专题2.3 导数大题证明不等式归类（培优热点专练）（全国适用）（原卷版及解析）

1/10专题2.3导数大题证明不等式归类内容导航内容导航热点解读题型突破限时训练热点内容解读深度剖析解读热点：分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。热点题型突破逐一剖析解题归纳：对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。热点限时训练模拟实战巩固提升：限时完成题目训练，提升解题能力。近三年：1、导数与不等式的结合是近3年的高考命题热点，以解答题为主，其分值高、难度大、区分度强，是决定考生能否获得高分的“胜负手”．2、它体现在：①综合性增强：单一方法难以解决，需要多种技巧组合②情境化背景：可能融入实际应用情境，但核心仍是导数工具运用；③创新点预测：与三角函数、抽象函数等结合的可能性增大。预测2026年：1、导数与不等式的结合题极大概率会继续作为压轴题出现.题可能会在函数形式上创新，例如与三角函数(sinx,cosx)结合，增加函数本身的复杂性，但核心方法不变——求导、分析单调性、找最值、证不等式。会更加注重对代数变形能力和逻辑推理能力的考查。单纯的套用模板会越来越难得分，需要真正理解每一步推导的目的。2、导数证明不等式的思想和方法，渗透在众多题型中：①零点问题：​要证明函数有唯一零点，往往需要先证明函数在零点两侧单调(利用不等式)，或证明函数在某个区间内大于0或小于0。②参数范围问题：​求使不等式恒成立的参数范围，是导数不等式的直接应用。③数列不等式：​压轴题的最后一问有时会与数列结合，利用前面导数证明的结论进行放缩，求和证明数列不等式。题型01直接构造函数法解｜题｜策｜略1利用导数证明不等式，最简单的方法就是直接构造函数法：证明不等式fx>g(x)，转化为证明Fx2在构造函数时，要想想构造的函数是否复杂，计算量如何；求最值时，要确定构造的函数是否有最值。1（24-25高二下·江苏连云港·月考）下列四个不等式①lnx<x<ex②xlnx≥x−1③lnA．1 B．2 C．3 D．42(25-26高三上·北京丰台·期中)已知函数fx(1)求曲线y=fx在点0,f(2)求证：当x∈−∞,03(2025·内蒙古赤峰·一模)已知函数fx(1)求函数fx在点0,0(2)证明：当x∈0,+∞时，(3)求函数gx题型02利用第一问结论求解解｜题｜策｜略在一些试题中，第一问往往会给到第二问一些提示信息，有如下几种情况：1可利用第一问的单调性提炼出不等式；2可利用第一问的最值提炼出常数不等式；3可利用第一问构造新的函数等等。1(25-26高三上·上海·单元测试)已知函数fx=ae(1)求函数fx(2)当a≥1时，求证：fx2(2023·吉林长春·模拟预测)已知函数f(x)=1(1)求fx(2)证明：ln43(25-26高三上·安徽·期中)已知函数fx(1)讨论fx(2)若a<−2，证明：当x>2时，fx4(25-26高三上·安徽淮北·期中)设函数f(x)=(1)a=−1时，求函数f(x)的最大值.(2)讨论f(x)的单调性.(3)当a<0时，证明：f(x)≤−1题型03证明数列不等式解｜题｜策｜略1遇到数列的不等式，方法较多，比如数学归纳法、放缩法、导数法等；在利用导数法时，关键在于构造函数；2要注意利用第一问或第二问的引导，从中找到构造函数的思路。1(25-26高三上·四川自贡·月考)已知函数fx=ax+ln(1)讨论函数fx(2)若不等式fx≤0在x∈−1,+(3)当a=1时，定义数列bn满足：b1=1，bn=fbn+12(2025·甘肃武威·模拟预测)已知函数fx(1)讨论fx(2)若∀x∈1,+∞，fx(3)若an=lnn+1n+1，数列an的前题型04证明数列不等式之无限和裂项型解｜题｜策｜略导数与数列结合的不等式证明近几年多见，不等式中有x1+x2+⋯+xn1(25-26高三上·甘肃·月考)已知函数f(x)=ln(1)若f(x)在(0,+∞)上单调递增，求实数(2)设n∈N∗，求证：2(25-26高三上·四川广安·月考)已知a2=1(1)证明：1an为等差数列，并求(2)令bn=anan+1，Tn3(2025·广东佛山·一模)已知函数fx=e(1)讨论fx(2)若a为正整数n，记此时fx的零点为xn.证明：题型05利用函数“凹凸性”证明不等式解｜题｜策｜略1对于一些指幂对函数型函数，具有明显的“凹凸性”，在不等式中可分离出两个函数，而它们的凹凸性是不同的，结合图形能较好得到解题思路；2或求出它们的最值再比较，或利用切线证明；3如何分离出两个具有不同凹凸性的函数，是个难点，了解一些常见的函数是必要的。1(2025高三·全国·专题练习)已知函数gx=xlnx，2(25-26高三上·山东青岛·月考)已知函数fx(1)若fx是单调递减函数，求实数a(2)当a≥1时，证明：fx题型06同构法解｜题｜策｜略1在证明不等式构造函数时，想直接看出来一般会有难度，可能要对不等式进行变形，此时就要用到同构的方法；2一些常见的同构变形：x+ln⁡x=ln1设x＞0，y＞0，若ex+lny＞x+y，则下列选项正确的是()A．x＞y B．x＞lny C．x＜y D．x＜lny2（2025·广东佛山·一模）若ea+lnA．0<a<lnb B．lnb<a<0 C．1<3（2022·陕西宝鸡·一模）已知a>1，b>1，则下列关系式不可能成立的是（

）A．eblna≤ab B．eblna≥ab题型07切线放缩型解｜题｜策｜略1证明不等式时，有时候要适当放缩，但是如何放缩与放缩到什么程度是个难点；2对于一些具有凹凸性的函数，我们可以采取切线放缩，此时要数形结合，了解构造的函数的基本图形与性质，在极值点或最值点的位置往往是找到切线的关键；3常见的不等式elnx≤x1已知函数fx=lnx−x2（25-26高一上·新疆喀什·期中）已知函数fx(1)若fx≥0恒成立，求实数(2)证明：当x>0时，xe3已知函数f(x)＝ex﹣1﹣x﹣ax2．(1)当a＝0时，求f(x)的单调区间；(2)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(3)若x＞0，证明：(ex﹣1)ln(x+1)＞x2．题型08极值偏移之和型解｜题｜策｜略1在极值偏移问题中，证明类似x1+x2常见的有(1)极值点偏移(f'f(2)拐点偏移(fx1(2025高三·全国·专题练习)若fx=xlnx−a有两个不等的零点x12(25-26高三上·山东菏泽·期中)已知函数fx(1)a=1时，求曲线y=fx在点0,f(2)fx有2个零点x1，x2(i)求a的取值范围；(ii)证明：x13(2025·四川眉山·模拟预测)已知函数fx=lnx+ax2−3x+2(1)求a的值；(2)求fx(3)若fx1=fx2题型09极值偏移之积型解｜题｜策｜略1在极值偏移问题中，证明类似x12有时候积型可以通过证明和型后再用基本不等式证明。