初一数学-利润问题

初一数学——利润问题在我们的日常生活中，无论是走进商店购物，还是听闻商家促销，都离不开“利润”这个词。小到一支铅笔的买卖，大到企业的经营决策，利润问题都扮演着至关重要的角色。对于初一的同学们而言，利润问题不仅是数学课本上的一个知识点，更是培养我们运用数学思维解决实际生活问题能力的绝佳途径。今天，我们就一同深入探讨初一数学中的利润问题，揭开它的神秘面纱，掌握其中的规律与技巧。一、利润问题的核心概念解析要解决利润问题，首先我们必须厘清几个核心概念。这些概念就像构建大厦的基石，只有基础牢固，才能从容应对各种复杂的问题。成本价（进价）：这指的是商家购进商品时所付出的钱。比如，一个商店老板从批发商那里以某个价格买入一批文具，这个买入的价格就是这批文具的成本价。售价：顾名思义，是商家卖出商品时向顾客收取的钱。我们在商店里看到的商品标签上的价格，通常就是售价，或者是标价（关于标价和售价的关系，我们后面会谈到折扣）。利润：当商家卖出商品后，如果总收入（售价）比总成本（成本价）高，那么高出的这部分金额就是利润。简单来说，利润=售价-成本价。如果结果是负数，那就意味着亏损了。利润率：这是一个非常重要的概念，它表示利润占成本价的百分比。为什么要强调是“占成本价”呢？因为我们衡量一件商品的盈利程度，通常是相对于我们投入的成本而言的。其计算公式为：利润率=（利润÷成本价）×100%。这个百分比能让我们更直观地比较不同商品的盈利水平。折扣：在商业活动中，我们经常会遇到“打折”的情况。折扣是商家为了促销，在标价的基础上按一定比例降价销售。例如，“九折”就是按标价的90%出售，“八五折”就是按标价的85%出售。所以，售价=标价×折扣（这里的折扣通常用十分之几或百分之几来表示，比如九折就是0.9或90%）。二、利润问题中的基本关系与公式推导理解了上述核心概念后，我们来梳理一下它们之间的基本关系，并推导出一些常用的公式。这些公式是解决利润问题的“金钥匙”。1.利润的基本公式：这是最根本的关系：利润=售价-成本价(或利润=卖出价-买入价)如果售价低于成本价，利润就是负数，我们称之为“亏损”。2.利润率的公式：由利润率的定义直接可得：利润率=利润/成本价×100%将利润的公式代入上式，可得：利润率=(售价-成本价)/成本价×100%这个公式非常重要，它将售价、成本价和利润率联系了起来。3.售价的计算公式（已知成本价和利润率）：我们可以通过利润率的公式变形，得到已知成本价和期望利润率时，如何计算售价：由利润率=(售价-成本价)/成本价×100%两边同时乘以成本价：利润率×成本价=售价-成本价移项可得：售价=成本价+利润率×成本价=成本价×(1+利润率)这个公式在已知进价（成本）和期望获得的利润率时，计算售价非常方便。4.成本价的计算公式（已知售价和利润率）：同样，我们也可以通过变形，在已知售价和利润率的情况下反求成本价：由售价=成本价×(1+利润率)可得：成本价=售价/(1+利润率)这个公式在一些“逆向”思考的题目中非常有用。5.折扣与售价的关系：若商品有标价，并且按一定折扣出售，则：售价=标价×折扣率这里的折扣率是一个小于或等于1的数，例如打八折，折扣率就是0.8。这些公式之间是可以相互转化和推导的，同学们在解题时要灵活运用，根据题目给出的条件，选择合适的公式。三、解题方法与典型例题解析掌握了基本概念和公式，接下来就是如何运用它们来解决实际问题。解决利润问题，关键在于仔细审题，明确题目中的已知量和未知量，找出它们之间的等量关系，然后选择合适的公式进行求解。解题的一般步骤建议：1.审清题意：找出题目中的关键信息，明确哪些是成本价、售价、利润、利润率、折扣等。2.设未知数：对于未知量，通常可以设为x（例如，设成本价为x元，设利润率为x等）。3.列方程（或算式）：根据题目中的等量关系，结合利润、利润率等公式，列出方程或算式。4.求解：解方程或进行算术运算，求出未知量。5.检验与作答：检验计算结果是否符合题意，然后写出完整的答案。