初二数学上册培优辅导讲义(人教版)

第1讲与相交有关辍念及平行线的判定

考点•方法•破译ZFOC=2ZAOCAZEOF=ZEOCFOC=2ZBOC+2ZAOC=

1.了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.1ltBOC+±AOC)

2.掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内出角、中旁内角的定义，并能用图形成2XVZBOC-ZAOC=180'/.ZEOF=2X180,-90"

几何符号龙示它们(2JZDOG的余角是；JCOF、ZAOF.ZBOE的扑角是；ZAOE.

3.掌树直城平行的条件，井能根据出线平行的条件说明两条在线的位置关系.【变式恩组】

经典•考即析01.如图，已知直线AB、CD相交于点O,OA平分/EOC.旦/ECC=100°,

则的度数是（）

【例1】如图.三条直城AB、CD.EF相交于点O,一共构或哪几对ENBOD

对顶角？■"共沟成哪几对邻补角？<

【解法指导】\

⑴对顶角和邻补角是两条衽线所形成的图角.）

⑵对顶用：有一•个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的/

反向延长线.（X

⑶邻补角；两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.F

有6对对顶角.12对邻补角.

【变式题组】

如右图所示，直线、、相交于、则《第I通图）（第2胞图）

01.ABCDEFPQ.R,:C\02.（杭州）已知N\N2-N3=62",则N4=.

⑴/ARC的龙顶角是邻补角是.\

【例3】加图.直.线11、I2相交千点。,A.B分别是II、12上的

⑵中的几对对双角，邻补卯？

02.当两条直线相交于一点收，共有2对对顶角：力/点，试用三角尺完成下列作图：

当三条直线相交于一点时,共有6对对顶角：/⑴羟过点A两直线12的垂线.

⑵画出表示点B到直线11的垂线段.

当四条直线相交于一点时,共有12对对顶角.f

【解法拈导】垂线是一条自线.垂城

：当街.条直线相交于一点时共有对顶角.

M100段是一条线段.

【例2】如图所示，点O是直统AB上一点，OE、OF分别平分/BOC、

【变式题组】

ZAOC.

01.P为直线I外一点，A、B.C

⑴求NEOF的度数:

{2）写出NBOE的余角及补角.F\C是直线I上三点,且PA=4cm.PB=5cm.PC=6cm.则点P

【解法指导】解这类求用大小的问遨.要根据所涉及的角的定义.\到百线I的距离为（）

//A.4cmB.5cmC.不大于4cmD.不小于6cm

以及各角的数鬓关系,把它们转化为代数式从而求解：V

02如图，•辆汽车在直跳形的公路AB上山A向日行驶,M、

-A0BN为位于公路两恻的村庄：

[»?]（DVOE.OF平分/BOC、ZAOCAZEOC=2ZBOC.

⑴设汽车行驶到路AB上点P的位置时距禹村庄近.行

驶到AB上点Q的位徨时，距离村庄N以近，请在图中的公路上分别画出点P、

Q的位置.

03.如图，已知AB1BC于B,。81£8于8.JIH/CBE：ZABD-1：2.请

M・作出NCBE的对顶角并求其度数.

⑵当汽车从A出发向B行驶的过程中，在的路上挹离M村越来越

近..在[015]如图，指出下列各组角型哪两条直我被哪一条直组所裁而褥到的,并说

的路上距离村庄N一米越近,而距禹村庄M越来越远.出它们的名称：

(MU如图,亘线AB、CD相交于点O.OE_LCD.OF一AB.ZDOF-65'.Z1和N2：

求/BOE和NAOC的度数.E

【解法拈导】图形的定义现可以作为判定图形的依据,也/1和/3：

可以作为该图形具备的性项,由图可得：ZAOF=90fl.,

°F1AB0--------------*

Z1和N6：

卜/2和/6：

t变式题组】/2和N4

01.如图，若EO_LAB于O,自及CD过点。，ZEOD：ZE06=1：3.求NAOC、Z3A1Z&

ZAOE的度氟_Z3和N4：

/【解法指学】正确沿认同位角、内错用、问旁内角的.思路是：首先

02.如图，。为直戏AB上一点，ZBOC=3ZA0C.0C平分NA0D.°---------C弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个向公共边所在的直级

即赦践，其余两条边所在的且找就是被裁的两条过线，及后确定它

(D求NAOC的度数：们的名称.

⑵试说明0D与AB的位置关系.

