聚焦算理理解构建算法模型-小学数学三年级上册“两位数乘两位数（不进位）笔算”教学设计

聚焦算理理解，构建算法模型——小学数学三年级上册“两位数乘两位数（不进位）笔算”教学设计一、教学内容分析

本节课在《义务教育数学课程标准（2022年版）》中隶属于“数与代数”领域“数与运算”主题。从知识技能图谱看，它是对三年级上册已学的“两位数乘一位数”和“整十数乘两位数”口算的深度延伸，是学生首次系统接触多位数乘法的完整笔算模型，为后续学习进位乘法、三位数乘两位数乃至小数乘法奠定了坚实的算法基础和算理根基。其认知要求从具体运算过渡到抽象概括，核心在于引导学生将两位数乘一位数、整十数乘两位数的口算经验，通过结构化重组，形成一般性的两位数乘两位数的笔算程序。从过程方法路径看，本课是发展学生运算能力和推理意识的绝佳载体。教学需设计有效的探究活动，引导学生经历“实际问题—多样化解法—算法优化—模型构建”的完整过程，渗透“转化”、“数形结合”及“模型”的数学思想。例如，通过点子图或面积模型将抽象的算理直观化，帮助学生理解乘法的分配律本质。从素养价值渗透看，运算不仅是技能，更是一种逻辑推理。通过探究“为什么这样写竖式”、“每一步计算的实际意义是什么”，培养学生严谨求实的科学态度和步步有据的思维习惯，体验数学的简洁与逻辑之美。

从学情诊断来看，学生已具备两位数乘一位数的笔算技能和表内乘法、加法的基础，对乘法的意义有基本理解。潜在的认知障碍在于：其一，难以将两步乘与一步加的口算过程有机整合为一个竖式；其二，不理解竖式中第二层积的“末位为什么要与十位对齐”，易出现数位对位错误。这源于学生尚未建立“用十位上的数去乘，得到的是多少个‘十’”这一位值观念。因此，教学调适策略需强化直观模型（如点子图分块）与竖式算理的对应，将抽象的算法“锚定”在直观理解上。在过程评估中，将通过课堂提问（如：“这个‘4’实际表示多少？为什么写在这里？”）、任务单反馈及同伴互评，动态捕捉学生的理解层次。针对不同层次学生，提供差异化支持：对于基础薄弱学生，提供分步骤的“脚手架”任务单，强化每一步的意义理解；对于学有余力学生，则鼓励他们尝试解释算理、改编问题或探索算法背后的普遍规律。二、教学目标

1.知识目标：学生能准确表述两位数乘两位数（不进位）笔算的步骤和书写格式，理解竖式中每一步计算对应的实际含义（即算理），特别是第二步乘积的书写位置原理，并能正确、规范地完成计算。

2.能力目标：在解决实际问题的情境中，学生能够借助点子图等直观模型，将两位数乘两位数的计算进行合理的分拆与组合，自主探索并解释多种算法，初步形成将未知转化为已知的转化能力与合情推理能力。

3.情感态度与价值观目标：在小组合作探究多种算法的过程中，学生乐于倾听同伴的不同思路，欣赏算法的多样化与内在统一性，体验数学思考的乐趣和解决问题的成就感，培养积极探索、严谨认真的学习态度。

4.科学（学科）思维目标：重点发展学生的模型意识与推理意识。通过对比、分析不同算法与竖式之间的关系，引导学生抽象概括出通用的笔算模型，并能够用清晰的数学语言（如“先分后合”、“几个十”等）论证模型的合理性，实现从具体操作到抽象符号的思维跨越。

5.评价与元认知目标：学生能依据“计算正确、书写规范、算理清晰”等评价标准，进行简单的自我检查与同伴互评。在课堂小结时，能反思自己从“不会”到“会”的学习路径，提炼出“借助直观理解算理”、“掌握步骤规范书写”等关键学习策略。三、教学重点与难点

