2026高考数学复习高效培优专题4.3 几何法求线线角、线面角、二面角（解析版）

专题几何法求线线角、线面角、二面角

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近三年：

在立体几何板块，高考命题强调“建系法、几何法、向量法三法并重”，突出化归转化思想。这些年立体几

何大题逐渐显示出非常规建系、配合几何法、向量法等方式。几何法并非“备用”方法，而是与向量法并列的

通性通法。在图形规则或难以建系时，往往是更优选择。而在立体几何小题中，大概率使用几何法跟向量

法，而比较少的能用到建系，建系计算更费时。

预测2026年：

基于以上分析，几何法在2026年高考中预计将继续受到重视，“几何法”的核心价值在于它直接锻炼了立

体几何最本质的空间想象与逻辑推理能力，这在当前“去套路化”的命题趋势下尤为重要。你在备考中需要将

其放在与向量法同等重要的位置进行系统性训练。

题型01定义法求线线角

解｜题｜策｜略

一、概念

异面直线所成角是空间中两条不共面直线的夹角，通过“空间问题平面化”转化为两条相交直线的夹角，

其取值范围为（在求夹角的时候，要注意异面直线所成角的范围）。

�

二、用定义求(异0,面2]直线所成角

利用平行去平移，分别作两条异面直线的平行直线，使这两条平行线的夹角即为原异面直线的夹角。随

后在由平行线构成的三角形中，利用边角关系（如余弦定理、正弦定理）求解角度。

3

1．（2025·贵州·模拟预测）在正三棱柱ABCABC中，已知AAAB，D，E分别在棱AA，BB上，且

1111211

AD2DA1，B1E2EB，则异面直线BC与DE所成角的余弦值为（）

55252

A．B．C．D．

5653

【答案】A

1

【分析】在棱AA上取点G，使得AGAA，异面直线BC与DE所成的角为GBC或其补角，结合余弦

131

定理求解即可.

1

【详解】在棱AA上取点G，使得AGAA，连接BG，CG，如图所示．

131

11

由AD2DA，BE2EB，所以DGAA，BEBB，

113131

又AA1//BB1，所以DG//BE且DGBE，得四边形DGBE为平行四边形，

则有DE//BG，所以异面直线BC与DE所成的角为GBC或其补角．

31

设AB2，则AAAB3，AGAA1，

1231

在GBC中，BGCG22125，BC2，

BG2BC2CG25455

由余弦定理得cosGBC．

2BGBC2525

5

所以异面直线BC与DE所成角的余弦值为.

5

故选：A

2．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，且A1AC60，D、E、F分

别为A1C1、A1B1、BC的中点，则异面直线AD和EF所成角的余弦值为（）

33721

A．B．C．D．

3277

【答案】D

【分析】连接CD、DE，推导出CD//EF，可知异面直线AD和EF所成角等于ADC或其补角，利用余弦

定理求出AC、CD的长，推导出ACCD，可求出ADC的余弦值，即为所求.

【详解】连接CD、DE，如下图所示：

1

因为D、E分别为AC、AB的中点，所以，DE//BC且DEBC，

111111211

因为BB1//CC1且BB1CC1，所以，四边形BB1C1C为平行四边形，

所以，BC//B1C1且BCB1C1，

11

因为F为BC的中点，所以，CF//DE且CFBCBCDE，

2211

所以，四边形CDEF为平行四边形，则EF//CD，

故异面直线AD和EF所成角等于ADC或其补角，

在菱形AA1C1C中，AA12，A1D1，AA1D120，

由余弦定理可得221，

ADAA1A1D2AA1A1Dcos120412217

2

在CC1D中，CC12，C1D1，CC1D60，

1

由余弦定理可得CDCC2CD22CCCDcos60412213，

11112

在ACD中，AC2，CD3，AD7，所以，AC2CD2AD2，故ACCD，

CD321

所以，cosADC.

AD77

21

因此，异面直线AD和EF所成角的余弦值为.