E

【变式鹿组】

B

01.如图，平行直观AB.CD4相交百戏EF.GH相交，剧中的同旁内角共有⑶由NACD=NBAC可推两AB〃DC：根据内错角相等，两百线平行.

（）【变式题组】

A.4对8.8对C.12对D.16财01.如图,。埋填空.

(DVZA=Z（已知）

J.AC〃ED(）

02.如图,找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内前.(2)VZC=Z（已如）

.-.AC/7ED(

(3)V/A=/（已知）

/.AB^DF(）

02.如图，AD平分NBAC.EF平分NDEC.且NrN2.试说明DE与AB

的位置关系.

解：.；AD是NBAC的平分线（己知）

.'.ZBAC=2Z1（角平分战定义》

又2EF平分NDEC（已知）

)

又=（己知）

)

DE

⑴/CBD=/ADB：

(2)ZBCDtZADC=180*

(3)ZACD-ZBAC/

【解法指导】弱中有即即/03.如图，已知AE平分NCAB.CE平分/ACD.ZCAE+ZACE

=90',求证：AB.yCD.

用.有“/”即有内错角.

04.如图，己知NAEC=/ACB,BE平分NABC,

【解法指导】⑴山NCBD/ADB,可推得AD4BC：根据内情角相等,两宜线CD平分NACB.ZEBF-ZEFB.求证:

平行.CDVEF.

⑵由NBCD，NADC=180’.可推得AD//BC：根据同旁内角互补,两百.线平

行.D,

a4〃a5……那么al与必10的位置关系是

03.己知n（n>2）个点P1,P2.P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线

上，设Sn表示过这几个点中的任意两个点所作的所有H规的条数，显然：S2=1,

S3=3.S4=6..,.S5=10-ftiJSn=.

演缚.巩固•反馈提高

01.如图，NEAC=/ADB=90°.下列说法正确的是（）

【例7】如图⑴,平面内有六条两两不平行的直线.试证：在所有的交角中.至A.a的氽角只有NBB.a的邻补角是NDAC

少有一个角小

T31-.

A.ZAMFB.ZBMFC.ZENCD.ZEND

图⑵03.下列语句中正确的是（）

A,在同一平面内，一条直线只有一条垂戏

B.过宜线上一点的酉线只有一条

【解法指导】如图⑵,我们可以将所有的宜城移动后，使它门相交于同一点.此

C.过直线上一点旦除直F这条在线的直线仃且只有一条

时的图形为图⑵.

D.垂线段.就是点到五线的距斑

证明:假设图⑵中的12个角中的埒一个角都不小于31•

04.如图，ZBAC=904,AD1BCFD,则下列结论中，正确的个数行（）

购12X31°=372°>360°

①AB_LAC②AD与AC互相垂直③点C到AB的垂线段是线段AB④线段AB

这与一周角等于360”矛盾

的K度是点B到AC的距点⑤垂线段BA是点B到AC的距离®AD>BD

所以这12个角中至少有一个角小于31,

A.0B.2C.4D.6

【变式题组】

01.平而内有18条两两不平行的直线,试证：在所有的交角中至少行一个角小于

05.点A、B.C是直线I上的三点，点P是总规I外一点，且PA=4cm,PB=

11".

5cm.PC=6cm,WIAP到直战I的距圈是（）

A.4cmB.5cmC.小干4cmD.不大千4cm

06.将一副直角三角板按图所示的方法旋转《宜知顶点垂合），则/QOB-/DOC

02.在同一平田内有2010条真我al«a2.….a2010,如果aUa2,a2〃a3,a31a4.

(3)VZA+=180"（己知）

/.AB,7FD.

A--D

D'

14.如图，请你填上一个适当的条件

BC8

A1OH

第6题图第7题图第9题图

07.如图，既形ABCD沿EF对折，旦NDEF=72“，则/AEG=.

08.在同一平面内，若直线al/za2,a2Ia3,a3〃a4,…则alaW.（a1与aW

不重合）

09.如图所示，真线a、b被直线c所被，现给出下列四个条件：①/1=N5,②

N1=N7,③N2+N3=180°,@Z4=Z7.其中能判断a〃b的条件的序号

是

10.在同一平面内两条直线的位置关系有.

11.如图.已知BE乎分NABD.DE平分NCDB.且NE;NABE，NEDC.试

说明AB〃CD?

