专题提升：计数原理与随机变量

计数原理与随机变量高考对本内容的考查主要有：(1)分类加法计算原理、分步乘法计数原理，B级要求．(2)排列与组合，B级要求．(3)离散型随机变量及其分布列、超几何分布、条件概率及相互独立事件，A级要求．(4)n次独立重复试验的模型及二项分布、离散型随机变量的均值与方差，B级要求.重难点：1．两种计数原理分类计数原理和分步计数原理．2．排列(1)排列的定义；(2)排列数公式：Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)(m≤n，m，n∈N*)．3．组合(1)组合的定义；(2)组合数公式：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)＝eq\f(n！,m！n－m！)(m≤n，m，n∈N*)．(3)组合数性质：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1).4．概率、随机变量及其分布(1)离散型随机变量及其概率分布的表示：①离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量；②离散型随机变量概率分布的表示法：概率分布列和概率分布表；性质：1°pi≥0(i＝1,2,3，…，n)；2°p1＋p2＋p3＋…＋pn＝1；(2)特殊的概率分布列：①0－1分布(两点分布)符号表示：X～0－1分布；②超几何分布：1°符号表示：X～H(n，M，N)；2°概率分布列：X～H(r；n，M，N)＝P(X＝r)＝eq\f(C\o\al(r,M)C\o\al(n－r,N－M),C\o\al(M,N))；③二项分布(又叫独立重复试验，波努利试验)：1°符号表示：X～B(n，p)；2°概率分布列：P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k.注意：P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＋…＋P(X＝r)＋…＋P(X＝n)＝1.考点1、与计数原理有关的问题【例1】设整数n≥4，P(a，b)是平面直角坐标系xOy中的点，其中a，b∈{1,2,3，…，n}，a＞b.(1)记An为满足a－b＝3的点P的个数，求An；(2)记Bn为满足eq\f(1,3)(a－b)是整数的点P的个数，求Bn.【特别提醒】此计数原理问题中要计算点的个数，因此要根据条件对正整数的取值进行分类，弄清可能的取值类别，再根据加法原理进行计算．【变式探究】设集合Pn＝{1,2，…，n}，n∈N*.记f(n)为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆Pn；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈∁PnA，则2x∉∁PnA.(1)求f(4)；(2)求f(n)的解析式(用n表示)．所以f(n)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2\f(n,2)，n为偶数，,2\f(n＋1,2)，n为奇数.))考点2、概率、相互独立事件和独立重复实验【例2】某品牌设计了编号依次为1,2，3，…，n(n≥4，且n∈N*)的n种不同款式的时装，由甲、乙两位模特分别独立地从中随机选择i，j(0≤i，j≤n，且i，j∈N)种款式用来拍摄广告．(1)若i＝j＝2，且甲在1到m(m为给定的正整数，且2≤m≤n－2)号中选择，乙在(m＋1)到n号中选择．记Pst(1≤s≤m，m＋1≤t≤n)为款式(编号)s和t同时被选中的概率，求所有的Pst的和；(2)求至少有一个款式为甲和乙共同认可的概率．【方法技巧】对于求较复杂事件的概率问题，可以将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求对立事件的概率，再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率．【变式探究】甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是eq\f(2,3)和eq\f(3,4).假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响．(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击．求乙恰好射击5次后被中止射击的概率．难点1、离散型随机变量分布列及其数学期望【例1】(2013·陕西卷)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．∵X可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为【方法技巧】求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算．【变式探究】现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是eq\f(3,5)，答对每道乙类题的概率都是eq\f(4,5)，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．eq\f(4,5)＝eq\f(28,125)；1．无锡学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P(ξ＞0)＝eq\f(7,10).(1)求文娱队的队员人数；(2)写出ξ的概率分布列并计算E(ξ)．2．一投掷飞碟的游戏中，飞碟投入红袋记2分，投入蓝袋记1分，未投入袋记0分．经过多次试验，某人投掷100个飞碟有50个入红袋，25个入蓝袋，其余不能入袋．(1)求该人在4次投掷中恰有三次投入红袋的概率；(2)求该人两次投掷后得分ξ的数学期望Eξ.3．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为eq\f(1,10)和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为eq\f(49,50)，求p的值；(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ.ξ0123Peq\f(1,1000)eq\f(27,1000)eq\f(243,1000)eq\f(729,1000)故随机变量ξ的数学期望：E(ξ)＝0×eq\f(1,1000)＋1×eq\f(27,1000)＋2×eq\f(243,1000)＋3×eq\f(729,1000)＝eq\f(27,10).4．学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个黑球，乙箱子里装有1个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)(1)求在一次游戏中①摸出3个白球的概率；②获奖的概率．(2)求在两次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X)．5．形状如图所示的三个游戏盘中(图①是正方形，M，N分别是所在边中点，图②是半径分别为2和4的两个同心圆，O为圆心，图③是正六边形，点P为其中心)各有一个玻璃小球，依次摇动三个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏．(1)一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少？(2)用随机变量X表示一局游戏后，小球停在阴影部分的事件数与小球没有停在阴影部分的事件数之差的绝对值，求随机变量X的分布列．6．为拉动经济增长，某市决定新建一批基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目个数分别占总数的eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,6)，现在3名工人独立地从中任意一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率．(2)记X为3人中选择的项目所属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求X的分布列及数学期望．(2)设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知η～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,3)))，且X＝3－η所以P(X＝0)＝P(η＝3)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3＝eq\f(1,27)，7．盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．8．假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5.记此时教室里敞开的窗户个数为X.(1)求X的分布列；(2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y，求Y的数学期望．【解析】解(1)∵X的所有可能取值为0,1,2,3,4，X～B(4,0.5)，9．设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a＝3，b＝2