课时跟踪检测（十） 全概率公式

课时跟踪检测（十）全概率公式1．甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%,35%,40%，次品率分别为5%,4%,2%.从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为()A．0.0123 B．0.0234C．0.0345 D．0.0456解析：选C本题为简单的全概率公式的应用，从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.0345.2．盒中有2个红球，3个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球2个，再从盒中第二次抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率为()A.eq\f(3,5)B.eq\f(3,7)C.eq\f(5,7)D.eq\f(4,7)解析：选A设A＝“第一次抽出的是黑球”，B＝“第二次抽出的是黑球”，则B＝AB＋eq\x\to(A)B.由题意P(A)＝eq\f(3,2＋3)＝eq\f(3,5)，P(B|A)＝eq\f(3＋2,2＋3＋2)＝eq\f(5,7)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(2,2＋3)＝eq\f(2,5)，P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(3,2＋3＋2)＝eq\f(3,7)，所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\x\to(A))P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(3,5)×eq\f(5,7)＋eq\f(2,5)×eq\f(3,7)＝eq\f(3,5).*3．[多选]若0<P(A)<1,0<P(B)<1，则下列式子成立的是()A．P(A|B)＝eq\f(PAB,PA)B．P(AB)＝P(A)P(B|A)C．P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\x\to(A))P(B|eq\x\to(A))D．P(A|B)＝eq\f(PAPB|A,PAPB|A＋P\x\to(A)PB|\x\to(A))解析：选BCD由条件概率的计算公式知A错误，B，C显然正确．因为P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\x\to(A))P(B|eq\x\to(A))，所以P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(PAPB|A,PAPB|A＋P\x\to(A)PB|\x\to(A))，知D正确．4．某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手8人；一、二、三级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9,0.7,0.4.则任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率为()A．0.62 B．0.48C．0.5 D．0.4解析：选A设A1为进入比赛的一级射手，A2为进入比赛的二级射手，A3为进入比赛的三级射手，则P(A1)＝0.2，P(A2)＝0.4，P(A3)＝0.4且A1，A2，A3两两互斥，B＝“任取一名射手进入比赛”，则P(B)＝0.2×0.9＋0.4×0.7＋0.4×0.4＝0.62.5．(2024·上海高考)某校举办科学竞技比赛，有A，B，C3个题库，A题库有5000道题，B题库有4000道题，C题库有3000道题．小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72，现他从所有的题中随机选一题，正确率是________．解析：A题库占所有题的eq\f(5000,5000＋4000＋3000)＝eq\f(5,12)，B题库占所有题的eq\f(4000,5000＋4000＋3000)＝eq\f(1,3)，C题库占所有题的eq\f(3000,5000＋4000＋3000)＝eq\f(1,4)，则所求概率P＝eq\f(5,12)×0.92＋eq\f(1,3)×0.86＋eq\f(1,4)×0.72＝0.85.答案：0.856．小王要约小李3h后见面，但是只用某种方式告知一次．设小王用电子邮件通知的概率是0.3，用短信通知的概率是0.7，而小李在3h内查看电子邮件的概率是0.8，看到短信的概率是0.9.(1)计算小李收到通知的概率；(2)如果收到通知的小李也有5%的概率不能前来见小王，计算小王不能按时见到小李的概率．解：(1)设B＝“小李收到通知”，A1＝“小王通过电子邮件通知”，A2＝“小王用短信通知”，则P(B)＝0.3×0.8＋0.7×0.9＝0.87.(2)设D＝“小王不能按时见到小李”，①未收到通知P1＝1－P(B)＝0.13，②收到通知但未去：P＝0.87×0.05＝0.0435.故P(D)＝0.13＋0.0435＝0.1735.1(2023·天津高考)甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5∶4∶6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为________；将三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率为________．解析：设A＝“从甲盒子中取一个球，是黑球”，B＝“从乙盒子中取一个球，是黑球”，C＝“从丙盒子中取一个球，是黑球”，由题意可知P(A)＝40%＝eq\f(2,5)，P(B)＝25%＝eq\f(1,4)，P(C)＝50%＝eq\f(1,2)，现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,20)；设D1＝“取到的球是甲盒子中的”，D2＝“取到的球是乙盒子中的”，D3＝“取到的球是丙盒子中的”，E＝“取到的球是白球”，由题意可知P(D1)＝eq\f(5,5＋4＋6)＝eq\f(1,3)，P(D2)＝eq\f(4,5＋4＋6)＝eq\f(4,15)，P(D3)＝eq\f(6,5＋4＋6)＝eq\f(2,5)，P(E|D1)＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5)，P(E|D2)＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，P(E|D3)＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，所以P(E)＝P(D1E＋D2E＋D3E)＝P(D1E)＋P(D2E)＋P(D3E)＝P(D1)P(E|D1)＋P(D2)P(E|D2)＋P(D3)P(E|D3)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,5)＋eq\f(4,15)×eq\f(3,4)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(1,20)eq\f(3,5)2．某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一支笔，有4支钢笔和3支圆珠笔．(1)一次取出2个盲盒，求2个盲盒为同一种笔的概率；(2)依次不放回地取出2个盲盒，求第1次、第2次取到的都是钢笔盲盒的概率；(3)依次不放回地取出2个盲盒，求第2次取到的是圆珠笔盲盒的概率．解：(1)设事件A＝“2个盲盒都是钢笔盲盒”，事件B＝“2个盲盒都是圆珠笔盲盒”，则A与B为互斥事件．∵P(A)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,7))＝eq\f(2,7)，P(B)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,7))＝eq\f(1,7)，∴2个盲盒为同一种笔的概率P＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(2,7)＋eq\f(1,7)＝eq\f(3,7).(2)设事件Ai＝“第i次取到的是钢笔盲盒”，i＝1,2.∵P(A1)＝eq\f(C\o\al(1,4),C\o\al(1,7))＝eq\f(4,7)，P(eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(A2))A1)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,6))＝eq\f(1,2)，∴P(A1A2)＝P(A1)P(eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(A2))A1)＝eq\f(4,7)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,7)，即第1次、第2次取到的都是钢笔盲盒的概率为eq\f(2,7).(3)设事件Bi＝“第i次取到的是圆珠笔盲盒”，i＝1,2.∵P(B1)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,7))＝eq\f(3,7)，P(B2|B1)＝eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(1,6))＝eq\f(1,3)，P(B2|A1)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,6))＝eq\f(1,2)，∴由全概率公式，可知第2次取到的是圆珠笔盲盒的概率为P(B2)＝P(B1)P(B2|B1)＋P(A1)P(B2|A1)＝eq\f(3,7)×eq\f(1,3)＋eq\f(4,7)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,7).3．某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是eq\f(1,2)，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为eq\f(1,3)，eq\f(2,3)，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为eq\f(3,5)，eq\f(2,5)，记第n(n∈N，n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为pn.(1)求p2的值；(2)若n∈N，n≥2，试用pn－1表示pn.解：(1)设A1＝“第1次出现红球”，A2＝“第1次出现绿球”，B＝“第2次出现红球”，则P(A1)＝P(A2)＝eq\f(1,2)，P(B|A1)＝eq\f(1,3)，P(B|A2)＝eq\f(3,5)，由全概率公式得p2＝P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(3,5)＝eq\f(7,15).(2)设C1＝“第n