—/;

=Z2,那么口线AB与CD的位置关系如何？「_____________

T培优升级•奥赛检测

13.如图.推理埴空；

01.平面图上互不重合的三条直戏的交点的个数是（

(1>VZA=(己知)

cA.1,3B.0.1.3C.0.2,3

；.AC〃ED()D

D.0.1.2.3

(2)VZ2=(已知)

02.平面上有10条直线,其中4条是互相平行的,那么这10

；.AC〃ED()

C

B

条百线最多能把平面分成（）部分.

A.60B.55C.50D.4510.在同一平面内有9条直线如何安排才能满足卜面的两个条件？

03.平面上有六个点,每两点都连成•条直观，问除了原来的6个点之外，这些⑴任意两条直戌都有交点：

直线最多还有（）个交点.⑵总共有29个交点.

A.35B.40D.55第13讲平行线的梃质及我应用

04.如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内域多有考点•方法•破洋

___________________交点.1.掌樨平行线的性成,正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系：

05.如图是乂施工队一张破损的图纸,已知a.b是一个角的两边，现在要在图纸2,初步了解命题,命题的构成,真做命即、定理；

上直一条与这个角的平分线平行的宜线，请你帮助这个施I：虱的i；H这条平行线，3.灵活运用平行线的判定和性质斛决地的仃。勺证明，确定两出线的位置关系.

并证明你的正确性.感受转化思想在解决数学同即中的兄活应用.

经典•考题•赏析

【例1】如图，四边形ABCD中，AB/7CD.BC〃AD,ZA=38'.

求/C的度数

［解法指导】

两条直线平行.同位角相等；

两条|'|线平彳j.内错角相等：

06.平面上三条立线相互间的交点的个数是（）两条直线平行,同旁内角互补.

A.B.1或3C.1或2或3D.不一定是1.2.3平行税的性质是推导角关系的更要依据之一，必须正确识别图形的后征，看清截

U/.疥你在干间上画出6条白线（没的二条共点）使得它们中的拘条H战都恰好线，识别用的关系式关键.

与另三条直线相交，并简笊说明画法？【解】：VAB//CDBC〃AD

.,./A+NB=180。/B・/C=180。（两条电线平行,同旁内向互补）

08.平面上布10条直线.无任何三条交于一点.要使它们出现31个交点•怎么，/A=NC：/A=38°二/C=38°

安排才能办到？

【变式超组】

01.如图.己知AD，BC.点E在BD的延长线h,若/ADE=155。,则NDBC

的度数为（)

A.1551B.50'C.45*D.25'

09.如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角戏AB.

AC.那么两条对角线的夹角等于（）

A.60:B.75sC.90'D.135;

B

D,C

p"D

-------------------2sCA

B（第）CR

15218°（第2也图）（第3题图）

02.如图，已知/ABC/ACB=120°.BO.CO分别/ABC、ZAC3.DE过点

O与BC平行，则NBOC-

03.如图，已知AB〃MP〃CD,MN平分/AMD,/A=40；/D=50°,求

ZNMP的度数.

（第3遛图）

02.（安徵》如图，EL线11〃I2.N1=55。，N2=65。,则23为（）

A.50*B.55°C.60°D.65【例3】如图，已知/1=/2.ZC=ZD.求证：/A=/F.

03.如图.已知FC/7AB//DE.Na:ND：ZB=2：3：4.试求Na、ZD.ZB【髀法指导】

的度数.因果转化，综合运用.

逆向思维：要证明NANF,即要证明DF〃AC.

【例2】如图，已知AB〃CD〃EF,GC1CF,ZB=60°.NEFC=45。，求/BCG暨证明UF〃AC,即要证明ND+NDBC=181T,

的度数.即；NC-NDBC=18（T;要证明NC+NDBC

【解法指导】平行线的性域与对顶角、邻补角、垂直和角平分线△----------

7P=180“即要证明DB〃EC.要证明DB〃EC即要

相结合.可求各种位置的角的度数,但注通行清角的位置.C证明N1=N3.

【解】•.•AB〃CD〃EF.,.ZB^ZBCDNF=NFCD（两条直证明：•：/1=/2./2=/3（对顶用相等）所以/1=/3...DB〃

线平行.内情带相等）又YNB=60。ZEFC=45°.\ZBCD=C—DEC（同位角相等•两百我平行）.•.NDBC，NC=18（r（两出线平行，

60。ZFCD=45°又・；GC，CF，NGCF=90。（垂直定\同旁内角互扑》VZC-ZD/.ZDBC>ZD=180'；.DF/7AC

理）.,.ZGCD=90°45°=45°AZBCG=60°45°=15°~EF（同旁内角,互补两直线平行》；./A=/F（两直或平行，内错用相

【变式题批】

01.如图.已知AF/7BC,口AF平分/EAB./B=48。.则/C的的度数=

±ABJE.DFlABfRACKED.CE平介NACB,求

ZB-40',CN是NBCE的平分线.CM1CN.求:

【例I】如图，已知EG_LBC,AD1BC.Z1=Z3.