下面我们通过几个典型例题来具体分析：例题1（基础利润与利润率）：一家商店以每件100元的价格购进一批T恤，然后以每件150元的价格出售。请问：（1）每件T恤的利润是多少元？（2）这批T恤的利润率是多少？分析与解答：（1）这里，成本价（进价）是100元，售价是150元。利润=售价-成本价=150-100=50（元）答：每件T恤的利润是50元。（2）利润率=利润/成本价×100%=50/100×100%=50%答：这批T恤的利润率是50%。例题2（含折扣问题）：某商品的标价为200元，现打九折出售。已知该商品的进价为150元，求：（1）该商品的实际售价是多少元？（2）商家卖出一件该商品能赚多少元？利润率是多少？（结果保留一位小数）分析与解答：（1）标价为200元，打九折出售。售价=标价×折扣率=200×0.9=180（元）答：该商品的实际售价是180元。（2）成本价是150元，售价是180元。利润=售价-成本价=180-150=30（元）利润率=利润/成本价×100%=30/150×100%=20.0%答：商家能赚30元，利润率是20.0%。例题3（已知售价和利润率，求成本价）：一件商品按定价卖出可获利50元，如果按定价的90%出售，则可获利20元。这件商品的成本价是多少元？分析与解答：这道题稍微复杂一点，涉及到定价、售价、成本和利润。我们可以设成本价为x元。因为“按定价卖出可获利50元”，所以定价=成本价+利润=x+50。“按定价的90%出售”，此时的售价=定价×90%=0.9×(x+50)。此时的利润是20元，所以售价也可以表示为：成本价+此时的利润=x+20。因此，我们可以列出方程：0.9×(x+50)=x+20解这个方程：0.9x+45=x+2045-20=x-0.9x25=0.1xx=250答：这件商品的成本价是250元。例题4（复杂一点的利润比较问题）：某商店同时卖出两件商品，每件各得120元。其中一件盈利20%，另一件亏本20%。这个商店卖出这两件商品总体上是盈利还是亏本？具体是多少？分析与解答：这道题是经典的“一赚一亏”问题，容易让人误以为不赚不亏，但实际上需要分别计算两件商品的成本价才能判断。第一件商品：售价120元，盈利20%。这里的20%是相对于它的成本价而言的。设第一件商品的成本价为x元。根据售价=成本价×(1+利润率)可得：120=x×(1+20%)120=1.2xx=120/1.2=100（元）所以第一件商品的成本是100元，利润是120-100=20元。第二件商品：售价120元，亏本20%。这里的20%是相对于它的成本价而言的亏损率。设第二件商品的成本价为y元。因为是亏本，所以售价=成本价×(1-亏损率)可得：120=y×(1-20%)120=0.8yy=120/0.8=150（元）所以第二件商品的成本是150元，亏损是150-120=30元。现在计算总成本和总售价：总成本=100+150=250（元）总售价=120+120=240（元）因为总售价（240元）<总成本（250元），所以总体上是亏本的。亏本金额=250-240=10（元）答：这个商店卖出这两件商品总体上是亏本了，亏本了10元。四、总结与解题技巧提升利润问题虽然涉及的概念和公式较多，但只要我们能够深刻理解各个概念的含义，熟练掌握它们之间的数量关系和公式，并通过适量的练习加以巩固，就能轻松应对。解决利润问题的关键在于：1.准确理解概念：特别是“成本价”、“售价”、“利润率”、“折扣”这几个核心概念，要明确它们在题目中的具体所指。2.找准等量关系：根据题目叙述，找出已知量和未知量之间的内在联系，这是列方程或算式的依据。3.灵活运用公式：不要死记硬背公式，要理解公式的来源和适用场景，并能根据需要进行公式变形。4.细致计算：利润问题涉及到百分数和小数的运算较多，计算时要格外细心，避免因粗心导致错误。5.多角度思考：对于一些复杂的问题，可以尝试画线段图、列表格等方式帮助分析，或者从不同角度设未知数。温馨提示：*在计算利润率时，一定要注意是相对于“成本价”而言，这是很多同学容易出错的地方。*遇到“打折”问题，要