2026年数据结构与算法优化经典习题

2026年数据结构与算法优化经典习题一、单项选择题（每题2分，共20题）说明：下列每题只有一个正确答案。1.在以下数据结构中，最适合用于实现快速插入和删除操作的是？A.链表B.数组C.栈D.堆2.快速排序的平均时间复杂度为？A.O(n)B.O(nlogn)C.O(n²)D.O(logn)3.在二叉搜索树中，新插入的节点总是被添加到叶子节点的位置，这一特性描述的是？A.完全二叉树B.平衡二叉树C.二叉搜索树的性质D.哈夫曼树4.以下哪种数据结构适用于实现LRU（最近最少使用）缓存算法？A.哈希表B.双向链表C.二叉搜索树D.堆5.在图论中，判断一个无向图是否为树的条件是？A.存在唯一一个环B.所有节点度数之和为2倍边数C.每对节点之间有且仅有一条路径D.存在多个入度为0的节点6.堆排序的时间复杂度在最坏情况下是？A.O(n)B.O(nlogn)C.O(n²)D.O(logn)7.在以下算法中，归并排序属于？A.分治算法B.贪心算法C.动态规划D.回溯算法8.哈希表冲突解决的主要方法不包括？A.链地址法B.开放地址法C.二叉搜索树法D.双重散列法9.在二叉树中，深度为k的树最多有多少个节点？A.2kB.2^(k-1)C.2^k-1D.k²10.在以下数据结构中，栈的后进先出（LIFO）特性使其适用于？A.表格存储B.深度优先搜索C.广度优先搜索D.排序算法二、填空题（每空1分，共10空）说明：请将答案填写在横线上。1.在链表中，删除一个节点需要__头部节点__和__前驱节点__的信息。2.快速排序的枢纽元素选择方法主要有__随机选择__、__三数取中__和__固定位置__。3.二叉搜索树的左子树中所有节点的值均__小于__根节点的值。4.堆是一种__完全二叉树__，分为__最大堆__和__最小堆__。5.图的表示方法主要有__邻接矩阵__和__邻接表__。6.在Dijkstra算法中，使用__优先队列__来优化顶点选择。7.哈希表的负载因子λ定义为__哈希表中元素个数__除以__哈希表大小__。8.二叉树的遍历方式有__前序遍历__、__中序遍历__和__后序遍历__。9.在B树中，每个节点的孩子数量与其__关键字个数__有关。10.动态规划适用于解决__具有重叠子问题__和__最优子结构__的问题。三、简答题（每题5分，共5题）说明：请简要回答下列问题。1.简述链表与数组的区别及其适用场景。2.解释快速排序的时间复杂度在不同情况下的变化。3.描述二叉搜索树的插入和删除操作的基本步骤。4.解释哈希表冲突的原因及解决方法。5.说明图的深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）的适用场景。四、编程题（每题15分，共2题）说明：请用C++或Java实现下列功能。1.二叉搜索树的最大路径和输入：一个二叉搜索树的根节点，返回该树的最大路径和。示例：输入：输入树的结构：10/\515/\\3718输出：40（路径：10→15→18）2.哈希表实现LRU缓存设计一个LRU缓存，支持get和put操作。get返回键对应的值，如果不存在返回-1；put插入或更新键值对，如果超出容量则删除最久未使用的项。示例：输入：容量=2["LRUCache","put","put","get","put","get","get"][[2],[1,1],[2,2],[1],[3,3],[2],[4]]输出：[-1,-1,1,-1]解释：LRUCachelRUCache=newLRUCache(2);lRUCache.put(1,1);//缓存是{1=1}lRUCache.put(2,2);//缓存是{1=1,2=2}lRUCache.get(1);//返回1lRUCache.put(3,3);//去除键2，缓存是{1=1,3=3}lRUCache.get(2);//返回-1(未找到)lRUCache.get(4);//返回-1(未找到)五、算法设计题（每题20分，共2题）说明：请详细描述算法设计思路，并给出伪代码或代码实现。1.平衡二叉搜索树设计一个插入操作能保持平衡的二叉搜索树（如AVL树），要求在插入后能自动调整树的高度，确保树的高度差不超过1。描述：-插入节点时如何判断是否需要旋转？-有哪些旋转类型？-如何通过旋转维护平衡？2.最小生成树算法优化给定一个无向图，设计一个最小生成树（MST）算法，要求在普里姆（Prim）算法的基础上进行优化，使其时间复杂度更低。描述：-原始普里姆算法的缺点是什么？-如何通过优先队列优化？-给出优化后的算法伪代码。答案与解析一、单项选择题答案1.A2.B3.C4.B5.C6.B7.A8.C9.C10.B解析：1.链表支持动态插入和删除，时间复杂度为O(1)；数组插入删除需移动元素，时间复杂度为O(n)。2.快速排序平均时间复杂度为O(nlogn)，但最坏情况为O(n²)。3.二叉搜索树性质保证左子树节点值小于根节点，右子树节点值大于根节点。4.双向链表支持快速删除最近使用节点（LRU）。5.树是无环连通图，所有节点度数之和为2倍边数。6.堆排序时间复杂度与建堆和调整堆有关，均为O(nlogn)。7.归并排序通过递归分解子问题并合并。8.二叉搜索树是用于冲突解决的数据结构。9.完全二叉树第k层最多有2^(k-1)个节点。10.栈LIFO特性适用于DFS。二、填空题答案1.头部节点，前驱节点2.随机选择，三数取中，固定位置3.小于4.完全二叉树，最大堆，最小堆5.邻接矩阵，邻接表6.优先队列7.哈希表中元素个数，哈希表大小8.前序遍历，中序遍历，后序遍历9.关键字个数10.重叠子问题，最优子结构三、简答题答案1.