1(25-26高三上·安徽六安·月考)已知函数fx(1)讨论fx(2)设fx的导函数为f'x，若fx有两个不相同的零点①求实数a的取值范围；②证明：x12(25-26高三上·山西·月考)已知函数fx(1)若a=7，求fx(2)若fx有两个不同的零点x(i)求a的取值范围；(ii)证明：x13(25-26高三上·安徽·月考)已知函数fx=e(1)分析函数gx(2)若函数exfx−mx−x>1(3)令ℎx=xfx−gx，若存在x题型10极值偏移之平方型解｜题｜策｜略1在极值偏移问题中，证明类似x12部分题目中可以得到和型或积型不等式后，再用基本不等式证明的。1(25-26高三上·河北·月考)已知函数f(x)=lnx−x−a，且f(x)有两个零点(1)求a的取值范围；(2)证明：x12(25-26高三上·四川成都·期中)已知函数fx(1)当a=1时，求fx在1,f(2)设gx=x2+1ln(3)若对任意x∈0,+∞，都有fx+1题型11比值换元型解｜题｜策｜略在证明不等式时，遇到类似x2−x1ln1(25-26高三上·天津蓟州·期中)已知函数fx(1)求fx(2)若fx有两个正零点x1,(i)求a的取值范围；(ii)求证：x12(25-26高三上·河南·期中)已知函数fx(1)讨论fx(2)当a=4时，若不等式x2+bx+cf(3)若fx有两个不同的零点x1，x2求实数k的最小值.附：当x→1时，x−1ln3(25-26高三上·山西运城·期中)已知A，B，C为函数f(x)图象上不同的三点．它们的横坐标xA,xB,xC依次成等差数列，且函数f(x)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)已知函数F(x)=f(①证明：当b>0时，F(x)是其定义域上的“等差偏移”函数；②当b=1时，函数F(x)=f(lnx)，数列an满足an+1=Fan题型12三角函数型不等式证明解｜题｜策｜略1三角函数型的不等式，在导数与不等式结合的题型中最近较为多见，难度较大；2证明三角函数型不等式，往往用到三角函数的有界性、必要性探路、分段处理等手段。1（2025·山东济南·一模）已知0<α<β<π2，则（A．sinα−sinβ<α−βC．αsinβ<βcos2(25-26高三上·河南·月考)设函数fx(1)求证：函数fx(2)当a=1时，求证：fx(3)若fx≤x+k的解集为π23(2025·广东·模拟预测)设函数fx(1)若a=−1，证明：当x∈[0,π2](2)若a=1，证明：fx(3)若存在a≥1，使得当且仅当x∈π2,π时，4(25-26高三上·湖南长沙·月考)已知函数fx(1)判断函数fx在区间−(2)若函数kfx>x2sin(3)求证：12(建议用时：60分钟)1（23-24高二下·广东广州·期末）下列四个不等式①lnx<x<ex，②ex−1≥x，③lnA．1 B．2 C．3 D．42（2022·江苏·二模）已知实数a，b∈(1，+∞)，且A．1<b<a B．a<b<2a C．2a<b<ea 3（2025高三·全国·专题练习）已知函数fx=ex−ax+a有两个不同的零点xA．1<x1<C．x1−1x4(25-26高三上·天津蓟州·期中)已知函数fx(1)求曲线y=fx在点1,f(2)当x∈0,+∞时，求证：5(25-26高三上·安徽·月考)已知函数fx(1)当a=−1时，求f(x)的单调区间；(2)设gx=a2x+6(2024·江苏扬州·模拟预测)已知函数fx(1)若fx≤0恒成立，求(2)若fx有两个不同的零点x1,7(25-26高三上·云南红河·月考)已知函数f(x)=ex−1−xex，正项数列a(1)求函数f(x)的极值；(2)判断数列an(3)证明：2n8(25-26高三上·河北沧州·期中)已知函数fx(1)若∀x∈1,+∞，fx(2)当a=0时，gx①判断函数gx在0,②证明：12

专题2.3导数大题证明不等式归类内容导航内容导航热点解读题型突破限时训练热点内容解读深度剖析解读热点：分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。热点题型突破逐一剖析解题归纳：对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。热点限时训练模拟实战巩固提升：限时完成题目训练，提升解题能力。近三年：1、导数与不等式的结合是近3年的高考命题热点，以解答题为主，其分值高、难度大、区分度强，是决定考生能否获得高分的“胜负手”．2、它体现在：①综合性增强：单一方法难以解决，需要多种技巧组合②情境化背景：可能融入实际应用情境，但核心仍是导数工具运用；③创新点预测：与三角函数、抽象函数等结合的可能性增大。预测2026年：1、导数与不等式的结合题极大概率会继续作为压轴题出现.题可能会在函数形式上创新，例如与三角函数(sinx,cosx)结合，增加函数本身的复杂性，但核心方法不变——求导、分析单调性、找最值、证不等式。会更加注重对代数变形能力和逻辑推理能力的考查。单纯的套用模板会越来越难得分，需要真正理解每一步推导的目的。2、导数证明不等式的思想和方法，渗透在众多题型中：①零点问题：​要证明函数有唯一零点，往往需要先证明函数在零点两侧单调(利用不等式)，或证明函数在某个区间内大于0或小于0。②参数范围问题：​求使不等式恒成立的参数范围，是导数不等式的直接应用。③数列不等式：​压轴题的最后一问有时会与数列结合，利用前面导数证明的结论进行放缩，求和证明数列不等式。题型01直接构造函数法解｜题｜策｜略1利用导数证明不等式，最简单的方法就是直接构造函数法：证明不等式fx>g(x)，转化为证明Fx2在构造函数时，要想想构造的函数是否复杂，计算量如何；求最值时，要确定构造的函数是否有最值。1（24-25高二下·江苏连云港·月考）下列四个不等式①lnx<x<ex②xlnx≥x−1③lnA．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【知识点】利用导数证明不等式【分析】由不等式构造函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，可得答案.【详解】对于①，令y=x−lnx，求导得y'=1−1当0<x<1时，y'<0，当x>1时，则函数y=x−lnx在(0,1)上单调递减，在所以x−lnx≥1>0，即令y=ex−x，求导得y'=当x<0时，y'<0，当x>0时，则函数y=ex−x在(−所以ex−x≥1>0，即对于②，令y=xlnx−x+1，求导可得y'=ln当0<x<1时，y'<0，当x>1时，则函数y=xlnx−x+1在(0,1)上单调递减，在所以xlnx−x+1≥0，即对于③，令y=lnx−x+1，求导得y'=1当0<x<1时，y'>0，当x>1时，则函数y=lnx−x+1在(0,1)上单调递增，在所以lnx−x+1≤0，即ln对于④，令y=x−sinx，求导可得y'=1−cos所以函数y=x−sinx在(−∞,+∞)上单调递增，由所以当x>0时，x>sin故选：C.2(25-26高三上·北京丰台·期中)已知函数fx(1)求曲线y=fx在点0,f(2)求证：当x∈−∞,0【答案】(1)y=−x(2)证明见解析【知识点】求在曲线上一点处的切线方程(斜率)、利用导数证明不等式【分析】(1)根据导数几何意义可求得切线斜率，结合f0(2)构造函数gx=ln1−x+【详解】(1)∵fx定义域为−∞,1，f'x∴y=fx在0,f0处的切线方程为(2)令gx则g'x=−11−x∴gx>g0=03(2025·内蒙古赤峰·一模)已知函数fx(1)求函数fx在点0,0(2)证明：当x∈0,+∞时，(3)求函数gx【答案】(1)y=x(2)证明见解析(3)1【知识点】求在曲线上一点处的切线方程(斜率)、利用导数证明不等式、由导数求函数的最值(不含参)【分析】(1)根据导函数的几何意义，求出在点0,0处的导函数值，写出切线方程即可.