广东汕尾市2025-2026学年度第一学期期末教学质量监测高二数学试题（试卷+解析）

广东汕尾市2025-2026学年度第一学期期末教学质量监测高二数学试题本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处．2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀．考试结束后，请将本试题及答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，且，则（）A.4 B. C.1 D.2.现有7个红色研学纪念勋章盲盒，其中3个放有“彭湃故居”纪念勋章．甲、乙两名学生先后从中各任取一个盲盒，则乙领到“彭湃故居”纪念勋章的概率为（）A. B. C. D.3.抛物线准线方程为（）A. B. C. D.4.汕尾4个国家级名录特色农产品（城区东涌镇宝楼村红灯笼荔枝、华侨管理区红杨桃、陆河县河口镇油柑、陆丰市桥冲镇及内湖镇莲藕）种植户众多．现有荔枝户40户、杨桃户50户、油柑户60户、莲藕户50户．用分层抽样抽取容量为20的样本，应抽取油柑户（）A.2户 B.4户 C.6户 D.15户5.已知直线，直线，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.过点与圆相切两条切线的夹角为，则（）A. B. C. D.7.在棱长为2的正四面体中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为（）A. B. C. D.8.在长方体中，，现有一个动平面，且，当平面截此长方体所得截面边数最多时，截面的周长为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若一组数据6，4，a，8，6，10，12的平均数为7，则（）A. B.该组数据的极差是8C.该组数据的第75百分位数为10 D.去掉后该组数据的方差不变10.已知点，圆是圆的一条直径的两个端点，且圆和圆相交于A，B两点，则（）A.圆的方程为 B.直线AB的方程为C.PA与圆相切 D.若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则11.如图，在棱长为2正方体中，E，F分别是AB，BC上的动点，且，则（）A.B.平面平面C.若M，N分别为对角线和AC上的动点，则的最小值为D.当三棱锥的体积最大时，平面与平面BEF的夹角的余弦值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，且事件与事件相互独立，则___________．13.已知矩形，沿对角线BD将折起，使得，则二面角的余弦值为___________．14.已知直线与抛物线交于A，B两点，点为焦点，且交AB于点，点为该抛物线上点，则的平分线所在直线的方程为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知倾斜角为的直线过点，圆的圆心在直线上，且圆过点和点．（1）求直线的一般式方程和圆的标准方程；（2）求的面积．16.汕尾文旅文创展区有8件不同的特色纪念品，其中5件是甲子贝雕书签，3件是捷胜泥塑挂件．现从中不放回依次随机取出2件作为文旅伴手礼．（1）求第二次取到捷胜泥塑挂件的概率；（2）求至少取到1件捷胜泥塑挂件的概率．17.“广东万里碧道·汕尾品清湖铁人三项赛”是汕尾市重点打造，融合体育竞技、绿美生态体验与滨海旅游资源品牌赛事，吸引了全国众多爱好者．为科学评估大众选手在品清湖“欢乐跑”（10千米）项目的表现，组委会从所有完赛选手中随机抽取了100人的成绩（单位：分，成绩均为不低于40的整数）作为样本进行分析，并据此绘制了如下频率分布表和频率分布直方图．成绩分组／分钟频数510202510（1）根据样本数据，计算频率分布表中的a值和频率分布直方图中的值；（2）根据样本数据，估计这100名选手“欢乐跑”成绩的样本众数、中位数和平均数；（3）已知落在区间的平均成绩是54，方差是7，落在区间的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩合并后的总平均数和总方差．18.如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面，且．（1）若，证明：平面；（2）若点在线段上，，动点在平面内，且．①求三棱锥的体积的最大值；②求直线与平面所成角的正弦值的最大值．19.已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上的一点，且的周长为6，椭圆的离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆相交于两点．①若线段的垂直平分线与轴的交点坐标为，求的取值范围；②已知点分别为椭圆的左、右顶点，为坐标原点，直线与交于点，点与点关于原点对称，三点共线，求证：直线经过定点．广东汕尾市2025-2026学年度第一学期期末教学质量监测高二数学试题本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处．2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀．考试结束后，请将本试题及答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，且，则（）A.4 B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根据空间向量垂直的坐标运算直接求解即可.【详解】因为，且，所以，解得.故选：B2.现有7个红色研学纪念勋章盲盒，其中3个放有“彭湃故居”纪念勋章．甲、乙两名学生先后从中各任取一个盲盒，则乙领到“彭湃故居”纪念勋章的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先把甲的抽取结果分为两种互斥情况，再分别计算两种情况下乙的概率，最后合并计算总概率，即可得到乙抽到目标勋章的总概率.