教学重点：掌握两位数乘两位数（不进位）的笔算方法，并能正确计算。其确立依据在于，这是多位数乘法运算的基石，是《课程标准》在第二学段要求必须掌握的核心技能，也是后续所有复杂乘法运算的逻辑起点和程序原型。从能力立意看，它不仅关乎运算技能，更承载着对位值制、乘法分配律等核心概念的深层理解。

教学难点：理解笔算竖式中第二步乘积的书写位置，即“为什么第二个积的末位要与十位对齐”。预设难点成因在于，此步骤涉及对数字“位值”的抽象理解。学生容易受两位数乘一位数笔算的负迁移影响，将其末位与个位对齐。突破方向是将其与口算过程、直观模型（如点子图分块计算的总和）进行多重关联与对照，让“几个十”的结果写在十位下成为学生的自觉认知。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：多媒体课件（含情境动画、动态点子图）、实物投影仪。1.2学习材料：分层探究任务单、课堂巩固练习卡、个性化评价印章。2.学生准备2.1学具：每人一张点子图学习纸、直尺。2.2知识回顾：复习两位数乘一位数笔算及整十数乘一位数的口算。3.环境布置3.1板书记划：左侧预留核心问题与算法探究区，中间为主板书（算法对比与模型总结），右侧为副板书（学生生成性想法与练习反馈）。五、教学过程第一、导入环节

1.情境创设，提出问题：“同学们，学校图书馆要为三年级每个班购买一批新书。如果每套书有14本，要买12套，一共需要多少本书？谁能帮图书馆老师算一算？”（呈现真实情境，引发解决实际问题的需求）同学们先别急着算，回想一下，我们学过哪些相关的乘法知识？

1.1唤醒旧知，明确挑战：学生可能想到用加法、或用14×10+14×2来估算。我会肯定：“用学过的知识来估算，是个好习惯！但我们需要一个精确的结果，而且如果是23套、34套呢？加法算起来会不会有点麻烦？”（制造认知冲突）“今天，我们就一起来挑战这个新问题——如何准确又快速地计算‘两位数乘两位数’。”

1.2揭示课题，规划路径：“这节课，我们将像数学家一样，先动手分一分、画一画，探索各种可能的算法；然后，从中寻找最简洁通用的方法，并理解它背后的道理。最后，我们都要成为笔算小能手！”第二、新授环节