(2)根据函数单调性与导函数的关系，通过单调性，说明不等式恒成立.(3)根据导数说明函数单调性，进而根据函数奇偶性，以及函数单调性，说明函数的最小值，求出结果.【详解】(1)∵f∴fx在点0,0处的切线的斜率k=∴fx在点0,0处的切线的方程为y=x(2)设ℎx=fx∴ℎ因为−1≤cosx≤1，∴ℎx在0,+∴ℎx<ℎ0=0，即所以当x∈0,+∞时，(3)∵gx的定义域是R，对于∀x∈R，都有且g−x=1g'x=x−sin由(2)知，当x∈0,+∞时，∴gx在0,+因为gx为偶函数，所以gx在−∞∴当x=0时，gmin题型02利用第一问结论求解解｜题｜策｜略在一些试题中，第一问往往会给到第二问一些提示信息，有如下几种情况：1可利用第一问的单调性提炼出不等式；2可利用第一问的最值提炼出常数不等式；3可利用第一问构造新的函数等等。1(25-26高三上·上海·单元测试)已知函数fx=ae(1)求函数fx(2)当a≥1时，求证：fx【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【知识点】利用导数求函数(含参)的单调区间、利用导数证明不等式、由导数求函数的最值(不含参)【分析】(1)求导，即可结合分类讨论求解，(2)根据函数的单调性可得最值点，即可代入求证.【详解】(1)f'①若a≤0，f'x≤0恒成立，此时函数f②若a>0，令f'x>0，得x>−lna此时函数fx的单调增区间为−lna,+综上所述，当a≤0时，函数fx的单调减区间为−当a>0时，函数fx的单调增区间为−lna,+(2)由(1)得a≥1，函数fx在x=−lna因为a≥1，所以lna≥0即函数fx的最小值f−ln2(2023·吉林长春·模拟预测)已知函数f(x)=1(1)求fx(2)证明：ln4【答案】(1)0(2)证明过程见解析【知识点】利用导数证明不等式、由导数求函数的最值(不含参)【分析】(1)利用导数的性质进行求解即可；(2)利用(1)的结果，取特殊值代入进行证明即可.【详解】(1)显然该函数的定义域为全体正实数，由f(x)=1当x>1时，f'x>0当0<x<1时，f'x<0因此fx(2)由(1)可知：fxmin=0即ln1当x=34时，3(25-26高三上·安徽·期中)已知函数fx(1)讨论fx(2)若a<−2，证明：当x>2时，fx【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【知识点】利用导数求函数(含参)的单调区间、利用导数证明不等式、函数单调性、极值与最值的综合应用【分析】(1)求导可得f'x解析式，分别讨论a=−2、a>−2和(2)由(1)可得fx的单调性和最大值f−a=−ae−a，只需证【详解】(1)由题意f'①若a=−2时，f'x=−x−22②若a>−2时，此时−a<2，所以当x∈−∞,−a,2,+∞时，所以fx在−∞,−a③若a<−2时，此时−a>2，所以当x∈−∞,2,−a,+∞时，所以fx在−∞,2(2)若a<−2，由(1)可得，fx在2,−a上单调递增，在−a,+所以fx在区间2,+∞上有最大值f−a令gx=x当x>1时，g'x<0，所以g由于−a>2，所以g−a<g2所以若a<−2，当x>2时，fx4(25-26高三上·安徽淮北·期中)设函数f(x)=(1)a=−1时，求函数f(x)的最大值.(2)讨论f(x)的单调性.(3)当a<0时，证明：f(x)≤−1【答案】(1)−(2)答案见解析(3)证明见解析【知识点】利用导数求函数(含参)的单调区间、利用导数证明不等式、由导数求函数的最值(不含参)、函数单调性、极值与最值的综合应用【分析】(1)求出导函数，根据导函数正负判断出原函数单调性，即可得出最大值；(2)求出导函数，结合定义域和a的正负分类讨论即可；(3)由(2)的讨论得出f(x)max=f(−【详解】(1)函数fx的定义域为x∈(0,+当a=−1时，f(x)=ln∴f当x∈(0,13)当x∈(13,+∴f(x)(2)f(x)定义域为0,+∞，f若a≥0，则f'(x)>0,∴f(x)在若a<0,则x∈(0,−13a)x∈(−13a,+综上所述：a≥0时，f(x)在0,+∞

a<0时，f(x)在(0,−13a)(3)由(2)知，a<0时，f(x)∴f(x)≤−12a−2等价于ln

设g(x)=lnx−x+1，当x∈(0,1)时，g'当x∈(1,+∞)时，∴g(x)max=g(1)=0，∴当x∈从而a<0时，ln(−1题型03证明数列不等式解｜题｜策｜略1遇到数列的不等式，方法较多，比如数学归纳法、放缩法、导数法等；在利用导数法时，关键在于构造函数；2要注意利用第一问或第二问的引导，从中找到构造函数的思路。1(25-26高三上·四川自贡·月考)已知函数fx=ax+ln(1)讨论函数fx(2)若不等式fx≤0在x∈−1,+(3)当a=1时，定义数列bn满足：b1=1，bn=fbn+1【答案】(1)答案见解析(2)−1(3)证明见解析【知识点】利用导数求函数(含参)的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式、由递推关系证明等比数列【分析】(1)求导，分a≥0和a<0两种情况，利用导数判断函数的单调性；(2)根据题意可知f0=0，根据端点效应可得f'(3)根据fx的单调性和符合分析可得bn>bn+1>0，设t=bn+1>0【详解】(1)由题意可知：fx的定义域为−1,+∞，且①当a≥0，f'x>0，可知f②当a<0，令f'x=0当x∈−1,−1a−1，f'当x∈−1a−1,+∞，f综上所述：当a≥0时，fx在−1,+当a<0时，fx在−1,−1a(2)因为不等式fx≤0在x∈−1,+则f'0=a+1=0若a=−1，由(1)可知fx在−1,0上单调递增，在0,+则fx综上所述：实数a的所有取值构成的集合为−1.