7

故选：D.

3．（2025·新疆喀什·二模）《九章算术》中将正四棱台称为方亭，如图，在方婷ABCDA1B1C1D1中，

282与

AB2A1B14，其体积为，E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线AA1EF所成角的余弦值为（）

3

1232

A．B．C．D．

2322

【答案】D

【分析】根据异面直线夹角的定义，在图中明确夹角，根据正四棱台的几何性质以及体积公式，求得夹角

所在的直角三角形的边长，结合锐角三角函数的定义，可得答案.

【详解】连接AC,A1C1,A1B,A1D，过A1作A1O平面ABCD，其中垂足为O，连接OD,OB，如下图：

在正四棱台ABCDA1B1C1D1中，易知A1ABA1AD，ABAD，

则A1ABA1AD，所以A1BA1D，

因为A1O平面ABCD，OB,OD平面ABCD，所以A1OOB，A1OOD，

易知RtA1OBRtA1OD，所以OBOD，

因为AOAO，ABAD，所以△AOB△AOD，则DAOBAO45，

故OAC，

因为E,F分别为AB,BC的中点，所以EF//AC，

则异面直线AA1与EF的夹角为A1AC，

因为A1O平面ABCD，AC平面ABCD，所以A1OAC，

在正方形ABCD中，AC2AB42，同理可得A1C122，

1

在等腰梯形AACC中，易知AOACAC2，

11211

在正四棱台ABCDA1B1C1D1中，上下底面面积分别为S14，S216，

1

正四棱台的体积，

ABCDA1B1C1D1VA1OS1S2S1S2

3

2821

则，解得AO2

A1O4164161

33

AO2

在△中，22，

RtA1AOAA1AOA1O2cosA1AO.

AA12

故选：D.

4．（2025·江苏南京·三模）在直三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长都相等，D，E，F分别是棱AB，BC，

B1C1的中点，则异面直线DF与C1E所成角的余弦值是（）

191999

A．B．C．D．

10101010

【答案】D

【分析】连接BF，得DFB即为异面直线DF与C1E所成的角，设AB2，利用余弦定理可得答案.

【详解】连接BF，因为C1FBE,C1F//BE，所以四边形C1FBE为平行四边形，

所以BF//C1E，所以DFB即为异面直线DF与C1E所成的角或补角，

设，则，22，

AB2BD1BFB1FBB15

1

连接EF,DE，则DEAC1，因为EF//BB，

21

所以EF平面ABF，DE平面ABF，所以EFDE，

22

EF=BB12，DFEFDE415，

DF2BF2BD25519

由余弦定理得cosDFB.

2DFBF1010

9

所以异面直线DF与CE所成角的余弦值是.

110

故选：D.

5．（2025·江西宜春·模拟预测）已知平面l,Al,Bl,AB3,C,CAl,D,DBl,ACDB4，

π

异面直线AC与BD所成的角是，则线段CD的长为.

3

【答案】5或57

π2π

【分析】作辅助线，可知CAE或CAE，可证ED平面AEC，进而分情况求解即可.

33

【详解】如图，作AE∥BD且AEBD，连接ED,EC，

可知CAE（或其补角）为异面直线AC,BD所成的角，

π2π

则CAE或CAE.

33

因为AE∥BD，且AEBD，可知ABDE是平行四边形，

则DE∥AB,DEAB3，

因为ABAC,ABBD，则EDAC,EDAE，

且ACAEA，AC,AE平面AEC，则ED平面AEC，

且CE平面AEC，则EDCE.又ACAE4，

π

若CAE，则CE4,CD32425；

3

2π

若CAE，则CE43,CD32(43)257.

3

综上所述：CD的长为5或57.

故答案为：5或57.

