高三数学（理）二轮复习冲刺提分作业第一篇专题突破专题七概率与统计第2讲概率离散型随机变量及其分布冲刺提分作业本

第2讲概率、离散型随机变量及其分布A组基础题组1.已知随机变量X服从二项分布B4,A.3 B.4 C.6 D.72.(2017合肥第一次教学质量检测)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C的方程为x2y=0)的点的个数的估计值为()A.5000 B.6667 C.7500 D.78543.(2017合肥第二次教学质量检测)已知5件产品中有2件次品,现逐一检测,直至能确定所有次品为止,记检测的次数为ξ,则E(ξ)=()A.3 B.72C.185 4.先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别有1,2,3,4,5,6六个点),落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为x,y,设事件A为“x+y为偶数”,事件B为“x,y中有偶数且x≠y”,则概率P(B|A)=()A.12 B.13 C.14 5.在三棱锥SABC内任取一点P,使得三棱锥PABC的体积满足V三棱锥PABC<12V三棱锥SABCA.78 B.34 C.12 6.(2017张掖第一次诊断考试)在区间[0,π]上随机取一个数θ,则使2≤2sinθ+2cosθ≤2成立的概率为.

7.(2016四川,12,5分)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是.

8.某商场在儿童节举行回馈顾客活动,凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动,具体规则如下:每人最多可射击3次,一旦击中,则可获奖且不再继续射击,否则一直射击到3次为止.设甲每次击中的概率为p(p≠0),射击次数为η,若η的数学期望E(η)>74,则p的取值范围是9.(2017合肥第一次教学质量检测)某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动,有甲、乙两个抽奖方案供员工选择.方案甲:员工最多有两次抽奖机会,每次抽奖的中奖率均为45方案乙:员工连续三次抽奖,每次中奖率均为25(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列;(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖,哪个方案更划算.10.(2017北京,17,13分)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望E(ξ);(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)

B组提升题组1.(2017浙江,8,5分)已知随机变量ξi满足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1pi,i=1,2.若0<p1<p2<12A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)2.在底和高等长度的锐角三角形中有一个内接矩形ABCD,矩形的一边BC在三角形的底边上,如图,在三角形内任取一点,则该点取自矩形内的最大概率为.

3.(2017湖北七市(州)联考)某校举行运动会,其中三级跳远的成绩在8.0米(四舍五入,精确到0.1米)以上的进入决赛,把所得数据进行整理后,分成6组,画出频率分布直方图的一部分(如图),已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30,第6小组的频数是7.(1)求进入决赛的人数;(2)若从该校学生(人数很多)中随机抽取2人,记X表示2人中进入决赛的人数,求X的分布列及数学期望;(3)经过多次测试后发现,甲的成绩均匀分布在8~10米之间,乙的成绩均匀分布在9.5~10.5米之间,现甲、乙各跳一次,求甲比乙跳得远的概率.4.(2017石家庄教学质量检测(一))为了调查某地区成年人血液的一项指标,现随机抽取了成年男性、女性各20人组成一个样本,对他们的这项血液指标进行了检测,得到了如下茎叶图.根据医学知识,我们认为此项指标大于40为偏高,反之即为正常.(1)依据上述样本数据研究此项血液指标与性别的关系,列出2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关系;(2)以样本估计总体,视样本频率为概率,现从本地区随机抽取成年男性、女性各2人,求此项血液指标为正常的人数X的分布列及数学期望.附:K2=n(P(K2≥k0)0.0250.0100.005k05.0246.6357.879