(3)当a=1时，由(1)可知fx=x+ln且f0=0，则fx>0等价于x>0；因为bn=fb则fb2>0且b1−b以此类推可得：∀n∈N*，设t=bn+1>0要证1bn+1−等价于1t+1整理为t2令gt=t则g0=0，令ℎt=g可知ℎt在0,+∞上单调递增，则ℎt可知gt在0,+∞上单调递增，可得即t2−2t+t+2ln1+t2(2025·甘肃武威·模拟预测)已知函数fx(1)讨论fx(2)若∀x∈1,+∞，fx(3)若an=lnn+1n+1，数列an的前【答案】(1)答案见解析(2)−(3)证明见解析【知识点】利用导数求函数(含参)的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式【分析】(1)通过a=0，a<0，a>0三种情况讨论即可；(2)构造gx=x−1x−alnx,x∈(3)由(2)取a=2得到，2lnx+1x<x在x∈1,+∞【详解】(1)fx=alnf'当a=0时，f'x=−1x当a<0时，f'x=ax−1x当a>0时，由f'x=由f'x=所以fx在0,1a综上所述：当a≤0时，fx在0,+当a>0时，fx在0,1a(2)∀x∈1,+∞，即x−令gx=x−1而g'令ℎx①当a≤0时，g'x=x2又g1=0，所以当x∈1,+②当Δ=a2−4≤0a>0g'x=x2又g1=0，所以当x∈1,+③当a>2时，x2−ax+1=0有两根x1因为x1所以x1=a−可得：由ℎx=x2−ax+1>0由ℎx=x2−ax+1<0所以gx单调递增区间为a+a2又g1=0，即存在x0综上所述，a的取值范围是−(3)由(2)知，当a=2时，2lnx+1令x=n+1,n∈N则2ln则2ln即a所以T所以2n+1题型04证明数列不等式之无限和裂项型解｜题｜策｜略导数与数列结合的不等式证明近几年多见，不等式中有x1+x2+⋯+xn1(25-26高三上·甘肃·月考)已知函数f(x)=ln(1)若f(x)在(0,+∞)上单调递增，求实数(2)设n∈N∗，求证：【答案】(1)(−(2)证明见解析【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数证明不等式【分析】(1)f(x)在(0,+∞)上单调递增等价于f'(2)令x=1+1k，利用小问(1)可得到：【详解】(1)f'因为f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以f'所以2m≤(x+1)2x恒成立，令g(x)=g(x)=(x+1)当且仅当x=1x，即x=1时等号成立，所以由2m≤4，得m≤2，即m的取值范围是(−∞(2)由(1)知，当m=2时，f(x)在(0,+∞所以当x>1时，f(x)>f(1)=0，即lnx>令x=1+1k，k∈N即lnk+1k>12k+1当k依次取1，2，…，n时，ln2−ln1>上面式子叠加即得lnn+12(25-26高三上·四川广安·月考)已知a2=1(1)证明：1an为等差数列，并求(2)令bn=anan+1，Tn【答案】(1)a(2)证明见解析【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式、数列不等式恒成立问题、利用导数证明不等式【分析】(1)根据已知可得1an+1−(2)利用导数证明lnx<x−10<x<1，进而得到1n+1<【详解】(1)由an−a左右同时除以anan+1又因为a2=16，则故1a所以1an=3+3(2)因为bn=a所以1b令函数fx=ln所以fx在0, 1上单调递增，f取x=nn+1,n∈N∗所以1b则1b3(2025·广东佛山·一模)已知函数fx=e(1)讨论fx(2)若a为正整数n，记此时fx的零点为xn.证明：【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性、求函数零点或方程根的个数【分析】(1)解法1：对函数求导，然后对a=0,a>0,a<0结合函数单调性分析得出结论；解法2：令fx=e1−x(2)结合(1)知，当a>0时，函数fx有一个零点得出1−【详解】(1)解法1：f'x①当a=0时，fx=e1−x②当a>0时，f'x<0所以函数fx在R因为当x→+∞时，fx→−所以函数fx在0,+∞③当a<0时，令f'x=0当x>1−ln−a时，f'x>0当x<1−ln−a时，f'x<0所以fx因为当x→+∞时fx→+∞，且当所以，当fxmin<0函数fx在−∞,1−当fxmin=0即a=−e2当fxmin>0即−e综上所述，当a<−e2时，函数当a=−e2或a>0时，函数当−e2<a≤0时，函数解法2：令fx因为f0=e，所以x≠0，则令gx=e当x<−1时，g'当−1<x<0或x>0时，g'所以gx在−∞,−1单调递增，在−1,0所以gx当x<0且x→0时，gx当x→+∞时，g当x>0时，gx所以，当a<−e2时，函数当a=−e2或a>0时，函数当−e2<a≤0(2)由(1)知，当a>0时，函数fx因为fxn=所以1−xn先证lnx≤x−1.令ℎx=当0<x<1时，ℎ'x>0当x>1时，ℎ'x<0所以ℎxmax=ℎ1=0因为lnxn≤因为1−x所以lnn+lnx所以n≤1xn所以x1+因为lnn所以xn=1−ln又因为lnn+2所以xn所以x1所以2ln题型05利用函数“凹凸性”证明不等式解｜题｜策｜略1对于一些指幂对函数型函数，具有明显的“凹凸性”，在不等式中可分离出两个函数，而它们的凹凸性是不同的，结合图形能较好得到解题思路；2或求出它们的最值再比较，或利用切线证明；3如何分离出两个具有不同凹凸性的函数，是个难点，了解一些常见的函数是必要的。1(2025高三·全国·专题练习)已知函数gx=xlnx，【答案】证明见解析【知识点】判断凹凸性【分析】由g″x>0【详解】∵g'x=lnx+1，∴ga2(25-26高三上·山东青岛·月考)已知函数fx(1)若fx是单调递减函数，求实数a(2)当a≥1时，证明：fx【答案】(1)−2,+(2)证明见解析【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数证明不等式【分析】(1)方法一：根据函数的单调性，可得f'x≤0,x∈1,+∞方法二：根据函数的单调性，可得f'x≤0,x∈(2)方法一：令ℎx方法二：采用放缩法，把问题转化为：只需证x+x2−3ex−1≤lnx−1，再设【详解】(1)解法一：因为fx所以f'所以a≥x−3xex−1,x∈令gx=x−3xe所以gx=x−3xe所以gxmax=g解法二：由题意得，f'令gx=x−a−3xe所以gx在1,+∞上单调递减，当即a≥−2时，gx≤0，即f'x≤0当g1=−2−a>0，即a<−2时，使得在1,x0时，gx所以fx在定义域上单调递减不成立．所以a≥−2(2)证法一：令ℎx所以ℎ'x=1−所以ℎ'令Mx=e因为x∈1，+∞，所以M'所以Mx≥M1=e所以ℎ'因为x+1x≥2，所以ℎ'x所以ℎx≤ℎ1证法二：因为a≥1，所以fx欲证fx+1+x所以只需证x+x令Mx=x+x令Nx=e因为x∈1,+∞，所以N'x=所以Nx≥N1=e所以M'因为Mx=x+x所以Mx的最大值为−1，令Tx=lnx−1所以x+x2−3题型06同构法解｜题｜策｜略1在证明不等式构造函数时，想直接看出来一般会有难度，可能要对不等式进行变形，此时就要用到同构的方法；2一些常见的同构变形：x+ln⁡x=ln1设x＞0，y＞0，若ex+lny＞x+y，则下列选项正确的是()A．