四川省蓉城名校联盟2027届高二上学期期末考试数学（含答案）

高二期末试卷

数学

时间120分钟，满分150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.直线x-√3y-3=0的倾斜角为

2.双曲线的渐近线方程为

A.x±√3y=0B.√3x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0

3.为了加强学生身体素质，一学校拟开展篮球、乒乓球、足球三个项目的体育活动.经

调查得知全年级有1000人参与该活动，且选择这三个活动项目的学生占比的饼状图

如图①所示，各项目中男女生占比的条形图如图②所示，则下列结论正确的是

不同活动项目占比各活动项目的男女占比

足球

篮球25%

45%

乒乓球

30%

图①图②

A.选择足球的女生比选择篮球的女生多

B.选择篮球的女生比选择足球的男生多

C.选择足球的男生和选择乒乓球的男生一样多

D.选择乒乓球的同学比选择篮球的男生多

4.已知抛物线y²=2x的焦点为F,P为抛物线上一点，且|PF|=2,则P的横坐标为

A.1B.C.2

5.抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件A=“第1次正面朝上”,事件B=“第2次

正面朝上”,事件C=“两次硬币朝上的面相同”,则下列结论正确的是

A.事件A与事件B互斥B.事件A与事件B互为对立

C.事件A与事件C相互独立D.P(AB)=P(C)

高二数学试卷第1页(共4页)

6.已知椭圆的焦点分别为F,F₂,若点P在椭圆上，则PF·PF₂的最小值为

A.1B.2C.3D.4

7.在正四面体P-ABC中，点E,F分别是线段BC,PC的中点，则cos<PE,AF>=

l一

B.3D.

8.已知双曲线)的中心为点0,一个焦点为F.点M在双曲线上，

点N在以MF为直径的圆上，若|ON|的最小值为√2b,则双曲线的离心率为

A.√2B.√3CD

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.掷一枚质地均匀的骰子6次，得到一组样本数据：5,2,3,2,x,6,则

A.众数可能为2B.极差可能为3

C.若x=6,则方差为3D.第30百分位数恒为2

10.在平面直角坐标系xOy中，点P是曲线E:y=√1-x²上一动点，点A,B分别是直

线x-y-2=0与x,y轴的交点，则

A.△PAB面积的最小值为1

B.∠PAB的最大值为

C.若直线x-y+a=0与曲线E有且只有一个公共点，则a∈(-1,1)

D.AP·AB的取值范围为[4-2√2,6]

11.如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=2,AB=a,若E是CD的中点.则

A.过B,E,D₁三点作长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的截面，则截面为菱形

B.存在实数a,使得直线AC₁与平面BED₁垂直

C.直线AC₁∩平面CB₁D₁=P,则AP=2PC₁

D.点B₁到直线D₁E的距离d的范围为

高二数学试卷第2页(共4页)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量a=(-1,2,1),b=(m,n,-2),若a//b,则|b|=_

13.已知圆x²+y²-4y=0与圆(x-a)²+y²=9(a>0)外切，则a=_

14.已知椭圆与双曲的焦点相同，若该椭圆与该双

曲线的四个公共点恰好是一个正方形的四个顶点，则mn=_

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

已知圆C的圆心在直线x+y-1=0上，且圆C经过(-2,0),(4,0)两点.

(1)求圆C的标准方程；

(2)若过点(0,2)的直线1交圆C于A,B两点，且|AB|=4√2,求直线I的方程.

16.(15分)

为了解高二年级学生在期末考试中的数学成绩情况，某校调查了该年级500名同学

的数学成绩并绘制成频率分布直方图.

个频率/组距

0.0200

0.0100

0.0050

0.0025

507090110130150成绩/分

(1)求a的值；

(2)求这500名同学数学成绩的中位数与平均数(同一组中的数据用该组区间的中

点值表示);

(3)现拟在区间(50,70),[130,150]用分层抽样的方法抽取6人，然后在这6人中随

机选取2人举行座谈，求选取的2人均位于区间[130,150]的概率.

17.(15分)

在平面直角坐标系xOy中，已知点F,F₂的坐标分别为(-√3,0),(√3,0),且该平

面上的动点M(x,y)满足：√(x+√3)²+y²+√(x-√3)²+y²=4,,设点M的轨迹为E.

(1)求E的标准方程；

(2)若直线y=x+m交轨迹E于A,B两点，且△AOB的面积为1,求m的值.

高二数学试卷第3页(共4页)

18.(17分)

如图，在平行四边形ABCD中，AB=AC=CD=1,AB⊥AC,将△ACD沿AC翻

折至△ACP.