答案精解精析A组基础题组1.D∵随机变量X服从二项分布B4,12则E(3X+1)=3E(X)+1=7,故选D.2.BS阴影=S正方形01x2dx=113=23,所以233.B由题意知,ξ的所有可能取值为2,3,4,P(ξ=2)=A22AP(ξ=3)=3×2×1+2×3×1+3×2×1A53P(ξ=4)=C32C所以E(ξ)=2×110+3×310+4×354.B正面朝上的点数(x,y)的不同结果共有C61·C61=36(种),事件A:“x+y为偶数”包含事件A1:“x,y都为偶数”与事件A2:“x,y都为奇数”两个互斥事件,其中P(A1)=C31·C3136=14,P(A2)=C3事件B为“x,y中有偶数且x≠y”,所以事件AB为“x,y都为偶数且x≠y”,所以P(AB)=C31·C31-5.A三棱锥SABC与三棱锥PABC的底面相同,设三棱锥SABC的底面面积为S,则三棱锥PABC的高h与三棱锥SABC的高h'满足13Sh<12×13点P位于棱台A'B'C'ABC内(如图),其中A',B',C'分别为SA,SB,SC的中点,易知棱台的上底面的面积S'=14S,所以棱台的体积为V三棱锥SABC18V三棱锥SABC=78V三棱锥SABC,故所求概率为76.答案1解析由2≤2sinθ+2cosθ≤2,得22≤sinθ+π4≤1,结合θ∈[0,π],得θ∈0,π2,∴使2≤27.答案3解析同时抛掷两枚质地均匀的硬币,至少有一枚硬币正面向上的概率为1122=34∴均值是2×34=38.答案0解析由已知得P(η=1)=p,P(η=2)=(1p)p,P(η=3)=(1p)2,则E(η)=p+2(1p)p+3(1p)2=p23p+3>74,解得p>52或p<129.解析(1)P(X=0)=15+45×12×1P(X=500)=45×12=P(X=1000)=45×12×45∴某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列为X05001000P728(2)由(1)可知,选择方案甲进行抽奖所获奖金X的期望E(X)=0×725+500×25+1000×若选择方案乙进行抽奖,中奖次数ξ~B3,则E(ξ)=3×25=6故选择方案甲较划算.10.解析(1)由题图知,在服药的50名患者中,指标y的值小于60的有15人,所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y的值小于60的概率为1550(2)由题图知,A,B,C,D四人中,指标x的值大于1.7的有2人:A和C.所以ξ的所有可能取值为0,1,2.P(ξ=0)=C22C42=16,P(ξ=1)=C2所以ξ的分布列为ξ012P121故ξ的期望E(ξ)=0×16+1×23+2×(3)在这100名患者中,服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.B组提升题组1.A解法一:∵E(ξ1)=0×(1p1)+1×p1=p1,同理,E(ξ2)=p2,又0<p1<p2,∴E(ξ1)<E(ξ2).D(ξ1)=(0p1)2(1p1)+(1p1)2·p1=p1p1同理,D(ξ2)=p2p2D(ξ1)D(ξ2)=p1p2(p12p22)=(p1p2)(1p∵0<p1<p2<12,∴1p1p2>0,∴(p1p2)(1p1p2∴D(ξ1)<D(ξ2).故选A.解法二:同解法一知E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)=p1p12,D(ξ2)=p2令f(x)=xx2,则f(x)在0,12上为增函数,∵0<p1<p2<12,∴f(p1)<f(p2),即D(ξ2.答案1解析设AD=x,AB=y,则由三角形相似可得xa=a-ya,解得y=ax,所以矩形的面积S=xy=x(ax)≤x+a-x22=3.解析(1)第6小组的频率为1(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.14,∴总人数为70由题图易知第4、5、6组的学生均进入决赛,人数为(0.28+0.30+0.14)×50=36,即进入决赛的人数为36.(2)由题意知X的可能取值为0,1,2,∵进入决赛的概率为3650=1825,X~P(X=0)=C20×7252=49625,P(X=1)=C21P(X=2)=C22×1825∴X的分布列为X012P49252324∴E(X)=2×1825=3625,即2人中进入决赛的人数的数学期望为(3)设甲、乙各跳一次的成绩分别为x米,y米,则基本事件满足8≤设事件A为“甲比乙跳得远”,则x>y,作出可行域,如图中阴影部分所示.∴由几何概型得P(A)=12×1即甲比乙跳得远的概率为1164.解析(1)由茎叶图可得2×2列联表:正常偏高合计男性16420女性12820合计281240K2=n(ad-所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关系.(2)由样本数据可知,男性正常的概率为45,女性正常