x＞y B．x＞lny C．x＜y D．x＜lny【答案】B【详解】不等式ex+lny＞x+y等价于e令f(x)＝ex﹣x，则f(lny)＝e∴不等式ex∵f'(x)＝ex∴当x∈(0，+∞)时，f'(x)＝ex∴若y∈(1，+∞)，则lny∈(0，+∞)，由f(x)＞f(lny)有x＞lny；若y∈(0，1]，则lny≤0，由x＞0，有x＞lny．综上所述，设x＞0，y＞0，若ex故选：B．2（2025·广东佛山·一模）若ea+lnA．0<a<lnb B．lnb<a<0 C．1<【答案】D【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、比较函数值的大小关系【分析】分析化简不等式，构造新函数，求导判断单调性，根据单调性逐项判断不等式是否正确即可.【详解】依题意得ea−a>b−ln令fx=e因为fx=e易得fx在−∞,0当a，lnb∈−∞,0时，当a，lnb∈0,+∞时，0<故选：D.3（2022·陕西宝鸡·一模）已知a>1，b>1，则下列关系式不可能成立的是（

）A．eblna≤ab B．eblna≥ab【答案】D【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式【分析】构造函数f(x)=x−ln构造函数g(x)=exx【详解】对于eblna≤ab即b−ln构造函数f(x)=x−lnx(x>0)，当x>1时，f'(x)>0，当0<x<1时，f'(x)<0，若1<b≤lna，则b−ln若1<lna≤b，则b−ln构造函数g(x)=exxg'(x)=exx=ex(x−1)ℎ'(x)=1−lnxx2，当x>e时，ℎ'(x)>0，所以x>1时g(x)>ℎ(x)，即eb所以aeb≥b故选：D.【点睛】思路点睛：双变量的不等式的大小比较，应该根据不等式的特征合理构建函数，并利用导数判断函数的单调性，从而判断不等式成立与否.题型07切线放缩型解｜题｜策｜略1证明不等式时，有时候要适当放缩，但是如何放缩与放缩到什么程度是个难点；2对于一些具有凹凸性的函数，我们可以采取切线放缩，此时要数形结合，了解构造的函数的基本图形与性质，在极值点或最值点的位置往往是找到切线的关键；3常见的不等式elnx≤x1已知函数fx=lnx−x【答案】证明见解析【详解】令ℎx函数的定义域为(0,+∞)，设tx=e∴t(x)在(0,+∞)上递增，则tx∴e又lnx≤x−1，所以−ln∴e2（25-26高一上·新疆喀什·期中）已知函数fx(1)若fx≥0恒成立，求实数(2)证明：当x>0时，xe【答案】(1)a≥−1(2)证明见解析【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题【分析】（1）根据给定条件，分离参数并构造函数，利用导数求出最大值即可得解；（2）构造函数ℎx=ex−x【详解】（1）函数fx=x+aex令gx=−x−1ex当x<0时，g'x>0，当x>0则函数gx在−∞,0上单调递增，在0,+于是a≥−1，所以实数a的取值范围是a≥−1.（2）当x>0时，令ℎx=ex−x，求导得ℎ则ℎx>ℎ0=1，即ex令φx=xex−ex+1，φx>φ0=0，即所以xe3已知函数f(x)＝ex﹣1﹣x﹣ax2．(1)当a＝0时，求f(x)的单调区间；(2)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(3)若x＞0，证明：(ex﹣1)ln(x+1)＞x2．【答案】证明见解析【分析】(1)由题意，对函数f(x)进行求导，利用导数即可得到函数的单调区间；(2)对函数f(x)进行求导，构造函数h(x)＝ex﹣1﹣2ax，对函数h(x)进行求导，分别讨论a的取值范围，进而可解；(3)由(2)得，a=12且x＞0时，ex＞1+x+【详解】(1)当a＝0时，f(x)＝ex﹣1﹣x，函数定义域为R，可得f′(x)＝ex﹣1，当x＜0时，f′(x)＜0；当x＞0时，f′(x)＞0，所以f(x)在(﹣∞，0]上单调递减，在[0，+∞)上单调递增；(2)已知f′(x)＝ex﹣1﹣2ax，令h(x)＝ex﹣1﹣2ax，函数定义域为R，可得h′(x)＝ex﹣2a，当2a≤1，即a≤此时h′(x)≥0，h(x)单调递增，所以h(x)≥h(0)，即f′(x)≥f′(0)＝0，所以f(x)在[0，+∞)上为增函数，此时f(x)≥f(0)＝0，满足条件；当2a＞1时，当0≤x＜ln2a时，h′(x)＜0，h(x)单调递减，所以h(x)＜h(0)＝0，即f′(x)＜f′(0)＝0，所以f(x)在(0，ln2a)上单调递减，此时f(x)＜f(0)＝0，不满足题意，综上，实数a的取值范围为(−∞，1(3)证明：由(2)得，当a=12即ex要证(ex﹣1)ln(x+1)＞x2，需证ex即证x2要证ln(设F(可得F'(当x＞0时，F′(x)＞0恒成立，所以F(x)在(0，+∞)上单调递增，因为F(0)＝0．所以F(x)＞0恒成立，原不等式成立．题型08极值偏移之和型解｜题｜策｜略1在极值偏移问题中，证明类似x1+x2常见的有(1)极值点偏移(f'f(2)拐点偏移(fx1(2025高三·全国·专题练习)若fx=xlnx−a有两个不等的零点x1【答案】证明见解析【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式【分析】构建Fx=xlnx,x>0，原题意等价于y=Fx与y=a有2个交点，利用导数分析y=F【详解】令fx=xln构建Fx=xlnx,x>0，原题意等价于因为F'x=1+lnx，令F'x可知Fx在0,1e内单调递减，在1当x趋近于0时，Fx趋近于0；当x趋近于+∞时，Fx趋近于+

若y=Fx与y=a有2个交点，且x可得−1e<a<0又因为Fx1=F因为Fx3=x3可知Fx在x=x3处的切线方程为y−令g(x)=F(x)−1+lnx令g'(x)>0，解得x>x3；令可知g(x)在0,x3单调递减，在则gx即Fx≥1+令x=x1，x3令x=x2，x3则−x1≤122(25-26高三上·山东菏泽·期中)已知函数fx(1)a=1时，求曲线y=fx在点0,f(2)fx有2个零点x1，x2(i)求a的取值范围；(ii)证明：x1【答案】(1)y(2)(i)2e【知识点】求在曲线上一点处的切线方程(斜率)、利用导数证明不等式、函数单调性、极值与最值的综合应用【分析】(1)求导，利用导数的几何意义求解；(2)(i)令fx=ax−ex2=0，x=0时，fx=0不成立x≠0时，得a=ex2x，构造函数【详解】(1)当a=1时，fx则f'则f'0=−1则切点0,−1，且切线的斜率为−1，故函数fx在点0,f0处的切线方程为(2)(i)令fx=ax−ex2x≠0时，得a=e设gx=e由g'x>0由g'x<0解得单调减区间为−作出函数图像.

