(1)；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）设，根据两点距离公式得到方程，化简即可；（2）设的坐标为，根据得到的轨迹方程，将其与的方程作差即可得到直线方程，整理即可得到其过定点；（3）设的方程为，将其的方程联立，利用韦达定理法，计算出的表达式，用替换即可得到表达式，最后得到，最后利用截距法求出最值即可.【详解】（1）设，由得，，化简得，，所以点的轨迹的方程为．（2）由（1）知，点的轨迹是以为圆心，3为半径的圆．设的坐标为，则．由平面几何知识知，，所以以为圆心，为半径的圆为，即，与的方程相减得，即为直线的方程．又，所以直线的方程化为．则有，解得，则直线恒过定点．（3）当直线与直线垂直时，此时，当直线过圆心时，此时，则根据弦长的连续性可知．当直线的斜率不存在或为0时，．当直线的斜率存在且不为0时，设的方程为，则的方程为．联立得，，设，则，则用替换得．所以．设，则，且，其图象为一段圆弧．当时，令，即直线，作出图形，由图可知，当直线过时，有最大值为．3．（2025·天津南开·开学考试）已知，以下结论正确的有（

）①②的最大值为26③的最大值是A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【分析】先把代数问题转化为几何问题，再借数形结合思想，可求解并作出判断.【详解】由，因为可看成圆上的动点与定点的斜率，再结合图形可得：设过点的切线，由相切可得：，解得：或，所以由图可得斜率范围，即，故①正确；因为，所以，而，所以，故②正确；因为，所以，而可看成圆上的动点与两定点的距离之差，如图：由，当且仅当三点共线且在延长线上时取等号，所以的最大值是,故③正确；故选：D4．（2025·天津滨海新·模拟预测）已知曲线，点在曲线上，则下列结论中，正确的个数为（

）①曲线围成的图形的面积为；②的最小值为；③点到直线的距离的最大值为；④曲线有且仅有4条对称轴A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】先分的范围得出曲线的方程，再应用图象数形结合分别判断各个选项.【详解】因为曲线，当且时，曲线的方程可化为；当且时，曲线的方程可化为；当且时，曲线的方程可化为；当且时，曲线的方程可化为.曲线的图象如图所示：

由图可知，曲线围成的图形的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形面积的和，从而曲线围成的图形的面积为，故①正确；表示点与点的连线的斜率，由图可知当（且）与直线相切时取得最小值，设切线为，则，解得或（舍去），所以的最小值为，故②正确；点到直线的距离，结合图象可知点到直线的距离的最大值为，故③错误；由曲线的图像可知，曲线围成的图形有4条对称轴，分别是轴、轴、第一、三象限角平分线以及第二、四象限角平分线，故④正确；故选：B5．（2025·天津·月考）已知圆上的点到直线的距离的最大值是，最小值是，则.【答案】【分析】求出圆心到直线的距离，根据直线与圆的位置关系可得的值.【详解】可化为，圆心，半径，圆心到直线的距离，则直线与圆相离，故，，则.故答案为：6．（2025·天津·月考）过点作直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据直线方程和曲线方程，判断面积最大时的情况，进而列出直线满足的条件，列出方程，求出参数即可.【详解】由，则，，即，所以曲线，是以原点为圆心，2为半径的圆的上半部分，如图.