题型02定义法求线面角

解｜题｜策｜略

线面角的定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的角即为斜线与平面的线面角，范围为

.找线面角的方法有两种定�义�法与体积法。���

°°

[定0义,9法0]：能直接找到点在平面的射影点，能计算出或者，则线面角的正弦或余弦可求。

1．（2025·湖北·三模）�在正�三棱台ABC�DEF中，P,Q分|�别�|为棱|A�B�,|BC的中点，AB2DE，四边形PQFD

为正方形，则BC与平面ACFD所成角的正弦值为（）

3636

A．B．C．D．

3366

【答案】B

【分析】延长AD,BE,CF交于点G，，根据正棱台可判断三棱锥GABC为正三棱锥，根据棱长进而判断

为正四面体，由正四面体的性质即可结合长度以及线面角的定义求解.

【详解】由题意可知，延长AD,BE,CF必交于一点G，

1

由DE=AB,DE//AB可知，D,E分别是GA,GB的中点，

2

1

又点P为线段AB的中点，所以DP//GB,DPGB，

2

1

因P,Q分别为棱AB,BC的中点，则PQ//AC,PQAC，

2

又四边形PQFD为正方形，所以DPPQ，所以ACGB，

由于三棱锥GABC为正三棱锥，因此三棱锥GABC为正四面体，

因此直线BC与平面ACFD所成的角即为直线GC与平面ABC所成角，

取ABC的中心为O，连接GO,OC，则GO平面ABC，

所以GCO为直线GC与平面ABC所成角，

设正四面体GABC的棱长为a，

2

在中，2233，22236，

ABCCOCPaaGOGCOCaaa

332333

GO6

在△GOC中，sinGCO=，

GC3

6

故直线BC与平面ACFD所成角的正弦值为.

3

故选：B

2．（2025·河南·模拟预测）如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，CC1平面ABCD，四边形ABCD为正方

形，AB2,CC12，则直线BC1与平面ACC1A1所成角的正弦值为.

【答案】3

3

【分析】根据线面垂直判定定理得出BD平面ACC1A1，则BC1O即为所求的线面角，再计算求解.

【详解】连接BD,AC与BD交于点O，因为CC1平面ABCD，BD平面ABCD，

所以BDCC1，

因为四边形ABCD为正方形，所以BDAC,BDCC1,AC,CC1平面ACC1A1，

又ACCC1C，则BD平面ACC1A1，

故C1O即为C1B在平面ACC1A1上的射影，BC1O即为所求的线面角，

BO23

又BO2，BC16，故sinBC1O.

BC163

3

故答案为：.

3

3．（2025·广东广州·模拟预测）在三棱锥PABC中，若PAPB，APCBPC60，则直线PC与平

面PAB所成角的正弦值是（）

1236

A．B．C．D．

2233

【答案】B

【分析】设PAPB1，建立空间直角坐标系，设点Cx,y,z，得出向量坐标，利用向量数量积公式结

合已知条件得出x,y，再利用向量的模的计算公式求出z，最后求出线面角的正弦值．

【详解】设PAPB1，以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，建立如下图所示空间直角坐标系，

则P0,0,0,A1,0,0,B0,1,0，设点Cx,y,z，

PA1,0,0,PB0,1,0,PCx,y,z，

APCBPC60，

1

PAPCPAPCcos60，即xPC，

2

1

同理PBPCPBPCcos60，即yPC

2

tt

设PCt，则x,y，

22

PCx2y2z2，

22

tt22t

tz，解得z，

222

直线PC与平面PAB夹角的正弦值等于点C到平面PAB的距离z与PC的比值，即

2

t

z2．

sin2

PCt2

故选：B．

4．（2025·上海嘉定·一模）如图，在四面体VABC中，ACBC，从顶点V作平面ABC的垂线，垂足O

恰好落在ABC的中线CD上.

(1)如果DVDA2，直线VD与平面ABC所成的角为，求直线VA与平面ABC所成角的大小；

4

(2)证明：平面VCD平面VAB.

π

【答案】(1)

6

(2)证明详见解析

【分析】利用几何法找到线面成角，利用线面垂直证明面面垂直.

【详解】（1）连接AO，如图.