要使函数fx则方程a=gx在0,+∞内有2个根，即直线y=a与函数又g12=2e，故(ii)由图象可知，0<x要证x1+x又x2>12，1−x1>又gx2=gx1则构造辅助函数GxG=2x−1令Mx=e故Mx所以exx−e1−x所以G'所以Gx所以Gx>G1所以gx>g1−x故x2>1−x3(2025·四川眉山·模拟预测)已知函数fx=lnx+ax2−3x+2(1)求a的值；(2)求fx(3)若fx1=fx2【答案】(1)a=1(2)极大值为34−(3)证明见解析【知识点】求已知函数的极值、利用导数证明不等式、已知切线(斜率)求参数【分析】(1)根据导数的几何意义即可求解；(2)根据极值的定义即可求解；(3)构造函数Fx=fx−f1−x，x∈0,12，证明【详解】(1)由题意可得f'x因为曲线y=fx在x=2处的切线与直线2x+3y−3=0所以f'2=(2)由(1)得f(x)=lnx+x2令f'x=0，解得x=当x∈0,12∪1,+∞时，f'x当x∈12,1时，f'x<0故fx的极大值为f12(3)由(2)知0<x设函数Fx=fx−f1−x，则F'x>0在0,12故Fx<F12=0，即因为x1∈0,1因为x2，1−x1∈1所以x2>1−x1设函数Gx=fx−f2−x，则G'x>0在12,1故Gx<G1=0，即f因为x2∈12因为x3，2−x2∈1,+所以x3<2−x2又x1+x2>1，所以−题型09极值偏移之积型解｜题｜策｜略1在极值偏移问题中，证明类似x12有时候积型可以通过证明和型后再用基本不等式证明。1(25-26高三上·安徽六安·月考)已知函数fx(1)讨论fx(2)设fx的导函数为f'x，若fx有两个不相同的零点①求实数a的取值范围；②证明：x1【答案】(1)答案见详解(2)①0,1e；【知识点】利用导数求函数(含参)的单调区间、利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性【分析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)①通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数确定a的范围即可；②问题转化为证fa2x2>f【详解】(1)fx的定义域为0 ,若a≤0，f'x>0成立，所以f若a>0，当x>a时，f'x>0，所以f当0<x<a时，f'x<0，所以f(2)①由(1)知，当a≤0时，fx当a>0时，fx的最小值为f依题意知fa=1+ln一方面，由于1>a，f1=a>0，fx在a,+∞所以fx在a,另一方面，因为0<a<1e，所以令fa2=当0<a<1e时，所以f又fa<0，fx在0 ,a所以fx在0综上，实数a的取值范围是0 ②易知fx不妨设x1<x2，由要证x1x2因为x1 ，所以只要证fa又fx1=f设函数Fx所以F'x=x−a2所以Fx2>F从而x12(25-26高三上·山西·月考)已知函数fx(1)若a=7，求fx(2)若fx有两个不同的零点x(i)求a的取值范围；(ii)证明：x1【答案】(1)单调递增区间0,2，单调递减区间2,+∞(2)(i)2,+∞【知识点】利用导数求函数的单调区间(不含参)、利用导数研究双变量问题、利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式【分析】(1)求导，根据导数计算即可；(2)(i)令gx=2x−2lnxx,x>0，求导，作出函数gx图象，结合题意计算可解；(ii)由a2【详解】(1)若a=7，则fx求导f'令f'x=0，则−4当x∈0,2时，f'x>0，当所以函数fx在区间0,2上单调递增，在区间2,+即函数fx单调递增区间0,2，单调递减区间2,+(2)(i)若fx=0，则令gxg'令ℎx=x当x>0时，ℎ'x>0，所以ℎ又g'1=0，所以g当x∈0,1时，g'x<0，当所以函数gx在区间0,1上单调递减，在区间1,+当x→0+时，gx→+∞当x=1时，函数gx有最小值g1=2作出函数gx

由题意可知fx有两个不同的零点x则函数y=a与函数gx有两个不同的交点，即a>2所以a的取值范围是2,+∞(ii)由(i)可知，x1由a2=x要证x1x22>因为函数gx在区间0,1上单调递减，即证g因为gx1=g设cx则c'当x>0时，c'x≤0所以函数cx在区间0,+所以cx2<c所以x1x23(25-26高三上·安徽·月考)已知函数fx=e(1)分析函数gx(2)若函数exfx−mx−x>1(3)令ℎx=xfx−gx，若存在x【答案】(1)答案见解析(2)−∞(3)证明见解析【知识点】利用导数求函数(含参)的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式【分析】(1)求导得g'x=(2)利用换元法并登记啊转化为证明Tt>0在t∈0,+(3)代入后分离出a，等价转化为证明2a>elnx【详解】(1)由题意可得，gx的定义域为x∈0,+∞当a≥14时，x>0，g'当a<14时，令g'①当0<a<14时，x10<x<x1，g'x1<x<x2，x>x2，g'③当a≤0时，x1=1−0<x<x2，g'x>x2，g'∴综上所述，当a≤0时，函数gx在0,1+1−4a当0<a<14时，函数gx在0,当a≥14时，函数g(2)依题意，exf令t=x>0，即et设Tt=et2则T't=2t⋅①当−m≥0，即m≤0时，∴T't∴Tt②当−m<0，即m>0时，设φt=T则φ'因为t∈0,+∞，则t2>0，则2e则φt在0,+∞上单调递增，即T't→0,T'0<0；∴存在t0使得T∴0<t<t0，T't>t0，T'∴Tt∴综上所述，m的取值范围为−∞(3)设x1>x2>0∵x1>要证lnx1即要证ex令Gx=e即要证y=Gx在0,+即要证G'x=即要证ex−1−x+1≥eln设mx=elnxx，则m'x当x∈0,e时，m'当x∈e,+∞时，m'x设nx=ex−1−x+1，n'x当x∈0,1时，n'x当x∈1,+∞时，n'∴e∴得证：lnx题型10极值偏移之平方型解｜题｜策｜略1在极值偏移问题中，证明类似x12部分题目中可以得到和型或积型不等式后，再用基本不等式证明的。