可知，因为，则当面积取最大值时，，即，半圆的圆心为，半径，此时，所以圆心到直线的距离为.设直线的斜率为，则直线的方程为，，圆心到直线的距离，解得，因为，所以.故选：C.7．（2025·天津滨海新·月考）设直线则直线恒过定点；若过原点作直线的垂线，垂足为，则最大值为.【答案】【分析】将直线变形为，即可求出定点坐标；分析可得点H的轨迹是以原点O和定点为直径端点的圆，求出圆心和半径，根据表示圆上的点H与原点O距离的平方，结合点与圆的位置关系，分析求解，即可得答案.【详解】由题意，令，解得，所以直线恒过定点为；因为，所以点H的轨迹是以原点O和定点为直径端点的圆，则圆心为，半径，所求表示圆上的点H与原点O距离的平方，即因为点H到原点O的距离最大值为圆心到原点O的距离加上半径r，所以，所以的最大值为.故答案为：；8．（2025·天津河东·模拟预测）已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题通过分析直线过定点及垂直关系确定交点轨迹，再结合圆与圆的位置关系求距离最大值.【详解】整理，得，故过定点.整理，得，故过定点.因与垂直（因为），故的轨迹是以和为直径端点的圆.圆心为两点中点：.半径为两点距离的一半：.即的轨迹方程为.圆，其圆心，半径.两圆心与的距离为.的最大值为两圆心距离加上轨迹圆的半径和圆的半径，即.故选：C.9．（2025·天津·开学考试）已知：，点，O是坐标原点．若点B在上，则面积的最大值为（

）A． B．3 C． D．2【答案】B【分析】分析易得在的延长线上，且在圆上时，面积最大，进而求解即可.【详解】由：，即，则圆心，半径为，因为，，则，，又，则，即，要使面积最大，则在延长线上，且在圆上，如图，此时，则面积的最大值为.故选：B.10．（2025·天津·月考）已知点，点关于直线的对称点为点，在中，，则面积的最大值为.【答案】【分析】先求点关于直线的对称点为点，再求出动点的轨迹，进而可得点在或时，三角形的面积最大，从而结合三角形的面积公式即可求出结果.【详解】因为点关于直线的对称点为点，设B的坐标为，则，解得，即点B的坐标为，则，设，因为，即，可得，整理可得，可知动点的轨迹是以圆心为，半径为的圆（x轴上的点除外），当点在或时，三角形的面积最大，，所以面积的最大值为.故答案为：.题型2直线与圆位置关系综合求参数11．（2025·天津·模拟预测）已知直线与圆交于、两点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出圆心到直线的距离，以及圆的半径，利用勾股定理可求得实数的值.【详解】圆的标准方程为，则，可得，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，由勾股定理可得，解得.故选：A.12．（2025·天津·模拟预测）已知以点为圆心的圆与直线相切.(1)求圆的方程；(2)过点的直线与圆相交与，两点，当时，求直线方程：(3)已知实数，满足圆的方程，求的取值范围.【答案】(1)(2)或.(3).【分析】（1）由题意知到直线的距离为圆C的半径，由点到直线的距离公式即可求解；（2）求得圆心到直线的距离，分斜率是否存在两种情况计算可得结论；（3）利用目标式的几何意义，求出圆上的点与定点距离的最值即可求出范围.【详解】（1）由题意知点到直线的距离为圆C的半径，由点到直线的距离公式可得，所以圆的方程为.（2）因为直线与圆相交与，两点，且，利用垂径定理和勾股定理，可得圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为1，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由题意可得，解得，所以直线的方程为，即，综上所述：直线的方程为或.（3）表示点到点的距离的平方，又圆心C到点的距离为，所以点到点的距离的最小值为，最大值为，所以的最小值为9，最大值为49，即的取值范围是.13．（2025·天津南开·月考）已知直线与圆的交点为A，B，则线段的长为.【答案】4【分析】先求出圆的圆心坐标和半径，然后求出圆心到直线的距离，最后根据勾股定理求出弦长.【详解】圆的方程化简为，所以该圆的圆心坐标为，半径.所以圆心到直线的距离为，根据勾股定理得，所以.故答案为：4.14．（2026·天津南开·月考）已知圆和圆，则下列结论中正确的是（