求ut：ADTitZbAC.

【解法指导】抓住即中给出的条件的目的，仔细分析

条件给我们带来的结论.对于不能直接直接得出结论

的条件，要准舶把握住这些条件的意图.（题目中的:

Z1=Z3>

证明：VEG_BC,AD1BC.,.ZEGC=ZADC=90J

（垂直定义）；.EG〃AD（同位角相等.两条直线平行）

【例5】已知.如图，AB/7EF,求证：/ABC+/BCi/CFE=360°

【解法指导】从考虑360。这个特殊角入手展开联想.分析类

比，

联想周角.构逵两个“平角”或构造两组“互补”的用.【变式双组】

过点C作CD”AB即把己知条件AB//EF联系起来，这是关键.01.如图，AB〃EF,/C=90”，则/a、N0、Ny的关系是（）

【证明】：过点C作CD〃ABVCD/7AB.-.Z1+/ABC=180°A.Zp=Za*ZyB.N伊Na・Ny=180°

（两百规平行，向为内角互补）又•；AB〃EF,，CD〃EF（平行C.Za+Zp-Zr=90oD.ZP>Zy-Za=90i

:同条X线的两H线平行）2ZCFE180。（两n线¥行.

同旁内角互补）•••ZABC+Z1+Z2+ZCFE=1800+180*360°02.如图,已知，AB，/CD./ABE和/CDE的平分线相交于点F,ZE=140",

即/ABC-/BCF+/CFE=360°

【变式题组】

01.如图.已知.AB/7CD.分别探究下面四个图形中NAPC和NPAB、ZPCD

的关系,请你从所得四个关系中选出任意一个,说明你探究的结论的正确性.

结论：（I）⑵

【例7】如图,平格t也形ABC,设府A格动到由XV.画出平移后的三角形A/BQA

【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定,找,移，连.

U）定：喘定平移的方向和距离.

⑵找:找出图形的关键点.

⑶移：过关键点作平行且相等的浅段,得到关键点的对应点.

⑷在：技原图形取旗逢接对应点.

C

【解】①连接AA，’②过点B作AN的平行线I③在I赦取

则点就是的对应点，用同样的方法作出点

【例6】如图，已知,AB/7CD.WlZa.Zp,ZY-Ny之川的关系是BB/=AAAB/B

Na+Ny+Nv-/0=180。AC的对应点C/.连接A/Bf.B/C/.C/A/就得到平移后的三角

［解法指导］矗本图形人----------78形A/B'C/.

【变式题纲】

PJEH01.如图，把四边形ABCD按箭头所指的方向平移21cm,作出平移后的图形.

善于从复杂的图膨中找到基本图形.效产本图形的规律打开思路.'byF

【豺】过点E中EHZ'AB.过户.FnFpG》AB.,:AB"EH:.Za:44（两

直践平行，内错角相等）又•••FCG〃AB/.DEH//FG（平行千利•条点4减两口沌

平行），/2=/3又•••AB//CD.-.FG/7CD（平行F同七条直战的两直线D平行）

.*.ZV*Z4=180°（两宜线平行,同旁内角互补）.••Na+Ny=Nw-Np=N1

+/3+/4-w-/1-/2=/4+v=180°

02.如图，已知三角形ABC中.ZC-9O0.BC-4.AC=4.现将/\ABC沿CB方拐120°

向平移到△ABC/的位置，若平移距离为3,求AABC与AA/BC/的由小部分的04.下列金遨中，正确的是（）

A.对顶角相等8.同位角相等C.内情角相等D.同旁内

角互补

06.学用了平行皖后，小微想电过直做外一点对这条直统的平行处的新方法，是

通过折•张半透明的断得到的［如图（1）-（叫

03.原来姑币社的两个立角三角形，将其中一个三角形沿黄3c方向平移BE的

距离，就得到此图形，求阴影部分的面积.（单位：理米）

从图中可知，小坡画平行观的依据有（）

①两口线平行，同位角相等：②两11线平行，内槌角相等：③同位角相等，两立