【详解】情况1：甲先抽到了“彭湃故居”纪念勋章（概率为），此时剩下6个盲盒，其中2个是“彭湃故居”纪念勋章，则乙抽到的概率为；情况2：甲没抽到“彭湃故居”纪念勋章（概率为），此时剩下6个盲盒，其中3个是“彭湃故居”纪念勋章，则乙抽到的概率为；所以（乙抽到）.故选：D3.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据抛物线方程直接得到准线方程.【详解】抛物线的准线方程为.故选：C4.汕尾4个国家级名录特色农产品（城区东涌镇宝楼村红灯笼荔枝、华侨管理区红杨桃、陆河县河口镇油柑、陆丰市桥冲镇及内湖镇莲藕）种植户众多．现有荔枝户40户、杨桃户50户、油柑户60户、莲藕户50户．用分层抽样抽取容量为20的样本，应抽取油柑户（）A.2户 B.4户 C.6户 D.15户【答案】C【解析】【分析】先计算总体数量，再求出抽样比，最后用抽样比乘以油柑户的数量得到应抽取的户数.【详解】总体户数（户），抽样比，应抽取油柑户数量=（户）.故选：C.5.已知直线，直线，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据结论求出的充要条件，再根据充分条件、必要条件的定义判断.【详解】的充要条件为，即，得或，故是的充分不必要条件.故选：A6.过点与圆相切的两条切线的夹角为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依题意可得圆心为，半径，设，切点分别为、，即可得到且，求出，再由二倍角公式计算可得.【详解】圆的圆心为，半径，设，过点的圆的切线的切点分别为、，连接、、，则且，又，，所以，所以.故选：C7.在棱长为2的正四面体中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】连接MD，取其中点Q，连接，由得到是直线AM和CN的夹角或补角，接着在中由余弦定理求出即可求解.【详解】连接MD，取其中点Q，连接，由题意可得，，且，所以是直线AM和CN的夹角或补角，，所以.所以，即直线AM和CN夹角的正弦值为.故选：A8.在长方体中，，现有一个动平面，且，当平面截此长方体所得截面边数最多时，截面的周长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由面面平行得出线面平行，设出比例，根据相似表示出边长，最后求得周长.【详解】如图，截面，由于，则，设，则，，，则，则周长为，故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若一组数据6，4，a，8，6，10，12的平均数为7，则（）A. B.该组数据的极差是8C.该组数据的第75百分位数为10 D.去掉后该组数据的方差不变【答案】AC【解析】【分析】选项A：用平均数公式列方程，直接求解；选项B：找出最大值和最小值，两者相减即可；选项C：先排序，再计算位置，按规则取对应数值；选项D：分别计算去掉前后的方差，对比判断是否变化.【详解】选项A：由平均数公式得，解得.A正确.选项B：因为数据集为，所以极差为.B错误.选项C：排序后数据为，第75百分位数为第6个数，即10.C正确.选项D：因为原数据：，则平均数，所以原方差为;因为去掉后的新数据：，则平均数，所以新方差：;因为，所以去掉后，方差发生了变化.D错误.故选：AC.10.已知点，圆是圆的一条直径的两个端点，且圆和圆相交于A，B两点，则（）A.圆的方程为 B.直线AB的方程为C.PA与圆相切 D.若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则【答案】ACD【解析】【分析】选项A由圆的标准方程求解；选项B联立两圆方程求解；选项C验证；选项D转化为圆心到直线的距离求解.【详解】因为点是圆的一条直径的两个端点，所以圆的圆心为，半径为，所以圆的方程为，即，选项A正确.圆和圆相交于A，B两点，联立方程得，所以直线AB的方程为，选项B不正确.设点，代入圆的方程中，得，若PA与圆相切，则，，得，故选项C正确.若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离为1，即，解得，故选项D正确.故选：ACD11.如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是AB，BC上的动点，且，则（）A.B.平面平面C.若M，N分别为对角线和AC上的动点，则的最小值为D.当三棱锥的体积最大时，平面与平面BEF的夹角的余弦值为【答案】AD【解析】【分析】建系并标点，利用空间向量判断线线垂直和面面垂直，即可判断AB；设，利用空间向量可得点到直线的距离，即可判断C；根据锥体的体积公式结合基本不等式分析三棱锥的体积最大，进而利用空间向量求面面夹角，即可判断D.【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，设，则.对于选项A：因为，则，所以，故A正确；对于选项B：因为，设平面的法向量为，则，令，则，可得；设平面的法向量为，则，令，则，可得；因为不恒成立，所以平面与平面不一定垂直，故B错误；对于选项C：因为，设，其中，则，点到直线的距离，当且仅当时，等号成立，则，所以的最小值不为，故C错误；对于选项D：因为三棱锥的体积，当且仅当，即时，等号成立，此时，可得，，设平面的法向量为，则，令，则，可得，由题意可知：平面BEF的法向量为，则，所以平面与平面BEF夹角的余弦值为，故D正确；故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，且事件与事件相互独立，则___________．【答案】【解析】【分析】根据独立事件的概率公式求出.【详解】由题意可得，.故答案为：13.已知矩形，沿对角线BD将折起，使得，则二面角的余弦值为___________．