）A．圆与轴相切B．两圆公共弦所在直线的方程为C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线D．两圆的公切线段长为【答案】C【分析】先求出两圆的圆心坐标和半径，然后根据圆与圆之间的位置关系、勾股定理等知识逐项计算即可.【详解】将圆和圆化成标准方程为：圆和圆，所以两个圆的圆心坐标和半径分别为.因为与轴的距离为1，小于该圆的半径2，所以圆与轴不相切，A错误；因为，所以两圆相交，所以两圆的公共弦所在直线方程为两个圆的方程相减，得到方程，即，所以B错误；因为两圆的位置关系是相交，所以有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线，C正确；根据勾股定理可得，公切线段长为，D错误；故选：C.15．（2026·天津红桥·月考）一条光线从点射出，经x轴反射后，与圆相切，则反射光线所在的直线方程为.【答案】或【分析】设出反射光线斜率，得出反射光线方程，利用圆心到反射光线的距离为半径建立关系可求得斜率，得出方程.【详解】点关于轴的对称点为，圆的圆心，半径，由光的反射定律知，反射后光线所在的直线过点，显然该直线斜率存在，设反射光线所在的直线方程为，即，由反射光线与圆相切，得，解得或，所以反射光线所在的直线方程为或.故答案为：或16．（2026·天津红桥·月考）已知圆关于直线对称．(1)求常数(2)已知斜率为的直线与圆交于、两点，若，为坐标原点，求直线的方程．【答案】(1)2(2)【分析】（1）由圆的一般方程，得到圆心和半径，根据题意可得圆心在直线上，进而可求出值；（2）先由题意设，直线的方程为，联立直线与圆的方程，由于则，结合韦达定理，即可求出结果.【详解】（1）圆圆心为,因为圆关于直线对称；所以圆心在直线上；所以，解得（2）由（1）知圆，设直线的方程为，；联立方程化简得到；则，则；因为，所以，即，解得；所以直线的方程为.17．（2026·全国·调研）直线被圆截得的弦长为．【答案】/【分析】由圆的弦长公式计算可得结果.【详解】由圆的方程可得圆心坐标为，半径，则圆心到直线的距离，所以直线被圆截得的弦长为.故答案为：.18．（2026·天津津南·月考）若曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是．【答案】【分析】表示位于轴上方的单位圆，包含，直线过定点，求出直线与圆相切时的值，数形结合得到答案【详解】两边平方得，表示位于轴上方的单位圆，包含，直线过定点，同一坐标系内画出图形如下：

当过点时，，解得，当与相切时，圆心到的距离为，解得，由对称性可知，当曲线与直线有两个不同的交点时，实数的取值范围是.故答案为：题型3圆与圆位置关系综合求参数19．（2026·天津津南·月考）直线：是圆：的一条对称轴，过点作斜率为1的直线，则直线被圆所截得的弦长为．【答案】【分析】根据直线过圆心求出，然后可得直线的方程，再利用点到直线的距离公式和弦长公式可得.【详解】圆的圆心为，半径，由题意可知，直线经过圆心，所以，解得，所以，又直线的斜率为1，所以直线的方程为，即，则圆心到直线的距离，所以，直线被圆所截得的弦长为.故答案为：20．（2026·天津津南·月考）一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】B【分析】求出点关于轴的对称点，再求出过且与已知圆相切的直线的斜率即为反射光线所在直线的斜率.【详解】点关于轴的对称点的坐标为，圆的圆心为，半径为.设过且与已知圆相切的直线的斜率为，则切线方程为即，所以圆心到切线的距离为，解得或，故选：B.21．（2026·天津滨海新·月考）已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是.①点和点关于直线对称；②圆和圆的公共弦长为；③的取值范围为；【答案】②【分析】求出圆心和半径，再结合中垂线知识可判断①；先求出公共弦，再利用弦长公式可判断②；由题意可知，当点和重合时，的值最小，当四点共线时，的值最大，进而可判断③.【详解】对于①，圆的圆心是，半径是，圆即的圆心是，半径是，则两圆心连线的中点为，若点和点关于直线对称，则点在直线上