由题可知，VO平面ABC，AB平面ABC,则VOAB，

且VDO即为直线VD与平面ABC所成角，

π

即VDO.由ACBC，CD为AB边的中线，

4

可得ABCD.而DVDA2，可得OVOD2，AOAD2OD26.

π

而VAO即为直线VA与平面ABC所成角，且VAO0,,

2

23π

则tanVAO，可得直线VA与平面ABC所成角为.

636

（2）由VOAB，ABCD，CDVOO，CD,VO平面VCD,故AB平面VCD，

而AB平面VAB，则平面VCD平面VAB.

5．（2025·全国·模拟预测）如图所示，在菱形ABCD中，AB4，BAD60，E,F分别为AD,AB的中

点，EFACO，BDACG，将△AEF沿EF翻折，使A到V处，VC26．

(1)证明：VC平面VEF；

(2)求VB与平面BCDEF所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

3

(2)

3

【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定，结合勾股定理逆定理推理得证.

（2）结合（1）的信息可得平面VOC平面BCDEF，法1，利用几何法求出线面角的正弦；法2，建立空

间直角坐标系，利用向量法求出线面角的正弦.

【详解】（1）在菱形ABCD中，AB4,BAD60，则△VEF为等边三角形，VOAO3，OF1，

CO33，VFAF2，EFAC，CF2OF2OC212(33)228，

于是VF2VC222(26)228CF2，即VFVC，

又VO2VC2(3)2(26)227CO2，则VOVC，

而VFVOV,VF,VE平面VEF，所以VC平面VEF.

（2）方法1：由△VEF为等边三角形，得VOEF，又EFAC,ACVOO,VO,OC平面VOC，

则EF平面VOC，又EF平面BCDEF，于是平面VOC平面BCDEF，

在平面VOC内过V作VHAC于H，连接BH，又平面VOC平面BCDEFAC，

因此VH平面BCDEF，VBH为VB与平面BCDEF所成角，

VOVC3262

在RtVOC中，由VOVCVHOC，得VH6，

OC333

263

在Rt△VOH中，OHVO2VH2(3)2()2，

33

32

则GHOGOH33，

33

2343

在Rt△BGH中，BHHG2BG222()2，

33

2643

在Rt△VBH中，VBVH2BH2()2()222，

33

2

6

则VH3，所以与平面所成角的正弦值为3

sinVBH3VBBCDEF.

VB2233

方法2：由△VEF为等边三角形，得VOEF，又EFAC,ACVOO,VO,OC平面VOC，

则EF平面VOC，又EF平面BCDEF，于是平面VOC平面BCDEF，

在平面VOC内过V作VHAC于H，因此VH平面BCDEF，

VOVC3262

在RtVOC中，由VOVCVHOC，得VH6，

OC333

263

在Rt△VOH中，OHVO2VH2(3)2()2，

33

以O为坐标原点，直线OF,OC分别为x,y轴，垂直于底面BCDEF的直线Oz为z轴建立空间坐标系，

326226

则平面BCDEF的法向量为n(0,0,1)，点B(2,3,0),V(0,,)，VB(2,3,)，

3333

26

VBn

设VB与平面BCDEF所成角为，则33，

sincosVB,n

VBn2213

3

所以VB与平面BCDEF所成角的正弦值为.

3

题型03体积法求线面角

解｜题｜策｜略

体积法：如果没法直接找到点在平面的射影点，则可以看看题目条件中是否有跟体积有关的信息，

通过体积求出点到平面的�高度ℎ�，则线面角的�正弦可求。

��

1．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知三棱锥PABC的体积为1，ABC是边长为2的正三角形，且PA2，

则直线PA与平面ABC所成角的正弦值为（）

123

A．B．C．D．1

222

【答案】C

【分析】由体积和底面积，可求出顶点P到底面ABC的垂直高度h，进而由直线与平面所成角的正

弦值等于该直线与平面内某条直线(投影)形成的直角三角形中，计算即可求得结果.