本环节旨在通过系列任务，搭建从直观操作到抽象算法的认知阶梯。任务一：依托情境，探索多样化解法教师活动：首先，引导学生将问题抽象为算式14×12。接着，不急于介绍竖式，而是分发点子图学习纸（呈现12行，每行14个点阵）。提出引导性问题：“这12行14列的点子图，正好可以表示12个14。你能不能用我们学过的知识，通过‘分一分’的办法，算出总点数？看看谁的方法多。”巡视指导，关注学生是否出现“先分10行和2行”、“先分10列和2列”等不同分法。我会提示：“想想我们学过的‘整十数乘一位数’，能不能帮上忙？”学生活动：独立或在小组内操作点子图，尝试用不同方式划分区域，并计算各区域点数，最后求和。可能会产生的方法有：①14×10=140，14×2=28，140+28=168；②12×10=120，12×4=48，120+48=168；③将12分成6×2等。学生将自己的分法和算式记录在任务单上。即时评价标准：1.分法是否有依据，能否用算式清晰表达每一步。2.计算过程是否准确。3.在小组内能否清晰地向同伴讲解自己的思路。形成知识、思维、方法清单：★核心思想：转化。把新问题“14×12”转化成已学的“两位数乘整十数”和“两位数乘一位数”来计算。▲算法多样化：解决问题的方法不是唯一的，可以从不同角度拆分乘数。●关键步骤：先分块计算，再合并结果。教师提示：“大家的分法虽然不同，但有没有发现一个共同点？都是把‘12’这个整体拆成了几个部分。”任务二：沟通联系，初识笔算雏形教师活动：选择一种最典型的分法（如14×10+14×2）进行全班聚焦。利用课件动态演示：将点子图的12行分成上10行和下2行两部分。提问：“这种先算10个14，再算2个14，最后加起来的方法，能不能用一个综合的竖式把它简洁地表示出来呢？”引导学生回忆两位数乘一位数的竖式写法，尝试将两步乘与一步加的过程整合。学生活动：尝试书写竖式。部分学生可能直接写出完整竖式，部分可能分两步写。学生之间交流讨论：“竖式怎么写才能既包含这两步乘法，又包含最后的加法？”即时评价标准：1.能否尝试将口算过程与竖式建立联系。2.竖式的书写结构是否初步体现“分步乘”和“加”的过程。形成知识、思维、方法清单：★竖式的结构来源：笔算竖式是口算过程的简洁记录形式。▲认知冲突点：如何在一个竖式中安排两次乘法和一次加法？●思维引导：“竖式就像一座小楼房，每一层都有它的任务。我们试着给它建两层，看看行不行？”任务三：聚焦难点，理解“对齐”算理教师活动：这是突破难点的关键步骤。展示学生可能出现的错误对齐方式（将14×2的积28的“8”与个位对齐）。提出核心驱动问题：“第二层积‘28’的末尾‘8’，到底应该对齐个位还是十位？谁能用点子图或算式的意义来说服大家？”引导学生回到点子图：14×2算的是下面2行的总点数，是“2个14”，得28个“一”，所以8应对齐个位。接着问：“那第一层积，我们算的是14×1，这个‘1’在十位上，表示什么？”（1个十），“所以14×10得到的是多少？”（140）。这时，在竖式中用不同颜色标注“14”实际表示“140”，但为了简便，末尾的0通常省略不写。追问：“既然这个‘14’表示14个‘十’，那它的末位‘4’自然就应该写在哪个数位上？”（十位）。通过课件动画，将点子图中10行的部分（140个点）与竖式第一层积“14”的位置动态关联。学生活动：观察点子图分块与竖式各部分的对应关系，进行小组辩论。学生需指图说明：第一层算的是10行，是10个14，结果是140，所以4写在十位；第二层算的是2行，是2个14，结果是28，所以8写在个位。尝试完整说出每一步的意义。即时评价标准：1.能否清晰指出点子图中哪部分对应哪一层乘积。2.解释时能否准确使用“个位”、“十位”、“几个十”等位值概念。3.是否理解省略0的简便写法原理。形成知识、思维、方法清单：★教学重难点：数位对齐的算理。第二层积的末位与十位对齐，是因为它是用第二个因数的“十位”上的数去乘第一个因数，得到的是多少个“十”。▲直观到抽象的桥梁：点子图（面积模型）是理解抽象算理最有力的工具。●常见错误预警：牢记“乘到哪一位，积的末位就对齐那一位”。教师可以编个口诀：“个位乘完个位对，十位乘完十位对，数位对齐不忘掉。”任务四：规范步骤，抽象算法模型教师活动：在理解算理的基础上，带领学生共同梳理笔算的标准步骤。用板书画出规范竖式，并分步讲解：1.相同数位对齐；2.用第二个因数的个位去乘第一个因数的每一位，得数末位与个位对齐；3.用第二个因数的十位去乘第一个因数的每一位，得数末位与十位对齐；4.把两次乘得的积加起来。提问：“谁能当小老师，结合我们刚才的图，把每一步再解释一遍？”引导学生不仅“知其然”，更“知其所以然”。学生活动：跟随教师同步书写，并大声说出每一步的计算过程和意义。同桌互相复述算法步骤，并检查对方书写是否规范。即时评价标准：1.书写顺序是否规范（从个位乘起）。2.叙述步骤时，是否能同时说出数字代表的意义（如“2乘4得8，表示8个一”）。形成知识、思维、方法清单：★两位数乘两位数（不进位）笔算法则：一乘（个位）、二乘（十位）、三加。★书写规范：相同数位对齐，分层书写清晰。▲从具体到一般：从“14×12”的特例中，抽象出适用于所有不进位情况的通用算法模型。教师提示：“现在我们有了一个‘万能模板’，以后遇到类似的题目，都可以按这三步来思考。”任务五：即时应用，固化计算程序教师活动：出示一道变式题：21×23。不提供点子图，鼓励学生直接尝试笔算。巡视中，重点关注第二步计算（21×20）的书写位置，以及最终加法的准确性。挑选一份正确和一份典型错误的作业进行投影对比讲评。让做对的学生讲解，让发现错误的同学指出问题所在。学生活动：独立完成笔算。完成后，同桌交换检查，重点检查数位对齐和计算准确性。参与全班讲评，分析错误原因。即时评价标准：1.能否脱离直观模型，独立应用算法程序。2.计算是否准确，书写是否工整。3.能否发现并纠正他人计算中的数位错误。形成知识、思维、方法清单：★程序自动化：通过练习，使规范的笔算步骤内化为熟练技能。▲检验理解：脱离直观辅助后的独立应用，是检验算理是否真正理解的试金石。●错误资源化：典型错误（如对位错误、忘加进位）是深化理解的宝贵资源，要充分利用。教师点评：“看，这位同学的第二步积‘42’，末尾的2对齐了十位，做得非常标准！因为他知道这里的‘2’是十位上的2，乘出来的是42个十。”第三、当堂巩固训练

