5.4.3 正切函数的性质与图象 教案

第五章三角函数5.4.3正切函数的性质与图象

一、教学目标1.理解并掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性，培养数学抽象的核心素养；2.会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象，提升直观想象的核心素养；3.能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题，提升数学运算的核心素养

二、教学重难点重点：正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性.难点：能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题．

三、教学过程（一）创设情境情境：孔子东游，见两小儿辩斗，问其故.一儿曰：“我以日始出时去人近，而日中时远也。”一儿曰：“日初出大如车盖。及日中，则如盘盂，此不为远者小而近者大乎？”一儿曰：“日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”孔子不能决也。两小儿笑曰：“孰为汝多知乎？”事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地.在相同的时间、相等的面积里，物体在直射状态下吸收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题.研究太阳光和地面的角度问题常常用到那个函数的性质与图象呢？答：正切函数.回顾：结合所学，你能说出正弦函数（余弦函数）的图象与性质的研究过程吗？答：作函数图象→根据图象研究性质y=sinx，x∈[0，2π]→y=sinx，x∈R→正弦函数的性质根据研究正弦函数和余弦函数的经验，你认为应该如何研究正切函数的图象和性质？答：正切函数的定义→部分性质→图象研究图象→正切函数的性质设计意图：通过重温“正弦函数的图象”，类比得出探索正切函数的图象与性质的可能思路：思考正切函数的部分性质（定义域和周期性），借助单位圆作出一个周期内的。第二步，根据图象探索新的性质.探究新知任务1：探索正切函数的周期性、奇偶性思考：根据已有的知识准备，你能得到正切函数的哪些性质？要求：1.先独立思考2分钟；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行展示汇报.答：定义域：{x|周期性：由诱导公式tan(π+x)=tanx正切函数是周期函数，周期是π；奇偶性：由诱导公式tan(–x)=–tan正切函数有奇偶性，是奇函数.师生活动：通过回顾诱导公式，引导学生归纳正切函数的周期性与奇偶性．设计意图：通过对已有的知识进行回顾，探究正切函数的性质，并为利用这些性质画出正切函数的图象作出铺垫．任务2：探索正切函数的图象探究：如何画出函数y=tanx,x

答：设x

∈[0,π2)，在直角坐标系中画出角x的终边与单位圆的交点B（x0,y0）过点B作x轴的垂线，垂足为M；过点A（1,0tanx=y0x0=MBOM=ATOA=AT；由此可见，当x

∈[0,如图所示：当x

∈[0,π1.随着x的增大，线段AT的长度也在增大2.且当x趋向于π2时AT3.函数y=tanx,x

∈[0,π师生活动：学生观察图象，讨论交流.思考：你能借助以上的结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？答：根据正切函数是奇函数，只要画出y=tanx,x

∈[0,π2借助正切函数的周期性，只要把函数y=tanx,x∈(思考：类比五点法作图，正切函数的图象是否也能抓住几个关键点？答：“三点”：(“两线”：直线x=±师生活动：引导学生观察总结图象特征：正切曲线是由相互平行的直线x≠设计意图：培养学生的总结归纳能力．任务3：探索正切函数的单调性与值域做一做：观察正切函数的图象，完成下列填空.函数y单调性−π2+k值域R总结：正切曲线是由被与y轴平行的一系列直线x=思考：正切函数在在整个定义域内是增函数吗？正切函数在每一个区间−π2总结：解析式y=tanx图象定义域{x|值域R周期π奇偶性奇函数对称性对称中心：(单调性在开区间−π2+设计意图：通过对正切函数图象的分析，归纳总结单调性和最值，使学生理解正切函数的性质，突破难点．发展学生直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养．任务4：探索正切函数的对称性探究：正切函数是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，除了原点之外，正切函数还有其它的对称中心吗？有没有对称轴？师生活动：学生观察正切函数的图象，分组讨论，共同归纳总结.总结：正切函数的对称中心是(k设计意图：学生通过观察正切函数的图象，尝试总结正切函数的对称性，培养学生逻辑推理、直观想象、数学抽象等核心素养，同时培养他们的团队合作意识.（三）应用举例例1求函数y＝tan解：由2x−π4≠kπ所以函数的定义域为{x|x≠3总结：函数y＝Atan(ωx设计意图：通过例1的巩固训练，让学生加深对正切函数定义域的理解.并掌握“整体代换”思想.例2求函数y=tan解：由题意，得y因为x∈[π所以tanx所以原函数的值域为[2

,

6−23总结：1.求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义，即x≠π2+kπ，(2.求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围．例3比较大小：tan1与tan4．解：因为tan4＝tan[π＋(4－π)]＝tan(4－π)，因为－且y＝tanx在区间(−π所以，tan(4－π)＜tan1，即，tan1＞tan4.师生活动：师生共同分析此问题，然后共同完成求解．设计意图：初步应用正切函数的单调性解决比较大小的问题．总结：运用正切函数单调性比较大小时，先把各角转化到同一个单调区间内，再运用单调性比较大小.例4求函数y=tan分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论.解：自变量x的取值应满足;π2x+π3≠π2所以，函数的定义域是x设z=π2x+π所以tan⁡[π即：tan⁡[π因为∀x∈x都有tan⁡[π所以，函数的周期为2．由−π2+kπ<π解得−53+2k<x因此，函数在区间(−53+2k,13+2k

),设计意图：通过对典型问题的分析解决，提高学生对函数性质的理解。发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养.（四）课堂练习1.函数f(x)=tanωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y=1所得的线段长为πA.1 B.2 C.4 D.8解：f(x)=tanωx的图象的相邻两支截直线y=1所得的线段长度为函数的最小正周期，

所以该函数的周期是π4，

∴πω=2.若函数y=tanx+φφ≥0的图象与直线xA.π B.π2 C.π4 解：函数y=tanx的图象与直线若函数y=tanx+则2π+φ=π2+则φ的最小值为π2故选：B．3.已知函数f(x)=3tan(2xA.函数f(x))恒满足f(x+π2)=f(x)

B.直线x=π6解：对于A，根据正切型函数的周期公式，f(x)的最小正周期为π2，A正确；

对于B，正切型函数无对称轴，B错误；

对于C，由f(−π12)=3tan0=0，所以点(−π12,0)是函数y=f(x)图象的一个对称中心，C正确；

对于D，区间4.已知函数f((1)求f((2)试比较f(π)与f解：(1)函数f(所以最小正周期T=π由kπ−π2<解得4kπ−4π∴f(x)=3tan(π6(2)因为f11π又−4π3<π<3π2所以fπ>f3π5.设函数fx(1)求函数fx(2)求不等式fx解：(1)对于函数fx由x2−π3≠π