3

【详解】ABC是边长为2的正三角形，其面积为：S223.

ABC4

因为三棱锥的体积为和底面积，

PABC1SABC3

113

得：VSh3h1.解得：h3.

3ABC33

h3

设直线PA与平面ABC所成角为，所以sin.

PA2

故选：C

2．（2025·甘肃·二模）如图，在三棱锥SABC中，SA平面ABC，BAC90且SAABAC2，

6

若在△SBC内（包括边界）有一动点P，使得AP与平面SBC所成角的正切值为，则点P的轨迹长为（）

2

4π2π

A．B．πC．D．6

33

【答案】C

6

【分析】过A作AH平面SBC，H为等边△SBC的中心，由等体积发可得AH，则AP与平面SBC所

3

22

成角为APH，所以PH，P的轨迹为以H为圆心，以为半径的落在△SBC内的圆弧．

33

【详解】过A作AH平面SBC，因为SAABAC2，

所以△SBC是边长为2的等边三角形，易知H为△SBC的中心，

11113

由VSABCVASBC，则22222AH，

32322

6

则AH，AP与平面SBC所成角为APH，

3

66

因为AP与平面SBC所成角的正切值为，所以tanAPH，

22

22

解得PH，所以P的轨迹为以H为圆心，以为半径的落在△SBC内的圆弧．

33

23π

根据SH，可知四边形SMHN是菱形，且MHN，

33

2π

根据对称性可知：P所形成的轨迹是三段等长的圆弧，故P的轨迹长为πr．

3

故选：C

【点睛】关键点点睛：根据线面角的定义找到AP与平面SBC所成角，从而得P的轨迹是解题关键.

3．（2025·山东·模拟预测）如图，AB是O的直径，PA与O所在的平面垂直，PAAB2，C是O上

的一动点（不同于A,B），M为线段PB的中点，点N在线段PC上，且ANPC．

(1)求证：ANMN

(2)当ACBC时，求直线PC与直线AM所成角的余弦值

(3)当三棱锥PAMN的体积最大时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

3

(2)

6

6

(3)

6

【分析】（1）应用线面垂直判定定理得出BC平面PAC，AN平面PBC进而得出线面垂直；

（2）应用异面直线所成角结合余弦定理计算求解；

h6

（3）先根据线面垂直得出点H到平面PAM的距离，进而结合基本不等式得出正弦值为．

PC6

【详解】（1）因为PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC，

又因为BCAC，PAACA,PA,AC平面PAC，所以BC平面PAC，

又因为AN在平面PAC内，所以ANBC

又因为ANPC，PCBCC,PC,BC平面PBC，所以AN平面PBC，

又因为BN平面PBC，所以ANBN．

（2）因为ACBC，所以AC2，所以PC6

又因为PAB为等腰直角三角形，M为PB的中点，所以AM2

6

取BC的中点为S，连接MS，则MS//PC，且MS，

2

所以AMS为异面直线PC，AM所成的角或其补角

210

在直角ACS中，AC2,CS，所以AS，

22

610

在△AMS中，AM2,MS,AS，

22

AM2MS2AS23

所以cosAMS，

2AMMS6

3

直线PC与直线AM所成角的余弦值为．

6

（3）设CAB，则AC2cos，

设CPA，则AC2tan2cos．

过点N作AC的垂线，垂足为H，

由于△PAM是确定的，

所以当三棱锥PAMN的体积最大时，

即为点N到平面PAM的距离最大，

即点H到平面PAM的距离最大．

过点H向AB作垂线，垂足为T，又因为PA平面ABC，

所以PAHT，PAABA,PA,AB平面PAB，所以HT平面PAB，

所以HT为点H到平面PAM的距离．

2tan2tan

故HTAHsinANcossin2sincossinsin1tan2，

1tan21tan2

2

2tan21tan2

4tan21tan2

221，

HT222

1tan21tan22

223

当2tan1tan，即tan时等号成立

3

3

此时，cos，则点C到平面PAB的距离为

3

22

hACsin2cossin，

3

h6

故直线PC与平面PAB所成角的正弦值为．

PC6

4．（2025·陕西西安·二模）如图，已知三棱锥PABC,ABACCP1,BP2,BC2,CAP30.