1(25-26高三上·河北·月考)已知函数f(x)=lnx−x−a，且f(x)有两个零点(1)求a的取值范围；(2)证明：x1【答案】(1)(−(2)证明见解析【知识点】导数中的极值偏移问题、利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式、根据函数零点的个数求参数范围【分析】(1)求定义域，求导，得到函数单调性，结合函数走势，得到不等式，求出答案；(2)先证明对一切不相等的正实数x1,x2，都有x2−x1ln【详解】(1)f(x)=lnx−x−a定义域为由题意可得f'当x∈(0,1)时，f'(x)>0，当x∈(1,+∞故f(x)=lnx−x−a在0,1上单调递增，在当x→0时，f(x)→−∞，当x→+∞时，f(x)→−∞则−1−a>0，解得a<−1，即a的取值范围为(−∞(2)证明：先证明对一切不相等的正实数x1,x不妨设x2>x1设t=x则g'所以g(t)在(1,+∞)上单调递增，所以g(t)>g(1)=0，即当t>1时，有故lnx2x因为x1,x2所以x1−ln所以x1+x因为x2>x因为x1所以x1因为x1+x2>22(25-26高三上·四川成都·期中)已知函数fx(1)当a=1时，求fx在1,f(2)设gx=x2+1ln(3)若对任意x∈0,+∞，都有fx+1【答案】(1)x−y−1=0(2)证明见解析(3)a≥1【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程(斜率)、利用导数证明不等式【分析】(1)分别求解f1与f(2)令m=x12,n=x22，可得ℎx1(3)令t=x+1,t>1，将已知不等式转化为at2−1−lnt−1t+e1−t>asin【详解】(1)由题意可知当a=1时，f1则点1,f1f'x=所以fx在1,f1处的切线方程为y−0=x−1，即(2)证明：由题意知ℎx令m=x12即x12ln所以mlnm=nln则sm所以s'所以sx在0,1e欲证x12+不妨设m<n，则0<m<1e<n令tx由t'x=lnx2所以tx在0,1e所以sm>s又sx在1e,+∞上单调递增，所以故x1(3)∀x>0,fx+1>asin令t=x+1,t>1，上述不等式化为a令y=x−sin即y>0−sin所以sint−1若a=0，取t=3，显然−ln若a<0，取t=5，有asin所以a>0，则asin不妨设rt则r当a≥1时，r'所以rt在1,+∞上单调递增，则rt当a∈0,1时，令u则uu'由导数的意义可知u't在t=1的极小的区域内值为负，则取t=1+Δ综上所述：a≥1题型11比值换元型解｜题｜策｜略在证明不等式时，遇到类似x2−x1ln1(25-26高三上·天津蓟州·期中)已知函数fx(1)求fx(2)若fx有两个正零点x1,(i)求a的取值范围；(ii)求证：x1【答案】(1)答案见解析(2)(i)a<−e【知识点】导数中的极值偏移问题、利用导数求函数(含参)的单调区间、利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式【分析】(1)利用导数分析函数的单调性，从而得函数的单调区间；(2)(i)结合(1)的分析，确定a满足的条件，从而求得a的取值范围；(ii)通过构造函数证明对数均值不等式，从而证得x1【详解】(1)函数fx=ex+ax当a≥0时，f'x>0，所以函数f当a<0时，令f'x=0当x∈−∞,ln−a时，f当x∈ln−a,+∞时，f'综上所述，当a≥0时，函数fx在R当a<0时，函数fx在−∞,(2)(i)由题意知方程ex+ax=0有两个不同的正实根由(1)知a<0，且f0=1，所以−a+aln(ii)由(1)得a<−e，所以e得x1=ln−a+要证x1+x令t=x2x1>1求导得g't=1t于是gt>g12(25-26高三上·河南·期中)已知函数fx(1)讨论fx(2)当a=4时，若不等式x2+bx+cf(3)若fx有两个不同的零点x1，x2求实数k的最小值.附：当x→1时，x−1ln【答案】(1)答案见解析(2)-4(3)0.【知识点】利用导数求函数(含参)的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式【分析】(1)对函数求导，分a≤0,a>0两种情况分别讨论函数的单调性.(2)先确定当a=4时fx的单调区间和零点，即m=4lnm，n=4lnn，然后使得x2+bx+c=0(3)先确定fx的两个零点之间的关系式lnx1lnx2=【详解】(1)由题可知fx的定义域为0,+∞，当a≤0时，f'x<0当a>0时，令f'x=0当x∈0,a时，f'x>0，此时fx单调递增，当x∈综上，当a≤0时，fx在0,+∞当a>0时，fx在0,a上单调递增，在a,+(2)当a=4时，fx由(1)可知，fx在0,4上单调递增，在4,+又f1=−1<0，f4所以存在m∈1,4，n∈4,e即m=4lnm，要使不等式x2+bx+cfx≤0恒成立，必有x由根与系数的关系可得m+n=−b，mn=c，所以bln(3)由(1)可知，a≤0时不符合题意，当a>0时，fx又f1=−1<0，当x→+∞所以若fx有两个不同的零点，则fxmax=aln由x1f'由fx1=fx2=0，可得令t=x1x2，则0<t<1，x1所以x2=alnt所以2ax令gt=2t−1t+1令ℎt=2tln易知当0<t<1时，lnt<t−1所以ℎ't<0，ℎ所以ℎt>ℎ1=0，所以g'由题可知，当t→1时，gt所以k的最小值为0.3(25-26高三上·山西运城·期中)已知A，B，C为函数f(x)图象上不同的三点．它们的横坐标xA,xB,xC依次成等差数列，且函数f(x)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)已知函数F(x)=f(①证明：当b>0时，F(x)是其定义域上的“等差偏移”函数；②当b=1时，函数F(x)=f(lnx)，数列an满足an+1=Fan【答案】(1)答案见解析(2)①证明见解析；②证明见解析【知识点】利用导数求函数(含参)的单调区间、利用导数证明不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数新定义【分析】(1)求导后，对参数进行讨论，即可求解单调区间；(2)①根据“等差偏移”函数的定义来作差比较大小，然后构造函数求导进行证明即可；②利用先证明对数不等式lnan<【详解】(1)函数f(x)=e2x+bx的定义域为R当b≥0时，f'(x)≥0恒成立，函数当b<0时，令f'(x)=0，解得当x≤12ln(−b2)当x>12ln(−b2)∴函数fx的单调增区间为[1综上所述：当b≥0时，函数fx在R上单调递增；当b<0时，函数fx的单调增区间为[12(2)①设三点Ax且满足x1<x又由F(x)=f(lnx)=e则kAC=F(∴=令t=x3x1，则t>1，令∴gt在1,+∞内单调递增，gt因为b>0，x3−x即函数F(x)在点B处的切线斜率恒小于直线AC的斜率，所以当b>0时，F(x)是其定义域上的“等差偏移”函数；②由F(x)=x当b=1时，F(x)=x2+设gx=ln当x>1时，g'x>0，则g∴gx>g1=1，∴构造函数ℎx=1∴ℎx在1,+∞内单调递增，则∴当x>1时，12∴lnan∴2an+1<a∴an即an∴S题型12三角函数型不等式证明解｜题｜策｜略1三角函数型的不等式，在导数与不等式结合的题型中最近较为多见，难度较大；2证明三角函数型不等式，往往用到三角函数的有界性、必要性探路、分段处理等手段。1（2025·山东济南·一模）已知0<α<β<π2，则（A．sinα−sinβ<α−βC．