(1)设PC⊥AB,三棱锥P-ABC的各个顶点都在球O的表面上.

(i)证明：平面PAC⊥平面ABC;

(ii)求球O的半径；

(2)求平面PAC与平面PBC夹角的最大值.

19.(17分)

已知直线l:x-my+(m-1)t+2m=0(t∈R)与抛物线I:y²=4x交于A,B两点，不

同于I的直线l₂:x-ny+(n-1)t+2n=0(t∈R)与T交于C,D两点，设直线l与l₂的交

点为T.

(1)证明：点T在直线x-y+2=0上；

(2)若TA=AB,TC=CD,BD的中点为P.

(i)求直线PT的斜率；

(ii)求四边形ABDC面积的最小值.

高二数学试卷第4页(共4页)

高二期末

数学参考答案及评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

12345678

ADCBCBCD

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

91011

ACDABDABC

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.2√613.√2114.1

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

解：(1)∵圆心在直线x+y-1=0上，

∴可设圆心为(a,-a+1),

又∵圆C经过(-2,0),(4,0)两点，

√(a+2)²+(-a+1)²=√a-4)²+(-a+1)²,…………3分

解得a=1,即圆C的圆心为(1,0),

∴圆C的半径r=|1-(-2)|=3,…………4分

∴圆C的标准方程为(x-1)²+y²=9;…………6分

(2)①当直线I的斜率不存在时，

直线1为x=0,…………7分

代入圆C解得y=2√2或y=-2√2,

此时|AB|=4√2,满足题意；…………9分

②当直线1的斜率k存在时，

设l为kx-y+2=0,

∵|AB|=4√2,

∴圆心C到直线1的距离，…………11分

即

即4k=-3,解得

此时直线I为3x+4y-8=0,

综上所述：直线l为x=0或3x+4y-8=0.…………13分

1

16.(15分)

解：(1)由20×(0.0025+0.005+0.01+a+0.02)=1,

解得a=0.0125;…………3分

(2)由图可知，

成绩在区间(50,70),(70,90),(90,110),(110,130),[130,150]的频率分别为0.05,0.25,0.4,

0.2,0.1,

∴中位数位于区间(90,110),

设中位数为x,

则有0.05+0.25+0.02×(x-90)=0.5,

解得中位数x=100分，…………6分

这500名同学数学成绩的平均数x为：

60×0.05+80×0.25+100×0.4+120×0.2+140×0.1=101分；…………9分

(3)在区间(50,70)抽取了

不妨设为A₁,A₂,

在区间[130,150]抽取

不妨设为B₁,B₂,B₃,B₄,…………11分

设事件A=“这6人中选取2人，选取的2人均位于区间[130,150]”,

由样本空间Ω={A₁A₂,A₁B₁,A₁B₂,A₁B₃,A₁B₄,A₂B₁,A₂B₂,A₂B₃,A₂B₄,B₁B₂,B₁B₃,

B₁B₄,B₂B₃,B₂B₄,B₃B₄},

得n(Ω)=15,…………13分

由事件A={B₁B₂,B₁B₃,B₁B₄,B₂B₃,B₂B₄,B₃B₄},

得n(A)=6,

…………15分

17.(15分)

解：(1)由√(x+√3²+y²+√(x-√3²+y²=4,

知|MF₁I+|MF₂|=4>2√3,

∴点M的轨迹为椭圆，…………2分

∴2a=4,即a=2,

又∵c=√3,

∴b=1,

∴E的标准方程…………5分

2

(2)不妨设A,B两点的坐标分别为(x₁,y₁),(x₂,y₂),

由,消去x得5x²+8mx+4m²-4=0,…………6分

判别式△=(8m)²-4×5×(4m²-4)=16(5-m²)>0,

得m²<5,…………7分

…………8分

…………11分

又∵O到直线x-y+m=0距离…………12分

=1,

解得

即…………15分

18.(17分)

解：(1)(i)∵AB⊥AC,PC⊥AB,

又∵PC∩AC=C,且PC,ACc平面PAC,

∴AB⊥平面PAC,…………2分

又∵ABc平面ABC,

∴平面PAC⊥平面ABC;…………4分

(ii)由(i)知AB⊥平面PAC,PAc平面PAC,

∴AB⊥AP,

又∵在平行四边形ABCD中，…………5分

AB⊥AC,

∴AC⊥CD,

∵翻折后垂直关系不改变，

∴ACICP,…………6分

又∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,

∴PC1平面ABC,…………7分

又∵BCc平面ABC,

∴PC⊥BC,…………8分

结合AB⊥AP可得PB为外接球O的直径，

又∵|PB|=√3,

∴外接球O的半径为…………10分

3

(2)以A为坐标原点，AB,AC所在直线分别为x,y轴，过点A且垂直于平面ABC的直线为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,