设计分层练习，满足差异需求。

基础层（全员必做）：完成课本“做一做”中的3道基础竖式计算题（如22×13，34×21）。要求书写规范，并轻声说出每一步的算理。目标：巩固算法程序，确保全体学生掌握基本技能。

综合层（多数学生挑战）：解决一个简单情境问题：“一盒彩笔有24支，老师买了13盒，一共多少支？”要求学生列竖式计算并作答。目标：在真实情境中应用技能，理解运算意义。

挑战层（学有余力选做）：思维拓展题：“在计算□□×□□时，小明的竖式第二层积的末尾数字与十位对齐了，这个积可能是多少？（举例说明）”或“你能用今天学的知识解释11×11=121的规律吗？”目标：深化对算理的理解，激发探究兴趣。

反馈机制：学生完成基础层后，通过同桌互批、教师巡查盖章（正确、规范、美观不同等级）进行即时反馈。综合层和挑战层通过实物投影展示典型解法，由学生讲解思路，教师侧重点评思维过程而非仅关注答案对错。第四、课堂小结

引导学生进行结构化总结。提问：“同学们，这节课我们从解决‘买书’问题开始，最终‘创造’出了两位数乘两位数的笔算方法。谁能用几句话，说说我们是怎么学习的？你最大的收获是什么？”鼓励学生从知识（学会了什么）、方法（怎么学会的）、思想（明白了什么道理）三个层面回顾。教师最后用简洁的思维导图进行板书画龙点睛：中心是“两位数乘两位数（不进位）笔算”，分出三条枝干：“算理”（借助点子图，理解数位对齐）、“算法”（三步：一乘、二乘、三加）、“应用”（解决实际问题）。作业布置：必做作业：完成练习册基础题部分。选做作业（二选一）：1.当小老师，录制一个1分钟短视频，讲清楚21×34的笔算过程。2.寻找生活中可用两位数乘两位数解决的问题，并计算。最后预告下节课：“今天我们发现，计算过程中每一次乘积都不超过十，所以不用进位。如果乘的时候满十了该怎么办呢？我们下节课继续探索！”六、作业设计

基础性作业（必做）：1.规范书写并计算：23×31，42×12，33×13。2.数学书后对应练习页的基础计算题。目的：强化算法程序的熟练度，保证基本技能过关。

拓展性作业（建议完成）：设计一份“计算诊断书”。给出两道有典型错误的竖式计算（如对位错误、加法错误），请学生扮演“医生”，诊断错误并“医治”（写出正确过程）。目的：在辨析中深化对算理和算法的理解，提升批判性思维。