αsinβ<βcos【答案】D【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、用和、差角的正弦公式化简、求值【分析】令fx=sinx−x,x∈0,令mx【详解】对于A，令fx=sin所以fx在0,12所以sinα−α>对于B，令gx=tanx−x，所以gx在0,12对于C，因为0<α<β<π2，令α=πβcos因为26+2对于D，令mx=tanx−x由三角函数线可得当x∈0,12π时，所以m'所以mx在0,12π上单调递增，即tanβ>故选：D2(25-26高三上·河南·月考)设函数fx(1)求证：函数fx(2)当a=1时，求证：fx(3)若fx≤x+k的解集为π2【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)[1−π【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、极值与最值的综合应用【分析】(1)直接判断导数在定义域上有正有负即可；(2)运用导数求解函数的最大值，再判断最大值小于2可得；(3)构造函数ℎ(x)=asinx+xcosx−x，进而转化为同样等价于：对所有【详解】(1)由fx=asinx+xcos所以f'0=a+1>0由f'(x)在0,π上连续，且f'0所以f'(x)在0,π(2)当a=1时，fx=sinx+xcos当x∈π2,π时，sinx≥0,当x∈0,π2时，令f'(x)=0根据函数y=2x与函数y=tan即存在唯一x0∈(0,π2)∵f'(0)=2>0,f'又f'(π∴f(x0)=sinx设g(x)=2sinx−sin∴g(x)<g(π∴f(x0)=g(x0(3)由fx≤x+k，即令ℎ(x)=asinx+xcos又因fx≤x+k的解集为π2,π同样等价于：对所有x∈[π2,由ℎ(x)的图象是一条连续不断的曲线，∴k≥ℎ(π∵ℎ'(x)=(a+1)cosx−x所以ℎ'(x)<0，函数ℎ(x)在∴ℎ(x)在区间π2,π∴ℎ(x)≤k在区间π2当x∈[0,π2)时，要求ℎ(x)>k设tx=ℎ在区间[0,π2]上，sinx≥0,cosx>0,a>1，又ℎ'(0)=a≥1>0,ℎ'(即在区间[0,π2]上的最小值在x=0∵ℎ(0)=0,ℎ(π2)=k=a−π2要使ℎ(x)>k在区间[0,π2)综上所述，1≤a<π又k=a−π2,∴1−π23(2025·广东·模拟预测)设函数fx(1)若a=−1，证明：当x∈[0,π2](2)若a=1，证明：fx(3)若存在a≥1，使得当且仅当x∈π2,π时，【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)1−【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式、函数单调性、极值与最值的综合应用【分析】(1)利用求导判断函数的单调性即可证明；(2)证法一：通过求导推得fx在区间0,x0上单调递增，在区间x0,π上单调递减，化简计算得到f(x)max=x02+2x02+4(3)设ℎx=fx−x=asinx+xcosx−x，则不等式fx≤x+k等价于ℎx≤k，分析可得k=a−π2，分类讨论k=a−π2时满足条件的a的范围，易得当x∈π【详解】(1)当a=−1时，fx则f'当x∈[0,π2]时，x≥0,所以fx在区间0,π2上单调递减，所以f(2)证法一：当a=1时，fx当x∈π2,π时，设g(x)=f'x当x∈0,π2时，sin故f'x在区间又f'0=2>0,f'即2cosx0且当x∈0,x0时，f'x故fx在区间0,x0由f(x)由1+tan2x0=故fx要证fx<2等价于证明x0因为x0∈0,即fx解法二：由(1)知当0≤x≤π2时，当π2<x≤π时，sin所以sinx≥xcosx所以当a=1时，fx由于前面的等号在x=0处取到，后面的等号在x=π所以fx≠2，即(3)设ℎx=fx−x=asin故题目等价于：对所有x∈π2,由于ℎx故由所有x∈π2,由对所有x∈0,π2,ℎx现求k=a−π2时满足条件的①当x∈π2,故ℎx在区间π2,π上单调递减.则ℎx因此ℎx≤k在区间②当x∈0,π2时，ℎx>k，即ℎ当x∈0,π2时，sinx≥0,cosx≥0,a≥1，故又φ(0)=a≥1>0,φ(π2)=−π2也即ℎx在区间0,π2上的最小值在x=0又ℎ0=0,ℎπ2=k=a−π2要使ℎx>k在x∈0,π2综上，要存在a使题设成立，必须满足1≤a<π又k=a−π2，当1≤a<π故k的取值范围是1−π4(25-26高三上·湖南长沙·月考)已知函数fx(1)判断函数fx在区间−(2)若函数kfx>x2sin(3)求证：12【答案】(1)有且仅有1个零点，理由见解析(2)3(3)证明见解析【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式【分析】(1)利用导数研究函数单调性，结合零点存在定理判断零点个数；(2)先利用当x=π4时不等式成立，得k>2，然后利用导数法证明3fx(3)先由(2)得tanx>3x3−x2，于是tanπ3【详解】(1)fx在区间−f'x=cosx−故fx在区间−π,故fx在区间−(2)当x=π4时，k×2下面证明：3fx>x令gx则g'由(1)可知sinx−xcosx>0于是gx在区间0,π2综上，正整数k的最小值为3.(3)先证明左边：由(2)知，3sinx−xcosx−于是tan≥2×累加得：tan=1再证明右边：令ℎx=tan由于x∈0,π3时，cos2x∈所以ℎx在区间0,x0所以ℎx≤max所以tanπ累加得：tanπ综上，12(建议用时：60分钟)1（23-24高二下·广东广州·期末）下列四个不等式①lnx<x<ex，②ex−1≥x，③lnA．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式【分析】首先证明ex≥x+1、x−1≥lnx，利用判断①②③，令令【详解】令fx=ex−x+1，则f'x=所以fx在0,+∞上单调递增，在所以fxmin=f0=0令gx=x−1−lnx，所以当x>1时g'x>0，当0<x<1所以gx在1,+∞上单调递增，在0,1上单调递减，所以所以x−1≥lnx（当且仅当对于①：当x>0时ex>x+1>x>x−1≥ln对于②：因为ex≥x+1（当且仅当x=0时取等号），所以ex−1对于③：lnx≤x−1（当且仅当x=1对于④：令ℎx=xlnx−x+1，所以当x>1时ℎ'x>0，当0<x<1所以ℎx在1,+∞上单调递增，在0,1上单调递减，则所以xlnx≥x−1（当且仅当故选：C2（2022·江苏·二模）已知实数a，b∈(1，+∞)，且A．1<b<a B．a<b<2a C．2a<b<ea 【答案】D【知识点】利用导数证明不等式【分析】化简条件后根据形式构造函数，利用单调性判断不等式【详解】因为2(a+b)=e2a+2函数f(x)=ex−x−1⇒f'(x)=所以f(2a)=2f(lnb)>f(lnb)，所以又e2a−2a−1>2(ea−a−1)，所以f(2a)=2f(lnb)>2f(a)故选：D3（2025高三·全国·专题练习）已知函数fx=ex−ax+