则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),

设P(x,y,z),

由|PA|=√x²+y²+z²=√2及|PC|=√x²+(y-1)²+z²=1,

可得y=1,x²+z²=1,

不妨令x=cosa,z=sina,α∈(0,π),

则P(cosa,1,sinα),

∴CA=(0,-1,0),CB=(1,-1,0),CP=(cosa,0,sinα),…………11分

设平面PAC的一个法向量为m=(x₁,y₁,z),

则

取x₁=sina,得m=(sina,0,-cosα),…………13分

设平面PBC的一个法向量为n=(x₂,y₂,z₂),

取x₂=1,得…………15分

设平面PAC与平面PBC的夹角为θ,

又∵

即

∴平面PAC与平面PBC夹角的最大值为…………17分

19.(17分)

解：(1)∵I与l₂的交点为T,

由

得…………3分

∴点T(t,t+2)在直线x-y+2=0上；…………4分

4

(2)(i)不妨设B(x₁,y₁),D(x₂,y₂),

由(1)知点T的坐标为(t,t+2),

又∵TA=AB,即A为TB的中点，

∴点A的坐标为…………5分

又∵点A在曲线T上，

整理得y²-2(t+2)y-(t-2)²=0,…………7分

同理可得y²-2(t+2)y₂-(t-2)²=0,

∴y1,y₂是关于y的方程y²-2(t+2)y-(t-2)²=0的两根，…………9分

∴y+y₂=-[-2(t+2)]=2t+4,y₁y₂=-(t-2)²,…………10分

∵点P的坐标为

即…………11分

∴直线PT的斜率…………12分

(ii)设四边形ABDC的面积为S,

∵A为TB的中点，C为TD的中点，

…………13分

又由(i)知：直线PT平行于x轴或与x轴重合，

…………15分

…………16分

又∵t∈R,

∴t²+4≥4,

∴四边形ABDC面积的最小值为…………17分

5

解析：

1.解：直线斜率为,由斜率与倾斜角的关系易得倾斜角为,故选A.

2.解：双曲线的渐近线方程为即2x±y=0,故选D.

3.解：选篮球的男女生分别为315,135人，选乒乓球的男女生分别为150,150人，选足球的男女生分

别为150,100人，故选C.

4.解：y²=2x的准线为,由抛物线的定义知点P到准线的距离为2,∴P的横坐标为,故选B.

5.解：∵事件A={(正，正),(正，反)},事件B={(正，正),(反，正)},事件C={(正，正),(反，反)},事件

AC={(正，正)},∴,∴P(AC)=P(A)P(C),∴事件A与事

件C相互独立，故选C.

6.解：设原点为0,由PF₁·PF₂=(PO+OF)·(PO+OF₂)=|OPI²-|OF₁I²=|OPI²-7,当P为椭圆短轴

的顶点时，|OP|²取最小值9,∴PF·PF₂≥9-7=2.故选B.

7.解：不妨设P-ABC的棱长为2,PA=2a,PB=2b,PC=2c,∵E,F分别是BC,PC的中点，则

PE=b+c,AF=c-2a,又

∵|PE|=|AF|=√3,:,故选C.

8.解：设双曲线的另一个焦点为F',MF的中点为Q,连接MF′,∵|ON|的最小值为√2b,即

,二||MF'|-|MF||=2√2b,即2a=2√2b,得a=√2b,∴离心率

,故选D.

9.解：样本数据的众数显然可以为2,故A正确；样本数据的极差大于等于4,故B错误；当x=6时，

样本数据的方差为3,故C正确，样本数据的第30百分位数为第2个数，只能为2,故D正确.故

选ACD.

10.解：选项A:y=√1-x²等价于x²+y²=1(y≥0),即曲线E:y=√1-x²为单位圆的上半圆(包括端

点),当点P为(1,0)时，S△PAB的最小值为,故A正确；

选项B:∠PAB取最大值时，AP与曲线E相切，此时∴∠PAB的

最大值为,故B正确；

选项C:直线x-y+a=0与曲线E有且只有一个交点时，a∈(-1,1),与曲线E相切时，a=√2,

故直线x-y+a=0与曲线E有且只有一个公共点时，a∈[-1,1]U{√2},故C错误；

选项D:设点P为(x,y),AP·AB=(x-2,y)·(-2,-2)=4