(1)证明：平面PAC平面ABC；

(2)若三棱锥PABC的各顶点都在球O的球面上，求球O的半径：

(3)求直线AP与平面BCP所成的角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

5

(2)

2

7

(3)

7

【分析】（1）先由几何知识证明ABAP及ABAC，再利用线面垂直证明AB平面PAC，即可求证；

（2）建立空间直角坐标系，利用球心到球面上各点距离相等列出相应等式，即可求解；

（3）结合（2）利用空间向量法求解线面夹角.

【详解】（1）在ACP中，由ACCP1，得CAPAPC30，所以ACP120，

1

所以AP2AC2PC22ACCPcosACP112113，

2

所以AP3.

又因为AB1,BP2，所以AB2AP2BP2，所以ABAP.

又因为ABAC1,BC2，所以AB2AC2BC2，所以ABAC，

又因为APACA,AP､AC平面PAC，

所以AB平面PAC，又AB平面ABC，所以平面PAC平面ABC.

（2）由（1）可知，以A为原点，AB,AC分别为x轴和y轴正方向建立如图所示空间直角坐标系Axyz，

33

则A0,0,0,B1,0,0,C0,1,0,P0,,，

22

设球心Oa,b,c，半径R，则AOBOCOPOR，所以

22

2222222222332，

abc(a1)bca(b1)cabcR

22

11355

解得a,b,c,R，所以球O的半径为.

22222

3313

（3）由（2）知，AP0,,,BC1,1,0,CP0,,，

2222

mBC,mBC0,

设平面BCP一个法向量分别为mx,y,z，则，即

mCPmCP0

xy0

3

则13，取x1，则得m1,1,；

yz03

22

设直线AP与平面BCP所成的角为，所以

31

mAP227

sincosm,AP.

mAP77

3

3

5．（2025·上海静安·一模）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，点E、F分别在边AD、CD上，

22

且AE，CF．

33

(1)证明：AC//平面B1EF；

(2)若AA12，求直线BB1与平面B1EF所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

597

(2)

97

【分析】（1）根据平行线的性质可得AC//EF，进而可证线面平行；

（2）方法一：建系标点，求平面B1EF的法向量，利用空间向量求线面夹角；方法二：利用等体积法求点B

到平面B1EF的距离，进而求线面夹角.

22EDDF1

【详解】（1）因为AE，CF，则，可得AC//EF，

33AEFC2

且AC平面B1EF，EF平面B1EF，所以AC//平面B1EF.

（2）方法一：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

如图所示：

11

则B1,1,0,B11,1,2,E,0,0,F0,,0，

33

211

可得BB10,0,2,EB1,1,2,EF,,0，

333

2

nEBxy2z0

13

设平面B1EF的法向量为n(x,y,z)，则，

11

nEFxy0

33

55

令x3，则y3，z，可得n3,3,，

22

nBB5597

1

cosn,BB1

则nBB9797，

12

2

597

所以直线BB1与平面B1EF所成角的正弦值是．

97

1327

方法二：由题意可知：BEBF，EF，B1EB1F，

333

22

121325

则，

SBEF

233618

22

127297

S，

B1EF

233618

设点B到平面B1EF的距离为d，

因为三棱锥B1BEF的体积即为三棱锥B-B1EF的体积，

151971097

则2d，解得d，

31831897

1097

设直线BB与平面BEF所成角为，则d597，

11sin97

BB1297

597

所以直线BB1与平面B1EF所成角的正弦值．

97

题型04定义法求二面角

解｜题｜策｜略

二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两

个半平面叫做二面角的面.在两个半平面作两条与棱垂直的射线，如图则它们组成的角为二面角的平

面角，范围为