【答案】##【解析】【分析】过点作，过点作，求得，，，再根据，得，展开后，即可解得，再结合二面角的定义，即可得解.详解】过点作，过点作，，，，，则，即，，，，，又因为故二面角的余弦值为.故答案为：.14.已知直线与抛物线交于A，B两点，点为焦点，且交AB于点，点为该抛物线上的点，则的平分线所在直线的方程为______．【答案】【解析】【分析】首先由已知条件求出直线的方程，接着将其与抛物线联立，从而确定抛物线方程为，再代入点求出的坐标，并求出为直角，进而求出其平分线方程.【详解】由且，得，故，所以直线过点，方程为：，将代入，得：，设交点对应根为，则：，因为，即，代入得：，所以，化简得，解得：，所以抛物线方程：，焦点，因为点在抛物线上，代入得，故，所以当，时，为水平线，，时，为竖直线，所以为直角，其平分线斜率为（指向右下方），过点，所以的平分线所在直线的方程为：，即.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知倾斜角为的直线过点，圆的圆心在直线上，且圆过点和点．（1）求直线的一般式方程和圆的标准方程；（2）求的面积．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据点斜式求出直线的方程，根据直线方程设圆心坐标，再根据圆的定义计算半径即可；（2）求出圆心到直线AB的距离，再利用面积公式求出.小问1详解】由题意可知，直线的斜率为，且过点，所以直线的方程为，即直线的一般式方程为，因为圆心在直线上，所以可设圆心，因为A，B是圆上的两点，所以，则，解得，所以圆心，圆的半径为，故所求的圆的标准方程是．【小问2详解】直线AB的方程为，圆心到直线AB的距离为，所以的面积为．16.汕尾文旅文创展区有8件不同的特色纪念品，其中5件是甲子贝雕书签，3件是捷胜泥塑挂件．现从中不放回依次随机取出2件作为文旅伴手礼．（1）求第二次取到捷胜泥塑挂件的概率；（2）求至少取到1件捷胜泥塑挂件的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据全概率公式计算或利用互斥事件和古典概型的概率公式求解；（2）根据对立事件的概率公式求解.【小问1详解】方法1：从8件纪念品中依次不放回取出2个，共有（种）等可能的结果，记事件“第一次取到捷胜泥塑挂件”，事件“第二次取到捷胜泥塑挂件”，则，且AB与互斥．由图可知，所以，所以第二次取到捷胜泥塑挂件的概率为．方法2：第二次取到捷胜泥塑挂件，有两种情况：情况1：第一次取到甲子贝雕书签，第二次取到捷胜泥塑挂件，记其概率为，有；情况2：第一次取到捷胜泥塑挂件，第二次取到捷胜泥塑挂件，记其概率为，有；第二次取到捷胜泥塑挂件的总概率为．【小问2详解】方法1：记“至少取到1件捷胜泥塑挂件”，则“两次都没有取到捷胜泥塑挂件”，则，所以，所以，因此至少取到1件捷胜泥塑挂件概率为．方法2：设取到2件甲子贝雕书签的概率为，则，则至少取到1件捷胜泥塑挂件的概率为．17.“广东万里碧道·汕尾品清湖铁人三项赛”是汕尾市重点打造，融合体育竞技、绿美生态体验与滨海旅游资源的品牌赛事，吸引了全国众多爱好者．为科学评估大众选手在品清湖“欢乐跑”（10千米）项目的表现，组委会从所有完赛选手中随机抽取了100人的成绩（单位：分，成绩均为不低于40的整数）作为样本进行分析，并据此绘制了如下频率分布表和频率分布直方图．成绩分组／分钟频数510202510（1）根据样本数据，计算频率分布表中的a值和频率分布直方图中的值；（2）根据样本数据，估计这100名选手“欢乐跑”成绩的样本众数、中位数和平均数；（3）已知落在区间的平均成绩是54，方差是7，落在区间的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩合并后的总平均数和总方差．【答案】（1），（2）众数75，中位数为75，平均数74（3）60，23【解析】【分析】（1）利用频率分布表频数和求出，再利用频率分布直方图求出.（2）利用频率分布直方图求出估计众数，再利用频率分布直方图估计中位数及平均数.（3）利用分层抽样的平均数及方差公式求解.【小问1详解】由频率分布表知，解得，所以频率分布直方图中.【小问2详解】由频率分布表和频率分布直方图，估计样本的众数，由（1）及频率分布表知，数据落在各组的频率按成绩由低到高依次为，样本的中位数为，则，解得，估计样本的平均数为.【小问3详解】两组成绩合并后的总平均数，两组成绩合并后的总方差.18.如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面，且．（1）若，证明：平面；（2）若点在线段上，，动点在平面内，且．①求三棱锥的体积的最大值；②求直线与平面所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）①；②．【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，推导出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）①以为坐标原点，直线、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，根据化简得出，然后利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积的最大值；②设点，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值的最大值.【小问1详解】如图1，连接交于点，连接．因为且，所以，又因为，所以，所以，因为点、、、、共面，所以，因为面，面，所以面．【小问2详解】因为平面，、平面，所以，，又因为，所以以为坐标原点，直线、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，所以、，设，①因为，所以，化简整理可得，因为平面，所以为三棱锥的高，所以．所以三棱锥的体积的最大值为．②因为、，所以，，设平面