探究性/创造性作业（选做）：项目小探究——“探寻乘法王国的格子秘籍”。通过网络或书籍，了解“铺地锦”或“格子乘法”等古代乘法计算方法，并尝试用这种方法计算14×12，看看结果是否一样，思考它与我们今天的竖式有何异同。目的：感受数学文化，体会算法多样性的魅力，建立跨时空的数学联系。七、本节知识清单及拓展

★1.核心概念：两位数乘两位数（不进位）：指两个乘数都是两位数，且用个位和十位分别去乘另一个乘数时，每一位相乘的结果都不满十，无需进位。

★2.算理根基（重中之重）：笔算的每一步都有其意义。用第二个因数十位上的数去乘，得到的是多少个“十”，因此积的末位必须对齐十位。这是理解整个算法的钥匙。

★3.标准算法步骤：一乘（用个位乘）、二乘（用十位乘，积末位对齐十位）、三加（把两次的积相加）。三步口诀有助于记忆程序。

★4.书写规范要点：相同数位对齐；两次乘积分层书写，位置分明；使用直尺画横线，保持整洁。

●5.与旧知的联系：本质上是将“两位数乘两位数”转化为“两位数乘整十数”和“两位数乘一位数”两个已学问题，再利用加法合并。体现了“转化”的数学思想。

●6.直观模型支撑：点子图或长方形面积模型是理解算理的强大工具。将抽象的数字计算与直观的图形分块对应，能有效破解难点。

▲7.易错点预警：最常见的错误是第二步积的对位错误（与个位对齐）。务必牢记“乘到哪一位，积的末位就对齐那一位”。

▲8.算法多样化：除了笔算，还可以用分拆乘数进行口算（如14×12=14×10+14×2）。多种算法相通，笔算是其中一种标准化、效率高的记录形式。

▲9.初步的模型意识：本节课学习的不仅是一道题的计算，而是构建了一类问题的通用解决方法（算法模型），这是数学应用广泛性的体现。八、教学反思

假设本课教学实施完毕，从预设与生成的角度进行深度复盘，我认为有以下几点值得剖析：

（一）目标达成度分析：从当堂巩固练习的反馈来看，约85%的学生能独立、正确地完成基础计算，表明算法技能的“保底”目标基本实现。然而，在让学生解释“为什么对齐十位”时，仅约60%的学生能脱离点子图，用准确的位值语言进行说明。这提示，算理理解的深度目标并未在所有学生身上完全达成。证据在于，部分学生的正确计算可能仍依赖于步骤模仿而非真正理解，这在面对变式或复杂情境时可能变得脆弱。课后，我需要追踪这部分学生，通过个别访谈或补充练习（如只写第二步乘积并说明意义）进行强化。

（二）环节有效性评估：导入环节的情境能快速切入主题，但“买书”情境与部分学生生活经验稍有距离。若替换为“分发练习本”或“排列课桌椅”，可能共鸣感更强。新授环节的五个任务，逻辑链条清晰，特别是“任务三”聚焦难点，通过直观与抽象的多轮对话，有效地撬动了学生的思维。一个成功的生成点在于，有学生提出：“老师，我发现第一步算的是‘2套’书，第二步算的是‘10套’书，加起来就是‘12套’。”这生动地表明算理已内化。然而，“任务五”的即时应用略显仓促，部分中下水平学生还在理解算理，就被迫进入程序操作，导致出现“知道怎么写但不太明白为什么”的夹生现象。下次应考虑在此处增加一个半扶半放的过渡练习。

（三）差异化应对的得失：准备的分层任务单和点子图学具，确实为学习困难的学生提供了有力支撑。在小组活动中，我看到能力强的学生主动向同伴解释图解，实现了“兵教兵”。但在挑战层任务上，给予的思考时间不足，未能让学优生充分展开探究和分享，稍显遗憾。课堂中一句无意的提问“还有别的