链表与数组的区别及其适用场景-链表：动态大小，插入删除快（O(1)），随机访问慢（O(n)）；数组：静态大小，随机访问快（O(1)），插入删除慢（O(n)）。适用场景：链表适用于频繁插入删除的场景（如栈/队列）；数组适用于随机访问和稳定数据存储。2.快速排序时间复杂度变化-平均：O(nlogn)，分治法每次递归均分；-最坏：O(n²)，所有元素有序时枢纽选择不当；-优化：随机枢纽或三数取中可减少最坏情况概率。3.二叉搜索树插入删除步骤插入：-从根节点比较，找到空位置插入；删除：-找到节点，分三种情况处理（无子节点、一个子节点、两个子节点），通过旋转或替换维护性质。4.哈希表冲突原因及解决方法原因：哈希函数映射多个键到同一槽位；解决方法：链地址法（将冲突键链表化）、开放地址法（线性探测/二次探测）、双重散列法。5.DFS和BFS适用场景-DFS：递归实现，适用于求路径或连通性（如拓扑排序）；-BFS：队列实现，适用于求最短路径（如无权图）。四、编程题答案1.二叉搜索树最大路径和cppclassSolution{public:intmaxPathSum(TreeNoderoot){intmaxSum=INT32_MIN;helper(root,maxSum);returnmaxSum;}inthelper(TreeNodenode,int&maxSum){if(!node)return0;intleft=max(0,helper(node->left,maxSum));intright=max(0,helper(node->right,maxSum));maxSum=max(maxSum,left+right+node->val);returnnode->val+max(left,right);}};2.LRU缓存实现javaclassLRUCache{privateintcapacity;privateMap<Integer,Node>map;privateNodehead,tail;classNode{intkey,val;Nodeprev,next;Node(intk,intv){key=k;val=v;}}publicLRUCache(intcapacity){this.capacity=capacity;map=newHashMap<>();head=newNode(0,0);tail=newNode(0,0);head.next=tail;tail.prev=head;}publicintget(intkey){if(!map.containsKey(key))return-1;Nodenode=map.get(key);moveToHead(node);returnnode.val;}publicvoidput(intkey,intvalue){if(map.containsKey(key)){Nodenode=map.get(key);node.val=value;moveToHead(node);}else{if(map.size()==capacity){map.remove(tail.prev.key);removeNode(tail.prev);}NodenewNode=newNode(key,value);map.put(key,newNode);addToHead(newNode);}}privatevoidmoveToHead(Nodenode){removeNode(node);addToHead(node);}privatevoidaddToHead(Nodenode){node.prev=head;node.next=head.next;head.next.prev=node;head.next=node;}privatevoidremoveNode(Nodenode){node.prev.next=node.next;node.next.prev=node.prev;}}五、算法设计题答案1.平衡二叉搜索树（AVL树）-旋转类型：左旋、右旋、左-右旋、右-左旋；-插入调整：插入后检查节点平衡因子（左右子树高度差），若失衡通过旋转恢复；伪代码：cppvoidinsert(Nodenode,intkey){if(!node){//插入节点node=newNode(key);return;}if(key<node->val)insert(node->left,key);elseinsert(node->right,key);updateHeight(node);intbalance=getBalance(node);if(balance>1&&key<node->left->val)rotateRight(node);//左左if(balance>1&&key>node->left->val)rotateLeft(node->left),rotateRight(node);//左右if(balance<-1&&key>node->right->val)rotateLeft(node);//右右if(balance<-1&&key<node->right->val)rotateRight(node->right),rotateLeft(node);//右左}2.最小生成树算法优化（Prim）-原始Prim缺点：邻接矩阵O(n²)，邻接表可优化至O(ElogV)；优化方法：使用优先队列（最小堆）存储待访问边，每次弹出最小边，避免重复处理；伪代码：cppvoidprim(vector<vector<pair<int,int>>>&graph){priority_queue<pair<int,int>,vector<pair<int,int>>,greater<pair<int,int>>>pq;vector<bool>inMST(V,false